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8. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在边 $CD$ 上,$CF ⊥ BE$,垂足为点 $F$.若 $AB=1$,$∠ EBC=30°$,则 $△ ABF$ 的面积为 $\quad (\quad)$
A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{5}{8}$
D.$1$
A.$\dfrac{3}{8}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{5}{8}$
D.$1$
答案
8.A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用正方形性质确定边长和直角关系，已知正方形ABCD中AB=1，可得BC=1，∠ABC=∠BFC=90°；第二步，在含30°角的Rt△BFC中，结合勾股定理求出BF长度，再过F作BC的垂线，利用30°直角三角形的性质求出BM（垂足为M）的长度；第三步，明确△ABF以AB为底时，高就是F到AB的水平距离，即BM的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，∠FBC=30°，BC=1，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{BC^2-CF^2}$=$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
过F作FM⊥BC于M，在Rt△BFM中，∠FBM=30°，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴FM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由勾股定理得：BM=$\sqrt{BF^2-FM^2}$=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{4})^2}$=$\frac{3}{4}$。
∵AB⊥BC，
∴F到AB的距离等于BM的长度，
∴$S_{△ ABF}$=$\frac{1}{2}$×AB×BM=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正方形和特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是通过作辅助线快速找到所求三角形的高，需要熟练掌握30°直角三角形的边长关系和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为三步：第一步，利用正方形性质确定边长和直角关系，已知正方形ABCD中AB=1，可得BC=1，∠ABC=∠BFC=90°；第二步，在含30°角的Rt△BFC中，结合勾股定理求出BF长度，再过F作BC的垂线，利用30°直角三角形的性质求出BM（垂足为M）的长度；第三步，明确△ABF以AB为底时，高就是F到AB的水平距离，即BM的长度，代入面积公式即可算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=1，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°。
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，∠FBC=30°，BC=1，
∴CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：BF=$\sqrt{BC^2-CF^2}$=$\sqrt{1^2-(\frac{1}{2})^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
过F作FM⊥BC于M，在Rt△BFM中，∠FBM=30°，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴FM=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
由勾股定理得：BM=$\sqrt{BF^2-FM^2}$=$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{\sqrt{3}}{4})^2}$=$\frac{3}{4}$。
∵AB⊥BC，
∴F到AB的距离等于BM的长度，
∴$S_{△ ABF}$=$\frac{1}{2}$×AB×BM=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查正方形和特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是通过作辅助线快速找到所求三角形的高，需要熟练掌握30°直角三角形的边长关系和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.65
9. 若四边形ABCD是平行四边形,则下列结论错误的是 (
A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
D
)A.当∠ABC=90°时,它是矩形
B.当AB=BC时,它是菱形
C.当AC⊥BD时,它是菱形
D.当AC=BD时,它是正方形
答案
9.D
解析
【分析】
本题已知四边形是平行四边形，需结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析选项：首先明确平行四边形前提下，矩形、菱形、正方形各自的判定条件，再核对每个选项给出的条件对应的结论是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 若∠ABC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，结论正确，不符合题意；
B. 若AB=BC，即平行四边形有一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
C. 若AC⊥BD，即平行四边形对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
D. 若AC=BD，即平行四边形对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，此时该四边形是矩形，并非正方形（正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件），结论错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查特殊平行四边形的判定规则，解题关键是区分在平行四边形的基础上，不同附加条件对应的特殊四边形类型，避免混淆矩形与正方形的判定条件。
【难度系数】
0.8
本题已知四边形是平行四边形，需结合特殊平行四边形的判定定理逐一分析选项：首先明确平行四边形前提下，矩形、菱形、正方形各自的判定条件，再核对每个选项给出的条件对应的结论是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，逐一分析选项：
A. 若∠ABC=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可知该四边形是矩形，结论正确，不符合题意；
B. 若AB=BC，即平行四边形有一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
C. 若AC⊥BD，即平行四边形对角线互相垂直，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可知该四边形是菱形，结论正确，不符合题意；
D. 若AC=BD，即平行四边形对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，此时该四边形是矩形，并非正方形（正方形需要同时满足矩形和菱形的判定条件），结论错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定；菱形的判定；正方形的判定
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查特殊平行四边形的判定规则，解题关键是区分在平行四边形的基础上，不同附加条件对应的特殊四边形类型，避免混淆矩形与正方形的判定条件。
【难度系数】
0.8
10. 如图,正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,$OE=$5,连接DE.
(1)线段AE的长为________;
(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为________.
(1)线段AE的长为________;
(2)若F为DE的中点,则线段AF的长为________.
答案
10.(1)2 (2)$\dfrac{\sqrt{10}}{2}$
解析
【分析】
(1) 先根据正方形边长求出对角线长度，再利用正方形对角线互相平分的性质得到AO的长度，结合已知OE的长度，用OE减去AO即可求出AE的长；
(2) 通过建立平面直角坐标系，将各点位置用坐标表示，先根据中点坐标公式求出DE中点F的坐标，再用两点间距离公式计算AF的长度，方法直观且符合八年级知识要求。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$，
∴正方形对角线长度$AC=BD=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=6$，
∵正方形对角线互相平分，对角线AC、BD交于点O，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=3$，
∵点E在CA的延长线上，$OE=5$，
∴$AE=OE-AO=5-3=2$；
(2) 以O为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
可得各点坐标：$A(-3,0)$，$D(0,3)$，E在CA延长线上且$OE=5$，故$E(-5,0)$，
∵F为DE的中点，根据中点坐标公式可得F点坐标为$(\frac{-5+0}{2},\frac{0+3}{2})$，即$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$，
根据两点间距离公式：
$AF=\sqrt{(-\frac{5}{2}-(-3))^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{1+9}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1)$\boxed{2}$；(2)$\boxed{\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题围绕正方形的性质设置考点，解题的核心是熟练掌握正方形对角线互相垂直、平分且相等的特点，结合坐标法或勾股定理即可快速求解，是正方形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据正方形边长求出对角线长度，再利用正方形对角线互相平分的性质得到AO的长度，结合已知OE的长度，用OE减去AO即可求出AE的长；
(2) 通过建立平面直角坐标系，将各点位置用坐标表示，先根据中点坐标公式求出DE中点F的坐标，再用两点间距离公式计算AF的长度，方法直观且符合八年级知识要求。
【解析】
(1)
∵正方形ABCD的边长为$3\sqrt{2}$，
∴正方形对角线长度$AC=BD=3\sqrt{2}×\sqrt{2}=6$，
∵正方形对角线互相平分，对角线AC、BD交于点O，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=3$，
∵点E在CA的延长线上，$OE=5$，
∴$AE=OE-AO=5-3=2$；
(2) 以O为原点，AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
可得各点坐标：$A(-3,0)$，$D(0,3)$，E在CA延长线上且$OE=5$，故$E(-5,0)$，
∵F为DE的中点，根据中点坐标公式可得F点坐标为$(\frac{-5+0}{2},\frac{0+3}{2})$，即$(-\frac{5}{2},\frac{3}{2})$，
根据两点间距离公式：
$AF=\sqrt{(-\frac{5}{2}-(-3))^2+(\frac{3}{2}-0)^2}=\sqrt{(\frac{1}{2})^2+(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{1+9}{4}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
(1)$\boxed{2}$；(2)$\boxed{\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$
【知识点】
正方形的性质，勾股定理，两点间距离公式
【点评】
本题围绕正方形的性质设置考点，解题的核心是熟练掌握正方形对角线互相垂直、平分且相等的特点，结合坐标法或勾股定理即可快速求解，是正方形性质应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
11.已知正方形花园ABCD.
(1)如图1,E,F是花园的两个门(门的宽度忽略不计),且$DE=CF$,要修建两条路BE和AF,请问这两条路的长度相等吗?请说明理由.
(2)如图2,在花园四边各开一个门E,F,G,H(门的宽度忽略不计),并修建两条路EG和FH,使得$EG⊥FH$,问:这两条路的长度相等吗?请说明理由.
(1)如图1,E,F是花园的两个门(门的宽度忽略不计),且$DE=CF$,要修建两条路BE和AF,请问这两条路的长度相等吗?请说明理由.
(2)如图2,在花园四边各开一个门E,F,G,H(门的宽度忽略不计),并修建两条路EG和FH,使得$EG⊥FH$,问:这两条路的长度相等吗?请说明理由.
答案
11.解:(1)这两条路的长度相等. 理由如下: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB=AD=CD,∠ BAD=∠ D=90°$.
$\because DE=CF,\therefore AE=DF,\therefore$ 易证$△ BAE≌△ ADF,\therefore BE=AF,\therefore$ 这两条路的长度相等.
(2)这两条路的长度相等. 理由如下:如图,作$EM⊥ BC$于点$M$,交$HF$于点$P$,作$HN⊥ CD$于点$N$,交$EM$于点$Q$,$EG$,$HN$交于点$O$. 由题意得四边形$AHND$、四边形$EMCD$、四边形$EQND$都是矩形,$\therefore HN=AD$,$EM=CD$,$∠ EQO=90°$,$\therefore HN=EM$. 由 $EG ⊥ FH$,易得$∠ PHO=∠ QEO$. $\because ∠ EMG=∠ HNF=90°$,$\therefore △ EMG≌△ HNF(\mathrm{ASA})$,$\therefore EG=HF$,$\therefore$ 这两条路的长度相等.
解析
【分析】
（1）要判断BE和AF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角，再结合已知DE=CF推导得到AE=DF，即可证明△BAE和△ADF全等，从而得到对应边相等。
（2）要判断EG和FH是否相等，无直接全等三角形时可作辅助线构造直角三角形：分别过E作BC的垂线、过H作CD的垂线，利用矩形性质可得两条垂线长度均等于正方形边长，再结合EG⊥FH推导角相等，证明构造的两个直角三角形全等，即可得到EG和FH相等。
【解析】
(1) 这两条路的长度相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD=CD$，$∠ BAD=∠ D=90°$，
∵ $DE=CF$，
∴ $AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$，
在$△ BAE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} AB=AD \\ ∠BAE=∠ADF \\ AE=DF \end{cases}$
∴ $△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE=AF$，即两条路长度相等。
(2) 这两条路的长度相等，理由如下：
如图，作$EM⊥ BC$于点$M$，交$HF$于点$P$，作$HN⊥ CD$于点$N$，交$EM$于点$Q$，$EG$、$HN$交于点$O$。
由正方形性质可得$AD=CD$，$AD// BC$，$AB// CD$，$∠C=∠D=90°$，
∴ 四边形$AHND$、四边形$EMCD$都是矩形，
∴ $HN=AD$，$EM=CD$，$∠EQO=∠HNF=∠EMG=90°$，
∴ $HN=EM$。
∵ $EG ⊥ FH$，
∴ $∠POE=90°$，
∴ $∠QEO+∠QOE=90°$，$∠PHO+∠HOQ=90°$，
又
∵ $∠QOE=∠HOQ$（对顶角相等），
∴ $∠QEO=∠PHO$，即$∠GEM=∠FHN$。
在$△ EMG$和$△ HNF$中：
$\begin{cases} ∠EMG=∠HNF=90° \\ EM=HN \\ ∠GEM=∠FHN \end{cases}$
∴ $△ EMG≌△ HNF(\mathrm{ASA})$，
∴ $EG=HF$，即两条路长度相等。
【答案】
(1) 两条路长度相等，理由见解析；
(2) 两条路长度相等，理由见解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题以正方形为背景考查线段相等的证明，核心解题思路是通过构造全等三角形转化线段关系，第二问的辅助线构造是解题的关键，能够有效考查几何逻辑推理能力和辅助线构造的技巧。
【难度系数】
0.7
（1）要判断BE和AF是否相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解：首先利用正方形的性质得到边相等、内角为直角，再结合已知DE=CF推导得到AE=DF，即可证明△BAE和△ADF全等，从而得到对应边相等。
（2）要判断EG和FH是否相等，无直接全等三角形时可作辅助线构造直角三角形：分别过E作BC的垂线、过H作CD的垂线，利用矩形性质可得两条垂线长度均等于正方形边长，再结合EG⊥FH推导角相等，证明构造的两个直角三角形全等，即可得到EG和FH相等。
【解析】
(1) 这两条路的长度相等，理由如下：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB=AD=CD$，$∠ BAD=∠ D=90°$，
∵ $DE=CF$，
∴ $AD-DE=CD-CF$，即$AE=DF$，
在$△ BAE$和$△ ADF$中：
$\begin{cases} AB=AD \\ ∠BAE=∠ADF \\ AE=DF \end{cases}$
∴ $△ BAE≌△ ADF(\mathrm{SAS})$，
∴ $BE=AF$，即两条路长度相等。
(2) 这两条路的长度相等，理由如下：
如图，作$EM⊥ BC$于点$M$，交$HF$于点$P$，作$HN⊥ CD$于点$N$，交$EM$于点$Q$，$EG$、$HN$交于点$O$。
由正方形性质可得$AD=CD$，$AD// BC$，$AB// CD$，$∠C=∠D=90°$，
∴ 四边形$AHND$、四边形$EMCD$都是矩形，
∴ $HN=AD$，$EM=CD$，$∠EQO=∠HNF=∠EMG=90°$，
∴ $HN=EM$。
∵ $EG ⊥ FH$，
∴ $∠POE=90°$，
∴ $∠QEO+∠QOE=90°$，$∠PHO+∠HOQ=90°$，
又
∵ $∠QOE=∠HOQ$（对顶角相等），
∴ $∠QEO=∠PHO$，即$∠GEM=∠FHN$。
在$△ EMG$和$△ HNF$中：
$\begin{cases} ∠EMG=∠HNF=90° \\ EM=HN \\ ∠GEM=∠FHN \end{cases}$
∴ $△ EMG≌△ HNF(\mathrm{ASA})$，
∴ $EG=HF$，即两条路长度相等。
【答案】
(1) 两条路长度相等，理由见解析；
(2) 两条路长度相等，理由见解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
【点评】
本题以正方形为背景考查线段相等的证明，核心解题思路是通过构造全等三角形转化线段关系，第二问的辅助线构造是解题的关键，能够有效考查几何逻辑推理能力和辅助线构造的技巧。
【难度系数】
0.7
