登录
12. 如图,在正方形ABCD中,点E,F在对角线AC上,AC=12.若∠FBE=45°,CF=4,求EF的长.
答案
12.解:将$△ BCF$绕着点 $B$ 逆时针旋转 $90°$得到$△ BAG$,连接 $EG$,如图. 由旋转的性质知$∠ GBF=∠ ABC=90°$,$∠ GAB=∠ FCB=45°$,$BG=BF$,$AG=CF=4$,$\therefore ∠ GAE=∠ GAB+∠ BAC=45°+45°=90°$. $\because ∠ GBF=90°$,$∠ FBE=45°$,$\therefore ∠ GBE=∠ GBF-∠ FBE=45°$,易证$△ GBE≌△ FBE$,$\therefore GE=FE$. 设 $EF=GE=x$,则$AE=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ AGE$中,$4^2+(8-x)^2=x^2$,解得$x=5$,$\therefore EF=5$.
解析
【分析】
要求EF的长，已知AC总长为12、CF=4，可先求得AF=8，即AE+EF=8。结合正方形的性质：AB=BC、∠ABC=90°，对角线AC平分内角得∠BAC=∠BCA=45°，又已知∠FBE=45°，可通过旋转构造全等三角形转化线段：将△BCF绕点B逆时针旋转90°，使BC与BA重合，把CF转化为AG，再结合角度关系证明△GBE≌△FBE，将EF转化为GE，同时可证△AGE为直角三角形，最后利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图。
由旋转的性质可知：∠GBF=∠ABC=90°，∠GAB=∠FCB=45°，BG=BF，AG=CF=4。
∴∠GAE=∠GAB+∠BAC=45°+45°=90°，即△AGE是直角三角形。
∵∠GBF=90°，∠FBE=45°，
∴∠GBE=∠GBF - ∠FBE=90°-45°=45°，即∠GBE=∠FBE。
在△GBE和△FBE中：
$\{\begin{array}{l}BG=BF\\ ∠ GBE=∠ FBE\\ BE=BE\end{array} $
∴△GBE≌△FBE（SAS），得GE=FE。
设EF=GE=x，
∵AC=12，CF=4，
∴AF=AC-CF=8，即AE+EF=8，故AE=8-x。
在Rt△AGE中，由勾股定理得$AG^2 + AE^2 = GE^2$，
代入数据：$4^2 + (8-x)^2 = x^2$，
展开化简得：$16+64-16x+x^2=x^2$，即$80-16x=0$，
解得$x=5$。
【答案】
EF的长为5。
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形背景下线段求解的典型题，解题核心是利用正方形邻边相等的特点，通过旋转构造全等三角形，实现线段和角度的转化，将所求线段放入直角三角形中用勾股定理列方程求解，体现了几何中的转化思想，要注意旋转法在正方形、等边三角形这类邻边相等图形中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
要求EF的长，已知AC总长为12、CF=4，可先求得AF=8，即AE+EF=8。结合正方形的性质：AB=BC、∠ABC=90°，对角线AC平分内角得∠BAC=∠BCA=45°，又已知∠FBE=45°，可通过旋转构造全等三角形转化线段：将△BCF绕点B逆时针旋转90°，使BC与BA重合，把CF转化为AG，再结合角度关系证明△GBE≌△FBE，将EF转化为GE，同时可证△AGE为直角三角形，最后利用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAG，连接EG，如图。
由旋转的性质可知：∠GBF=∠ABC=90°，∠GAB=∠FCB=45°，BG=BF，AG=CF=4。
∴∠GAE=∠GAB+∠BAC=45°+45°=90°，即△AGE是直角三角形。
∵∠GBF=90°，∠FBE=45°，
∴∠GBE=∠GBF - ∠FBE=90°-45°=45°，即∠GBE=∠FBE。
在△GBE和△FBE中：
$\{\begin{array}{l}BG=BF\\ ∠ GBE=∠ FBE\\ BE=BE\end{array} $
∴△GBE≌△FBE（SAS），得GE=FE。
设EF=GE=x，
∵AC=12，CF=4，
∴AF=AC-CF=8，即AE+EF=8，故AE=8-x。
在Rt△AGE中，由勾股定理得$AG^2 + AE^2 = GE^2$，
代入数据：$4^2 + (8-x)^2 = x^2$，
展开化简得：$16+64-16x+x^2=x^2$，即$80-16x=0$，
解得$x=5$。
【答案】
EF的长为5。
【知识点】
正方形的性质，旋转的性质，勾股定理
【点评】
本题是正方形背景下线段求解的典型题，解题核心是利用正方形邻边相等的特点，通过旋转构造全等三角形，实现线段和角度的转化，将所求线段放入直角三角形中用勾股定理列方程求解，体现了几何中的转化思想，要注意旋转法在正方形、等边三角形这类邻边相等图形中的灵活运用。
【难度系数】
0.6
13.【问题情境】
如图1，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE.
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图2，当AD＝DE时，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明.
如图1，E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE.
【猜想证明】
（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；
（2）如图2，当AD＝DE时，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明.
答案
13.解:(1) 四边形 $BE'FE$ 是正方形. 理由如下: 由旋转的性质得$∠ CE'B=∠ AEB=90°$,$∠ EBE'=90°$.
又$\because ∠ BEF=90°$,$\therefore$ 四边形 $BE'FE$ 是矩形. 由旋转的性质得$BE=BE'$,$\therefore$ 四边形 $BE'FE$ 是正方形.
(2)$CF=FE'$. 证明:过点 $D$ 作$DH⊥ AE$于点 $H$. $\because AD=DE$,$\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE$. 易证$△ BAE≌△ ADH$,
$\therefore BE=AH=\dfrac{1}{2}AE$. 由旋转的性质得$AE=CE'$,由(1)得四边形 $BE'FE$ 是正方形,$\therefore FE'=BE$,$\therefore FE'=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{1}{2}CE'$,$\therefore CF=FE'$.
又$\because ∠ BEF=90°$,$\therefore$ 四边形 $BE'FE$ 是矩形. 由旋转的性质得$BE=BE'$,$\therefore$ 四边形 $BE'FE$ 是正方形.
(2)$CF=FE'$. 证明:过点 $D$ 作$DH⊥ AE$于点 $H$. $\because AD=DE$,$\therefore AH=EH=\dfrac{1}{2}AE$. 易证$△ BAE≌△ ADH$,
$\therefore BE=AH=\dfrac{1}{2}AE$. 由旋转的性质得$AE=CE'$,由(1)得四边形 $BE'FE$ 是正方形,$\therefore FE'=BE$,$\therefore FE'=\dfrac{1}{2}AE=\dfrac{1}{2}CE'$,$\therefore CF=FE'$.
解析
【分析】
（1）判断四边形$BE'FE$的形状时，先结合旋转的性质推导角的度数：旋转后对应角相等，可得$∠ CE'B=∠ AEB=90°$，旋转角$∠ EBE'=90°$，结合$∠ AEB=90°$可得$∠ BEF=90°$，此时四边形已有3个直角，可判定为矩形，再根据旋转得对应边$BE=BE'$，邻边相等的矩形即为正方形，即可得出结论。
（2）探究$CF$与$FE'$的数量关系时，已知$AD=DE$，可利用等腰三角形三线合一的性质，过$D$作$DH⊥ AE$于点$H$，得到$AH=EH=\frac{1}{2}AE$；再通过角度互余关系证明$△ BAE≌△ ADH$，推导得$BE=\frac{1}{2}AE$；结合旋转的性质得$AE=CE'$，再结合（1）中正方形的性质$FE'=BE$，即可推出$FE'=\frac{1}{2}CE'$，由此得$CF=FE'$。
【解析】
（1）四边形$BE'FE$是正方形，理由如下：
由旋转的性质可得：$∠ CE'B=∠ AEB=90°$，$∠ EBE'=90°$。
$\because ∠ AEB=90°$，$\therefore ∠ BEF=180°-∠ AEB=90°$，
$\therefore$ 四边形$BE'FE$的三个角均为直角，$\therefore$ 四边形$BE'FE$是矩形。
又由旋转的性质得$BE=BE'$，$\therefore$ 邻边相等的矩形$BE'FE$是正方形。
（2）$CF=FE'$，证明如下：
过点$D$作$DH⊥ AE$于点$H$。
$\because AD=DE$，$DH⊥ AE$，$\therefore AH=EH=\frac{1}{2}AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ ADH+∠ DAH=90°$，$∠ BAE+∠ DAH=90°$，$\therefore ∠ ADH=∠ BAE$。
在$△ BAE$和$△ ADH$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DHA=90° \\∠ BAE=∠ ADH \\AB=DA\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ ADH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BE=AH=\frac{1}{2}AE$。
由旋转的性质得$AE=CE'$，由（1）得四边形$BE'FE$是正方形，$\therefore FE'=BE$，
$\therefore FE'=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}CE'$，$\therefore CF=CE'-FE'=FE'$。
【答案】
（1）四边形$BE'FE$是正方形；
（2）$CF=FE'$
【知识点】
旋转的性质；正方形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题时要注意利用旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，且前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用。第二问中通过作等腰三角形的高构造全等三角形是解题的突破口，需要熟练掌握特殊四边形的判定方法和全等三角形的证明思路。
【难度系数】
0.6
（1）判断四边形$BE'FE$的形状时，先结合旋转的性质推导角的度数：旋转后对应角相等，可得$∠ CE'B=∠ AEB=90°$，旋转角$∠ EBE'=90°$，结合$∠ AEB=90°$可得$∠ BEF=90°$，此时四边形已有3个直角，可判定为矩形，再根据旋转得对应边$BE=BE'$，邻边相等的矩形即为正方形，即可得出结论。
（2）探究$CF$与$FE'$的数量关系时，已知$AD=DE$，可利用等腰三角形三线合一的性质，过$D$作$DH⊥ AE$于点$H$，得到$AH=EH=\frac{1}{2}AE$；再通过角度互余关系证明$△ BAE≌△ ADH$，推导得$BE=\frac{1}{2}AE$；结合旋转的性质得$AE=CE'$，再结合（1）中正方形的性质$FE'=BE$，即可推出$FE'=\frac{1}{2}CE'$，由此得$CF=FE'$。
【解析】
（1）四边形$BE'FE$是正方形，理由如下：
由旋转的性质可得：$∠ CE'B=∠ AEB=90°$，$∠ EBE'=90°$。
$\because ∠ AEB=90°$，$\therefore ∠ BEF=180°-∠ AEB=90°$，
$\therefore$ 四边形$BE'FE$的三个角均为直角，$\therefore$ 四边形$BE'FE$是矩形。
又由旋转的性质得$BE=BE'$，$\therefore$ 邻边相等的矩形$BE'FE$是正方形。
（2）$CF=FE'$，证明如下：
过点$D$作$DH⊥ AE$于点$H$。
$\because AD=DE$，$DH⊥ AE$，$\therefore AH=EH=\frac{1}{2}AE$。
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore AD=AB$，$∠ DAB=90°$，
$\therefore ∠ ADH+∠ DAH=90°$，$∠ BAE+∠ DAH=90°$，$\therefore ∠ ADH=∠ BAE$。
在$△ BAE$和$△ ADH$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ DHA=90° \\∠ BAE=∠ ADH \\AB=DA\end{cases}$
$\therefore △ BAE≌△ ADH(\mathrm{AAS})$，$\therefore BE=AH=\frac{1}{2}AE$。
由旋转的性质得$AE=CE'$，由（1）得四边形$BE'FE$是正方形，$\therefore FE'=BE$，
$\therefore FE'=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}CE'$，$\therefore CF=CE'-FE'=FE'$。
【答案】
（1）四边形$BE'FE$是正方形；
（2）$CF=FE'$
【知识点】
旋转的性质；正方形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，解题时要注意利用旋转前后图形对应边、对应角相等的性质，且前一问的结论可直接作为后一问的已知条件使用。第二问中通过作等腰三角形的高构造全等三角形是解题的突破口，需要熟练掌握特殊四边形的判定方法和全等三角形的证明思路。
【难度系数】
0.6
