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3. 如图1,沪宁高速公路可近似看作一条直线.一辆货车以80 km/h的速度从南京出发匀速驶往上海;同时,一辆轿车以120 km/h的速度从苏州出发匀速驶往上海,停留0.5 h后,按照原速度继续开往南京,最终两车同时到达目的地.设货车行驶的时间为t h,货车与南京的距离为$y_1$ km,轿车与南京的距离为$y_2$ km.
(1)在图2中分别画出和补全$y_1$、$y_2$关于t的函数图象.
(2)分别求苏州到上海的距离和南京到上海的距离.
(3)若镇江距离南京90 km,直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔.
(1)在图2中分别画出和补全$y_1$、$y_2$关于t的函数图象.
(2)分别求苏州到上海的距离和南京到上海的距离.
(3)若镇江距离南京90 km,直接写出货车和轿车经过镇江的时间间隔.
答案
(1)画出和补全$y_1$、$y_2$关于t的函数图象如图所示
.(2)苏州到上海的距离为$120× \dfrac{2}{3}=80$(km).设南京到上海的距离为x km,根据题意,得$\dfrac{x}{80}=\dfrac{7}{6}+\dfrac{x}{120}$,解得x=280,即南京到上海的距离为280 km.
(3)货车经过镇江时的时间为$90÷ 80=\dfrac{9}{8}$(h),轿车经过镇江时的时间为$\dfrac{7}{6}+(280-90)÷ 120=\dfrac{11}{4}$(h),$\dfrac{11}{4}-\dfrac{9}{8}=\dfrac{13}{8}$(h).答:货车和轿车经过镇江的时间间隔为$\dfrac{13}{8}$ h.
解析
【分析】
本题是一次函数与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：
1. 画函数图像：$y_1$是货车从南京出发到上海的距离随时间变化的图像，起点为原点，匀速上升直到终点；$y_2$是轿车与南京的距离，先以120km/h速度向上海行驶（距离南京越来越远，上升段，到$t=\frac{2}{3}h$到达上海），然后停留0.5h（距离不变，水平段到$t=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}h$），之后原路返回南京（距离南京越来越近，下降段，和货车同时到达终点），按此过程补全图像即可。
2. 求两地距离：苏州到上海的距离是轿车从苏州开到上海的路程，直接用速度×时间计算；求南京到上海的距离，设为$x$km，根据两车行驶总时间相等列方程：货车总时间为$\frac{x}{80}$，轿车总时间为去上海的$\frac{2}{3}h$+停留0.5h+返回南京的$\frac{x}{120}h$，两者相等即可求解。
3. 求时间间隔：分别计算两车经过镇江的时间再求差。货车经过镇江的时间=南京到镇江的路程÷货车速度；轿车从上海返回南京时经过镇江，先取轿车从上海出发返回的时间$\frac{7}{6}h$，加上海到镇江的路程除以轿车速度的时长，即为轿车经过镇江的时间，最后做差得到间隔。
【解析】
(1) 绘制图像：
$y_1$为过原点$(0,0)$、终点为$(3.5,280)$的直线；$y_2$分为三段：$t\in[0,\frac{2}{3}]$是从$(0,200)$到$(\frac{2}{3},280)$的上升线段，$t\in[\frac{2}{3},\frac{7}{6}]$是$y=280$的水平线段，$t\in[\frac{7}{6},3.5]$是从$(\frac{7}{6},280)$到$(3.5,0)$的下降线段。
(2) 计算距离：
① 苏州到上海的距离：轿车从苏州到上海用时$\frac{2}{3}h$，速度120km/h，路程$=120×\frac{2}{3}=80(km)$。
② 设南京到上海的距离为$x$km，两车总行驶时间相等，列方程：
$\frac{x}{80}=\frac{7}{6}+\frac{x}{120}$
两边同乘240消分母得$3x=280+2x$，解得$x=280$。
(3) 计算时间间隔：
① 货车经过镇江的时间：$t_1=90÷80=\frac{9}{8}(h)$。
② 轿车从上海返回的起始时间为$\frac{7}{6}h$，上海到镇江的距离为$280-90=190(km)$，返回行驶到镇江用时$190÷120=\frac{19}{12}(h)$，因此轿车经过镇江的总时间：
$t_2=\frac{7}{6}+\frac{19}{12}=\frac{11}{4}(h)$
③ 时间间隔：$t_2-t_1=\frac{11}{4}-\frac{9}{8}=\frac{13}{8}(h)$。
【答案】
(1)画出和补全$y_1$、$y_2$关于t的函数图象如图所示。
(2)苏州到上海的距离为80 km，南京到上海的距离为280 km。
(3)货车和轿车经过镇江的时间间隔为$\dfrac{13}{8}$ h。
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合一次函数图像和行程问题，考查学生读取图像信息、分析运动过程、运用方程解决实际问题的能力，解题关键是理清两车不同阶段的运动状态，找准等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
本题是一次函数与行程问题结合的实际应用题，解题思路如下：
1. 画函数图像：$y_1$是货车从南京出发到上海的距离随时间变化的图像，起点为原点，匀速上升直到终点；$y_2$是轿车与南京的距离，先以120km/h速度向上海行驶（距离南京越来越远，上升段，到$t=\frac{2}{3}h$到达上海），然后停留0.5h（距离不变，水平段到$t=\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}h$），之后原路返回南京（距离南京越来越近，下降段，和货车同时到达终点），按此过程补全图像即可。
2. 求两地距离：苏州到上海的距离是轿车从苏州开到上海的路程，直接用速度×时间计算；求南京到上海的距离，设为$x$km，根据两车行驶总时间相等列方程：货车总时间为$\frac{x}{80}$，轿车总时间为去上海的$\frac{2}{3}h$+停留0.5h+返回南京的$\frac{x}{120}h$，两者相等即可求解。
3. 求时间间隔：分别计算两车经过镇江的时间再求差。货车经过镇江的时间=南京到镇江的路程÷货车速度；轿车从上海返回南京时经过镇江，先取轿车从上海出发返回的时间$\frac{7}{6}h$，加上海到镇江的路程除以轿车速度的时长，即为轿车经过镇江的时间，最后做差得到间隔。
【解析】
(1) 绘制图像：
$y_1$为过原点$(0,0)$、终点为$(3.5,280)$的直线；$y_2$分为三段：$t\in[0,\frac{2}{3}]$是从$(0,200)$到$(\frac{2}{3},280)$的上升线段，$t\in[\frac{2}{3},\frac{7}{6}]$是$y=280$的水平线段，$t\in[\frac{7}{6},3.5]$是从$(\frac{7}{6},280)$到$(3.5,0)$的下降线段。
(2) 计算距离：
① 苏州到上海的距离：轿车从苏州到上海用时$\frac{2}{3}h$，速度120km/h，路程$=120×\frac{2}{3}=80(km)$。
② 设南京到上海的距离为$x$km，两车总行驶时间相等，列方程：
$\frac{x}{80}=\frac{7}{6}+\frac{x}{120}$
两边同乘240消分母得$3x=280+2x$，解得$x=280$。
(3) 计算时间间隔：
① 货车经过镇江的时间：$t_1=90÷80=\frac{9}{8}(h)$。
② 轿车从上海返回的起始时间为$\frac{7}{6}h$，上海到镇江的距离为$280-90=190(km)$，返回行驶到镇江用时$190÷120=\frac{19}{12}(h)$，因此轿车经过镇江的总时间：
$t_2=\frac{7}{6}+\frac{19}{12}=\frac{11}{4}(h)$
③ 时间间隔：$t_2-t_1=\frac{11}{4}-\frac{9}{8}=\frac{13}{8}(h)$。
【答案】
(1)画出和补全$y_1$、$y_2$关于t的函数图象如图所示
。(2)苏州到上海的距离为80 km，南京到上海的距离为280 km。
(3)货车和轿车经过镇江的时间间隔为$\dfrac{13}{8}$ h。
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合一次函数图像和行程问题，考查学生读取图像信息、分析运动过程、运用方程解决实际问题的能力，解题关键是理清两车不同阶段的运动状态，找准等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两车从 A 地出发沿同一路线驶向 B 地,甲车先出发匀速驶向 B地,40 min 后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了 50 km/h,结果与甲车同时到达 B 地. 甲、乙两车距 A 地的路程 $y_1$ (单位:km)、$y_2$(单位:km)与乙车行驶时间 x(单位:h)之间的函数图象如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)a 的值为
(2)求乙车减速前的速度,以及图中线段 EF 所表示的 y 与 x 的函数表达式.
(1)a 的值为
4.5
;甲车的速度为60
km/h.(2)求乙车减速前的速度,以及图中线段 EF 所表示的 y 与 x 的函数表达式.
答案
(1)4.5 60 解析:$4+0.5=4.5(\mathrm{h})$,$\therefore a=4.5$,甲车的速度为$460÷ (\dfrac{40}{60}+7)=60(\mathrm{km/h})$.
(2)设乙车减速前的速度为v km/h,则减速后的速度为(v−50) km/h.根据题意,得4v+(7−4.5)(v−50)=460,解得v=90,
∴乙车减速前的速度为90 km/h,90×4=360(km),
∴D(4,360),
∴E(4.5,360),乙车减速后的速度为90−50=40(km/h),则y=360+40(x−4.5)=40x+180,
∴线段EF所表示的y与x的函数表达式为y=40x+180(4.5≤x≤7).
(2)设乙车减速前的速度为v km/h,则减速后的速度为(v−50) km/h.根据题意,得4v+(7−4.5)(v−50)=460,解得v=90,
∴乙车减速前的速度为90 km/h,90×4=360(km),
∴D(4,360),
∴E(4.5,360),乙车减速后的速度为90−50=40(km/h),则y=360+40(x−4.5)=40x+180,
∴线段EF所表示的y与x的函数表达式为y=40x+180(4.5≤x≤7).
解析
【分析】
（1）求a的值：观察图象可知乙车行驶4小时后到达货站，装货耗时半小时，此段时间路程不变，因此a等于4加上装货的0.5小时；求甲车速度：已知总路程为460km，甲车先出发40min，乙车行驶7h后两车同时到达，因此甲车总行驶时间为$\frac{40}{60}+7$h，根据速度=路程÷时间即可计算。
（2）求乙车减速前的速度：设减速前速度为v km/h，减速后速度为$(v-50)$km/h，乙车总路程为460km，其中前4小时按速度v行驶，装货0.5小时路程不变，剩余$(7-4.5)$h按$(v-50)$行驶，根据总路程列方程求解即可；求线段EF的解析式：先算出E点坐标（装货结束时的时间和路程），再结合F点$(7,460)$，利用行程关系即可推导函数表达式，同时标注自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 乙车在货站装货耗时0.5h，因此$a=4+0.5=4.5$；
甲车先出发40min，即$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$h，两车同时到达时甲车总行驶时间为$\frac{2}{3}+7=\frac{23}{3}$h，总路程为460km，因此甲车速度为$460÷\frac{23}{3}=60$km/h。
(2) 设乙车减速前的速度为$v$ km/h，则减速后的速度为$(v-50)$ km/h，根据总路程列方程：
$4v+(7-4.5)(v-50)=460$
解得$v=90$，即乙车减速前速度为90km/h。
乙车前4小时行驶的路程为$90×4=360$km，因此D点坐标为$(4,360)$，装货时路程不变，故E点坐标为$(4.5,360)$。
乙车减速后速度为$90-50=40$km/h，因此线段EF对应的函数表达式为：
$y=360+40(x-4.5)$，整理得$y=40x+180$，自变量x的取值范围是$4.5≤ x≤7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4.5}$；$\boldsymbol{60}$
(2) 乙车减速前的速度为90 km/h，线段EF所表示的y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=40x+180(4.5≤ x≤7)}$
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将行程问题与一次函数图象结合考查，解题的关键是准确理解图象中各拐点的实际意义，理清两车行驶的时间、速度、路程之间的等量关系，注意不要忽略甲车先出发的时间和乙车装货的停留时间。
【难度系数】
0.65
（1）求a的值：观察图象可知乙车行驶4小时后到达货站，装货耗时半小时，此段时间路程不变，因此a等于4加上装货的0.5小时；求甲车速度：已知总路程为460km，甲车先出发40min，乙车行驶7h后两车同时到达，因此甲车总行驶时间为$\frac{40}{60}+7$h，根据速度=路程÷时间即可计算。
（2）求乙车减速前的速度：设减速前速度为v km/h，减速后速度为$(v-50)$km/h，乙车总路程为460km，其中前4小时按速度v行驶，装货0.5小时路程不变，剩余$(7-4.5)$h按$(v-50)$行驶，根据总路程列方程求解即可；求线段EF的解析式：先算出E点坐标（装货结束时的时间和路程），再结合F点$(7,460)$，利用行程关系即可推导函数表达式，同时标注自变量x的取值范围。
【解析】
(1) 乙车在货站装货耗时0.5h，因此$a=4+0.5=4.5$；
甲车先出发40min，即$\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$h，两车同时到达时甲车总行驶时间为$\frac{2}{3}+7=\frac{23}{3}$h，总路程为460km，因此甲车速度为$460÷\frac{23}{3}=60$km/h。
(2) 设乙车减速前的速度为$v$ km/h，则减速后的速度为$(v-50)$ km/h，根据总路程列方程：
$4v+(7-4.5)(v-50)=460$
解得$v=90$，即乙车减速前速度为90km/h。
乙车前4小时行驶的路程为$90×4=360$km，因此D点坐标为$(4,360)$，装货时路程不变，故E点坐标为$(4.5,360)$。
乙车减速后速度为$90-50=40$km/h，因此线段EF对应的函数表达式为：
$y=360+40(x-4.5)$，整理得$y=40x+180$，自变量x的取值范围是$4.5≤ x≤7$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4.5}$；$\boldsymbol{60}$
(2) 乙车减速前的速度为90 km/h，线段EF所表示的y与x的函数表达式为$\boldsymbol{y=40x+180(4.5≤ x≤7)}$
【知识点】
一次函数的应用；行程问题；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题将行程问题与一次函数图象结合考查，解题的关键是准确理解图象中各拐点的实际意义，理清两车行驶的时间、速度、路程之间的等量关系，注意不要忽略甲车先出发的时间和乙车装货的停留时间。
【难度系数】
0.65
