1. 阅读材料,解答下面的问题.
杆秤是我国传统的计重工具,它制作轻巧,使用也极为便利,作为商品流通的度量工具,活跃在大江南北,代代相传,并不断赋予秤以文化内涵.
【建立模型】
如图1,可以用秤砣到秤纽的水平距离,来得出秤钩上所挂物体的重量.称重时,秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为$x$(单位:cm),秤钩所挂物重为$y$(单位:斤,1斤$=0.5\ \mathrm{kg}$),$y$是$x$的一次函数,表中为校准秤杆时若干次称重所记录的一些数据.
| $x/\mathrm{cm}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y/$斤 | 0.6 | 1.3 | 2 | 2.7 | 3.4 | 4.8 |
【解决问题】
(1)在上表的数据中,发现有一组数据记录错误,在图2中,通过描点的方法,观察判断哪一组数据是错误的,并以坐标的形式表示出来.
(2)秤杆上秤砣到秤纽的水平距离$x$每增加$1\ \mathrm{cm}$,秤钩所挂物重$y$增加斤.
(3)根据表格和图象的发现,通过计算回答下列问题.
①求$y$关于$x$的函数表达式；
②当秤钩所挂物重是$6.2$斤时,秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？

1.(1)把表中数据描点如下图.观察图象可知,由于y是x的一次函数,(6,4.8)没有位于直线上,
∴x=6,y=4.8这组数据错误,即(6,4.8)是错误的.
(2)0.7 解析:由表中数据可知,当x=1时,y=0.6;当x=2时,y=1.3,
∴x每增加1 cm,秤杆所挂物重y增加1.3-0.6=0.7(斤).
(3)①设y关于x的函数表达式为y=kx+b,将(1,0.6),(2,1.3)代入,得$\begin{cases} k+b=0.6,\\ 2k+b=1.3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=0.7,\\ b=-0.1, \end{cases}$
∴y关于x的函数表达式为y=0.7x-0.1.
②当y=6.2时,6.2=0.7x-0.1,解得x=9.答:当秤钩所挂物重是6.2斤时,秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为9 cm.

【分析】
解题思路如下：
（1）已知y是x的一次函数，一次函数的图象为一条直线，因此将表格中所有数据对应的点描出后，不在这条直线上的点就是错误数据对应的坐标；
（2）x每增加1cm时y的增量就是一次函数的变化率，可通过两组相邻的正确数据作差直接求得；
（3）①求一次函数解析式使用待定系数法，选取两组正确的点代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到k、b的值，确定函数解析式；②已知函数值y求自变量x，将$y=6.2$代入已求出的解析式，解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 将表格中各组数据对应的点$(1,0.6),(2,1.3),(3,2),(4,2.7),(5,3.4),(6,4.8)$描在坐标系中，如下图。
因为y是x的一次函数，所有符合关系的点都在同一条直线上，观察图象可知点$(6,4.8)$不在其余点所在的直线上，因此该组数据记录错误。
(2) 选取两组相邻的正确数据：当$x=1$时$y=0.6$，$x=2$时$y=1.3$，则x每增加1cm，y的增量为$1.3-0.6=0.7$斤。
(3) ①设y关于x的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，选取两组正确的点$(1,0.6)$和$(2,1.3)$代入解析式，得：
$\begin{cases} k+b=0.6\\ 2k+b=1.3 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$k=0.7$，将$k=0.7$代入$k+b=0.6$，解得$b=-0.1$。
因此y关于x的函数表达式为$y=0.7x-0.1$。
②当秤钩所挂物重$y=6.2$斤时，代入解析式得：
$6.2=0.7x-0.1$
移项计算得$0.7x=6.3$，解得$x=9$。
【答案】
(1) 错误数据为$\boldsymbol{(6,4.8)}$，描点图如下；
(2) $\boldsymbol{0.7}$；
(3) ①$y$关于$x$的函数表达式为$\boldsymbol{y=0.7x-0.1}$；②水平距离为$\boldsymbol{9\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
一次函数的图象与性质；待定系数法求解析式；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合传统杆秤的生活场景考查一次函数的相关知识，将数学知识与实际应用结合，既需要掌握一次函数图象的特点找到错误数据，也需要熟练运用待定系数法求解析式、代入求值，考查的都是一次函数的核心基础知识，解题时需注意计算的准确性。
【难度系数】
0.75