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7. 如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=BC,连接CE.
(1)求证:BD=CE;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的度数.
(1)求证:BD=CE;
(2)若∠E=50°,求∠BAO的度数.
答案
7.解:(1)证明:
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB//CD,BC=CD.又
∵BE=BC,
∴BE=CD,且BE//CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=CE.
(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形,
∴BD//CE,
∴∠ABO=∠E=50°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB//CD,BC=CD.又
∵BE=BC,
∴BE=CD,且BE//CD,
∴四边形BECD是平行四边形,
∴BD=CE.
(2)由(1)知四边形BECD是平行四边形,
∴BD//CE,
∴∠ABO=∠E=50°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°.
解析
【分析】
(1)要证明BD=CE，可通过证明两条线段为平行四边形的一组对边来推导。首先根据菱形的性质得到AB//CD、BC=CD，结合已知BE=BC，可推出BE与CD平行且相等，即可判定四边形BECD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质即可得证。
(2)求∠BAO的度数时，先借助平行四边形的性质得到BD//CE，推出∠ABO和∠E相等，再利用菱形对角线互相垂直的性质，可知△AOB是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠BAO的度数。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB//CD，BC=CD。
又
∵BE=BC，
∴BE=CD，且BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE。
(2)解：
由(1)知四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°。
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°。
【答案】
(1)BD=CE，证明成立；
(2)∠BAO=40°
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形两锐角互余
【点评】本题侧重考查特殊四边形的基础性质与判定，解题核心是灵活转化线段、角度的关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BD=CE，可通过证明两条线段为平行四边形的一组对边来推导。首先根据菱形的性质得到AB//CD、BC=CD，结合已知BE=BC，可推出BE与CD平行且相等，即可判定四边形BECD是平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质即可得证。
(2)求∠BAO的度数时，先借助平行四边形的性质得到BD//CE，推出∠ABO和∠E相等，再利用菱形对角线互相垂直的性质，可知△AOB是直角三角形，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠BAO的度数。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB//CD，BC=CD。
又
∵BE=BC，
∴BE=CD，且BE//CD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE。
(2)解：
由(1)知四边形BECD是平行四边形，
∴BD//CE，
∴∠ABO=∠E=50°。
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BAO=90°−∠ABO=40°。
【答案】
(1)BD=CE，证明成立；
(2)∠BAO=40°
【知识点】
菱形的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形两锐角互余
【点评】本题侧重考查特殊四边形的基础性质与判定，解题核心是灵活转化线段、角度的关系，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
8. 下列条件能判定四边形是菱形的是 （
A.对角线相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线互相垂直平分的四边形
D.对角线相等且互相垂直的四边形
C
）A.对角线相等的四边形
B.对角线互相垂直的四边形
C.对角线互相垂直平分的四边形
D.对角线相等且互相垂直的四边形
答案
8.C
解析
【分析】
这道题考查菱形的判定，解题时首先回忆菱形的判定定理，尤其要注意涉及对角线的判定条件的差异：如果判定对象是普通四边形，仅对角线相等或仅垂直都不足以判定是菱形，需要先结合平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形），再结合菱形的对角线判定条件分析。接下来逐个分析选项，对错误选项可以举反例排除，正确选项对应判定定理验证即可。
【解析】
我们先明确相关判定定理：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
接下来逐个分析选项：
A. 对角线相等的四边形，可能是矩形、等腰梯形等，不一定是菱形，故A错误；
B. 仅对角线互相垂直的四边形，若对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是菱形，故B错误；
C. 对角线互相平分可推出该四边形是平行四边形，又已知对角线互相垂直，根据判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该四边形是菱形，故C正确；
D. 对角线相等且互相垂直的四边形，若对角线不互相平分，就不是平行四边形，不是菱形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略“对角线互相平分”这一前提，误选B或D，解题时要注意区分普通四边形和平行四边形判定条件的不同。
【难度系数】
0.7
这道题考查菱形的判定，解题时首先回忆菱形的判定定理，尤其要注意涉及对角线的判定条件的差异：如果判定对象是普通四边形，仅对角线相等或仅垂直都不足以判定是菱形，需要先结合平行四边形的判定（对角线互相平分的四边形是平行四边形），再结合菱形的对角线判定条件分析。接下来逐个分析选项，对错误选项可以举反例排除，正确选项对应判定定理验证即可。
【解析】
我们先明确相关判定定理：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
接下来逐个分析选项：
A. 对角线相等的四边形，可能是矩形、等腰梯形等，不一定是菱形，故A错误；
B. 仅对角线互相垂直的四边形，若对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是菱形，故B错误；
C. 对角线互相平分可推出该四边形是平行四边形，又已知对角线互相垂直，根据判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可判定该四边形是菱形，故C正确；
D. 对角线相等且互相垂直的四边形，若对角线不互相平分，就不是平行四边形，不是菱形，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
菱形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略“对角线互相平分”这一前提，误选B或D，解题时要注意区分普通四边形和平行四边形判定条件的不同。
【难度系数】
0.7
9. 如图，AD 是$△ ABC$的中线，O 是 AC 的中点，过点 A 作$AE// BC$交 DO 的延长线于点 E，连接 CE. 添加下列条件仍不能判定四边形 ADCE 是菱形的是 （
A.$AB⊥ AC$
B.$AB=AC$
C.AC 平分$∠ DAE$
D.$AB^2+AC^2=BC^2$
B
）A.$AB⊥ AC$
B.$AB=AC$
C.AC 平分$∠ DAE$
D.$AB^2+AC^2=BC^2$
答案
9.B
解析
【分析】
解题首先利用已知的平行和中点条件，证明△AOE≌△COD，得到AE与CD平行且相等，从而推出四边形ADCE是平行四边形；再结合菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形），逐一分析每个选项给出的条件能否推导出平行四边形ADCE满足菱形的判定要求，不能推出的即为正确选项。
【解析】
首先证明四边形ADCE是平行四边形：
∵$AE//BC$，
∴$∠OAE=∠OCD$，
∵O是AC的中点，
∴$OA=OC$，
在△AOE和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCD\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COD\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COD（ASA）$，
∴$AE=CD$，
又
∵$AE//CD$，
∴四边形ADCE是平行四边形。
接下来逐个分析选项：
A选项：若$AB⊥AC$，即△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$，AD是斜边BC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AD=\frac{1}{2}BC=CD$，平行四边形ADCE邻边相等，可判定是菱形，不符合题意。
B选项：若$AB=AC$，AD是BC的中线，根据等腰三角形三线合一，得$AD⊥BC$，即$∠ADC=90°$，此时平行四边形ADCE是矩形，无法判定是菱形，符合题意。
C选项：若AC平分$∠DAE$，则$∠DAC=∠EAC$，
∵$AE//BC$，
∴$∠EAC=∠DCA$，
∴$∠DAC=∠DCA$，
∴$AD=CD$，平行四边形ADCE邻边相等，可判定是菱形，不符合题意。
D选项：若$AB^2+AC^2=BC^2$，由勾股定理逆定理得$∠BAC=90°$，同A选项，AD是直角三角形斜边中线，$AD=CD$，可判定平行四边形ADCE是菱形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开，解题关键是先推导得出四边形ADCE为平行四边形，再结合各条件判断是否满足菱形的判定要求，需要准确区分菱形、矩形的判定定理，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题首先利用已知的平行和中点条件，证明△AOE≌△COD，得到AE与CD平行且相等，从而推出四边形ADCE是平行四边形；再结合菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形），逐一分析每个选项给出的条件能否推导出平行四边形ADCE满足菱形的判定要求，不能推出的即为正确选项。
【解析】
首先证明四边形ADCE是平行四边形：
∵$AE//BC$，
∴$∠OAE=∠OCD$，
∵O是AC的中点，
∴$OA=OC$，
在△AOE和△COD中：
$\{\begin{array}{l}∠ OAE=∠ OCD\\ OA=OC\\ ∠ AOE=∠ COD\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COD（ASA）$，
∴$AE=CD$，
又
∵$AE//CD$，
∴四边形ADCE是平行四边形。
接下来逐个分析选项：
A选项：若$AB⊥AC$，即△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$，AD是斜边BC的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AD=\frac{1}{2}BC=CD$，平行四边形ADCE邻边相等，可判定是菱形，不符合题意。
B选项：若$AB=AC$，AD是BC的中线，根据等腰三角形三线合一，得$AD⊥BC$，即$∠ADC=90°$，此时平行四边形ADCE是矩形，无法判定是菱形，符合题意。
C选项：若AC平分$∠DAE$，则$∠DAC=∠EAC$，
∵$AE//BC$，
∴$∠EAC=∠DCA$，
∴$∠DAC=∠DCA$，
∴$AD=CD$，平行四边形ADCE邻边相等，可判定是菱形，不符合题意。
D选项：若$AB^2+AC^2=BC^2$，由勾股定理逆定理得$∠BAC=90°$，同A选项，AD是直角三角形斜边中线，$AD=CD$，可判定平行四边形ADCE是菱形，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题围绕特殊四边形的判定展开，解题关键是先推导得出四边形ADCE为平行四边形，再结合各条件判断是否满足菱形的判定要求，需要准确区分菱形、矩形的判定定理，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在菱形ABCD中,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$,点$E$,$F$分别在$AB$,$BC$上,且$AE=BF$.有下列结论:①$∠ BDE=∠ CDF$;②$△ ADE≌△ BDF$;③四边形$DEBF$的面积是$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$;④$△ DEF$是等边三角形.其中正确的结论是________.(填序号)
答案
10.①②④
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质和∠A=60°的条件，判断出△ABD、△BCD均为等边三角形，得到边相等、角相等的基础条件；再结合已知AE=BF，通过全等三角形判定定理验证△ADE与△BDF是否全等，再根据全等的性质推导角、边的关系，逐一判断4个结论的正误，最后计算四边形DEBF的面积验证结论③。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=4cm，∠A=60°，
∴AD=AB=BC=CD=4cm，∠C=∠A=60°，∠ADC=180°-∠A=120°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠DBF=∠ADB=∠BDC=∠C=60°。
1. 验证结论②：
在△ADE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AD=BD\\ ∠ A=∠ DBF=60°\\ AE=BF\end{array} $
∴△ADE≌△BDF（SAS），故②正确。
2. 验证结论④：
由△ADE≌△BDF得DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°，
∴∠EDF=∠BDF+∠BDE=60°，
又
∵DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，故④正确。
3. 验证结论①：
∵∠BDC=∠CDF+∠BDF=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°，且∠ADE=∠BDF，
∴∠BDE=∠CDF，故①正确。
4. 验证结论③：
∵△ADE≌△BDF，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ BDF}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{△ BDE}+S_{△ BDF}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=S_{△ ABD}$，
边长为4cm的等边三角形ABD的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，
即四边形DEBF的面积为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，不是$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，解题的突破口是由60°内角得到菱形内的等边三角形，再结合全等三角形的性质推导角、边关系，逐一验证结论，需要注意面积转换的方法，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时先结合菱形的性质和∠A=60°的条件，判断出△ABD、△BCD均为等边三角形，得到边相等、角相等的基础条件；再结合已知AE=BF，通过全等三角形判定定理验证△ADE与△BDF是否全等，再根据全等的性质推导角、边的关系，逐一判断4个结论的正误，最后计算四边形DEBF的面积验证结论③。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=4cm，∠A=60°，
∴AD=AB=BC=CD=4cm，∠C=∠A=60°，∠ADC=180°-∠A=120°，
∴△ABD和△BCD都是等边三角形，
∴AD=BD，∠A=∠DBF=∠ADB=∠BDC=∠C=60°。
1. 验证结论②：
在△ADE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l}AD=BD\\ ∠ A=∠ DBF=60°\\ AE=BF\end{array} $
∴△ADE≌△BDF（SAS），故②正确。
2. 验证结论④：
由△ADE≌△BDF得DE=DF，∠ADE=∠BDF，
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°，
∴∠EDF=∠BDF+∠BDE=60°，
又
∵DE=DF，
∴△DEF是等边三角形，故④正确。
3. 验证结论①：
∵∠BDC=∠CDF+∠BDF=60°，∠ADB=∠ADE+∠BDE=60°，且∠ADE=∠BDF，
∴∠BDE=∠CDF，故①正确。
4. 验证结论③：
∵△ADE≌△BDF，
∴$S_{△ ADE}=S_{△ BDF}$，
∴$S_{四边形DEBF}=S_{△ BDE}+S_{△ BDF}=S_{△ BDE}+S_{△ ADE}=S_{△ ABD}$，
边长为4cm的等边三角形ABD的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×4^2=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，
即四边形DEBF的面积为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，不是$8\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是菱形性质的综合应用题，解题的突破口是由60°内角得到菱形内的等边三角形，再结合全等三角形的性质推导角、边关系，逐一验证结论，需要注意面积转换的方法，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ CAB=∠ B=30°$,$D$,$E$分别为$AB$,$AC$的中点,延长$BC$至点$F$,使$CF=\dfrac{1}{2}BC$,连接$CD$,$EF$和$AF$.
(1)求证:四边形$CDEF$为菱形;
(2)若$BC=2$,求$AF$的长.
(1)求证:四边形$CDEF$为菱形;
(2)若$BC=2$,求$AF$的长.
答案
11.解:(1)证明:
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE//BC,DE=$\frac{1}{2}$BC.又
∵CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE//CF,DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形.
∵∠CAB=∠B=30°,
∴BC=AC,∠ACF=60°,
∴∠CED=60°.
∵DE=$\frac{1}{2}$BC,CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE=CE,
∴△DEC是等边三角形,
∴DE=DC,
∴平行四边形CDEF为菱形.
(2)$AF=\sqrt{3}$.
∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE//BC,DE=$\frac{1}{2}$BC.又
∵CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE//CF,DE=CF,
∴四边形CDEF是平行四边形.
∵∠CAB=∠B=30°,
∴BC=AC,∠ACF=60°,
∴∠CED=60°.
∵DE=$\frac{1}{2}$BC,CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC,
∴DE=CE,
∴△DEC是等边三角形,
∴DE=DC,
∴平行四边形CDEF为菱形.
(2)$AF=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1) 要证四边形CDEF是菱形，优先考虑先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用D、E是AB、AC中点的条件，结合三角形中位线定理得到DE和BC的平行、数量关系，结合CF=½BC可证DE与CF平行且相等，得到平行四边形；再结合△ABC是等腰三角形的角度、边长特征，推导得到DE=DC，即可证得菱形。
(2) 求AF的长度时，先根据已知BC的长度推导AC、CF的长度，再求出∠ACF的度数，利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可计算出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
又
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF，且DE//CF，
∴四边形CDEF是平行四边形。
∵∠CAB=∠B=30°，
∴AC=BC，∠ACB=180°-30°-30°=120°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=60°，
∵E是AC中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=DE，
又
∵DE//BC，
∴∠CED=∠ACF=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE=DC，
∴平行四边形CDEF为菱形。
(2) 解：
∵BC=2，
∴AC=BC=2，CF=$\frac{1}{2}$BC=1，
由(1)知∠ACF=60°，
在△ACF中，AC=2，CF=1，∠ACF=60°，过A作AH⊥BF于H，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=1，即CH=CF，点F与H重合，
∴△ACF是直角三角形，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形CDEF为菱形；
(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了三角形、平行四边形、菱形的相关知识点，解题时需要逐层推导边、角的关系，对巩固特殊四边形的判定和特殊三角形的性质应用有很好的训练效果。
【难度系数】
0.7
(1) 要证四边形CDEF是菱形，优先考虑先证其为平行四边形，再证一组邻边相等。首先利用D、E是AB、AC中点的条件，结合三角形中位线定理得到DE和BC的平行、数量关系，结合CF=½BC可证DE与CF平行且相等，得到平行四边形；再结合△ABC是等腰三角形的角度、边长特征，推导得到DE=DC，即可证得菱形。
(2) 求AF的长度时，先根据已知BC的长度推导AC、CF的长度，再求出∠ACF的度数，利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可计算出AF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
又
∵CF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE=CF，且DE//CF，
∴四边形CDEF是平行四边形。
∵∠CAB=∠B=30°，
∴AC=BC，∠ACB=180°-30°-30°=120°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=60°，
∵E是AC中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BC=DE，
又
∵DE//BC，
∴∠CED=∠ACF=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DE=DC，
∴平行四边形CDEF为菱形。
(2) 解：
∵BC=2，
∴AC=BC=2，CF=$\frac{1}{2}$BC=1，
由(1)知∠ACF=60°，
在△ACF中，AC=2，CF=1，∠ACF=60°，过A作AH⊥BF于H，
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=1，即CH=CF，点F与H重合，
∴△ACF是直角三角形，
由勾股定理得：$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) 证明见解析，四边形CDEF为菱形；
(2) $\sqrt{3}$
【知识点】
三角形中位线定理，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了三角形、平行四边形、菱形的相关知识点，解题时需要逐层推导边、角的关系，对巩固特殊四边形的判定和特殊三角形的性质应用有很好的训练效果。
【难度系数】
0.7
