登录
1. (2025·深圳)某学校采购体育用品,需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元,篮球、足球的单价如下:
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球的单价.
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过篮球个数的2倍,请问:购买多少个篮球时花费最少?最少费用是多少?
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件,求出篮球和足球的单价.
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个,且足球的个数不超过篮球个数的2倍,请问:购买多少个篮球时花费最少?最少费用是多少?
答案
(1)设篮球的单价为x元,足球的单价为y元,如选择条件①②:根据题意,得$\begin{cases} x+y+30=140,\\ 2y-x=40, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=60,\\ y=50, \end{cases}$答:篮球的单价为60元,足球的单价为50元.
(2)设该学校购买篮球m个,则购买足球(10−m)个.根据题意,得10−m≤2m,解得$m≥ \dfrac{10}{3}$.又
∵m≤10,
∴$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$.设学校购买篮球、足球的总费用为w元,则w=60m+50(10−m)=10m+500.
∵10＞0,
∴w随m的增大而增大.
∵$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$,且m为正整数,
∴当m=4时,w取得最小值,最小值为10×4+500=540(元),此时10−4=6.答:购买4个篮球时花费最少,最少费用是540元.
(2)设该学校购买篮球m个,则购买足球(10−m)个.根据题意,得10−m≤2m,解得$m≥ \dfrac{10}{3}$.又
∵m≤10,
∴$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$.设学校购买篮球、足球的总费用为w元,则w=60m+50(10−m)=10m+500.
∵10＞0,
∴w随m的增大而增大.
∵$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$,且m为正整数,
∴当m=4时,w取得最小值,最小值为10×4+500=540(元),此时10−4=6.答:购买4个篮球时花费最少,最少费用是540元.
解析
【分析】
(1) 第一问为二元一次方程组的应用，我们以选择条件①②为例：已知排球单价30元，条件①说明篮球、足球、排球各买1个共140元，可推出篮球+足球的总价为110元；条件②说明2个足球的价格比1个篮球多40元。设篮球单价为x元，足球单价为y元，根据上述两个等量关系即可列出方程组求解。
(2) 第二问是一次函数结合不等式的最值问题：先设购买篮球m个，则足球为(10−m)个，根据“足球个数不超过篮球个数的2倍”列不等式求出m的取值范围；再设总费用为w元，根据总费用的计算方法写出w关于m的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和m为正整数的要求，即可找到使总费用最小的m值和对应最小费用。
【解析】
(1) 选择条件①②求解：
设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+30=140\\ 2y-x=40 \end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=110$，将两个方程相加消去x，得$3y=150$，解得$y=50$，将$y=50$代入$x+y=110$，得$x=60$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=60\\ y=50 \end{cases}$。
(2) 设购买篮球m个，则购买足球$(10-m)$个。
根据题意列不等式：
$10-m≤2m$
解得$m≥ \dfrac{10}{3}$，结合$m≤10$且m为正整数，可得m的取值范围为$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$。
设总费用为w元，则：
$w=60m+50(10−m)=10m+500$
因为$10＞0$，所以w随m的增大而增大，因此当m取最小正整数4时，w取得最小值，代入得$w=10×4+500=540$元。
【答案】
(1) 篮球的单价为60元，足球的单价为50元。
(2) 购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合实际采购场景，综合考查了方程组、不等式和一次函数的相关知识，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，是应用型题目的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为二元一次方程组的应用，我们以选择条件①②为例：已知排球单价30元，条件①说明篮球、足球、排球各买1个共140元，可推出篮球+足球的总价为110元；条件②说明2个足球的价格比1个篮球多40元。设篮球单价为x元，足球单价为y元，根据上述两个等量关系即可列出方程组求解。
(2) 第二问是一次函数结合不等式的最值问题：先设购买篮球m个，则足球为(10−m)个，根据“足球个数不超过篮球个数的2倍”列不等式求出m的取值范围；再设总费用为w元，根据总费用的计算方法写出w关于m的一次函数表达式，结合一次函数的增减性和m为正整数的要求，即可找到使总费用最小的m值和对应最小费用。
【解析】
(1) 选择条件①②求解：
设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，根据题意列方程组：
$\begin{cases} x+y+30=140\\ 2y-x=40 \end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=110$，将两个方程相加消去x，得$3y=150$，解得$y=50$，将$y=50$代入$x+y=110$，得$x=60$。
因此方程组的解为$\begin{cases} x=60\\ y=50 \end{cases}$。
(2) 设购买篮球m个，则购买足球$(10-m)$个。
根据题意列不等式：
$10-m≤2m$
解得$m≥ \dfrac{10}{3}$，结合$m≤10$且m为正整数，可得m的取值范围为$\dfrac{10}{3}≤ m≤ 10$。
设总费用为w元，则：
$w=60m+50(10−m)=10m+500$
因为$10＞0$，所以w随m的增大而增大，因此当m取最小正整数4时，w取得最小值，代入得$w=10×4+500=540$元。
【答案】
(1) 篮球的单价为60元，足球的单价为50元。
(2) 购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数最值应用
【点评】
本题结合实际采购场景，综合考查了方程组、不等式和一次函数的相关知识，解题关键是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，结合一次函数的增减性求解最值，是应用型题目的典型考法。
【难度系数】
0.7
2. (2025·黑龙江)2024年8月6日,第十二届世界运动会口号“运动无限,气象万千”在京发布,吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动,准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元,购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元.
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元?
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个,投入资金不少于2 160元又不多于2 200元,有哪几种购买方案?
(3)设学校投入资金W元,在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少? 最少资金是多少元?
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元?
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个,投入资金不少于2 160元又不多于2 200元,有哪几种购买方案?
(3)设学校投入资金W元,在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少? 最少资金是多少元?
答案
(1)设购买一个“蜀宝”需要a元,购买一个“锦仔”需要b元.根据题意,得$\begin{cases} 3a+b=332,\\ 2a+3b=380, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=88,\\ b=68. \end{cases}$答:购买一个“蜀宝”需要88元,购买一个“锦仔”需要68元.
(2)设购买“蜀宝”x个,则购买“锦仔”(30−x)个.根据题意,得$\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2\ 160,\\ 88x+68(30-x)≤ 2\ 200, \end{cases}$解得6≤x≤8.
∵x为非负整数,
∴x=6、7或8.当x=6时,30−6=24(个);当x=7时,30−7=23(个);当x=8时,30−8=22(个),
∴共有三种购买方案,分别是:①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个,②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个,③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个.
(3)W=88x+68(30−x)=20x+2 040.
∵20＞0,
∴W随x的增大而增大.
∵x=6、7或8,
∴当x=6时,W的值最小,$W_{\mathrm{最小}}=20× 6+2\ 040=2160$(元).答:方案①需要的资金最少,最少资金是2 160元.
(2)设购买“蜀宝”x个,则购买“锦仔”(30−x)个.根据题意,得$\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2\ 160,\\ 88x+68(30-x)≤ 2\ 200, \end{cases}$解得6≤x≤8.
∵x为非负整数,
∴x=6、7或8.当x=6时,30−6=24(个);当x=7时,30−7=23(个);当x=8时,30−8=22(个),
∴共有三种购买方案,分别是:①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个,②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个,③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个.
(3)W=88x+68(30−x)=20x+2 040.
∵20＞0,
∴W随x的增大而增大.
∵x=6、7或8,
∴当x=6时,W的值最小,$W_{\mathrm{最小}}=20× 6+2\ 040=2160$(元).答:方案①需要的资金最少,最少资金是2 160元.
解析
【分析】
(1) 题中给出两种购买组合的总花费，存在两个明确的等量关系，可设两个未知数，列二元一次方程组求解两种吉祥物的单价。
(2) 已知总购买数量，以及总资金的范围，可设购买“蜀宝”的数量为x，用含x的式子表示“锦仔”的数量，根据总资金的上下限列一元一次不等式组，求出x的整数解即可得到所有购买方案。
(3) 先根据单价和购买数量写出总资金W关于x的一次函数表达式，再根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使W最小的x值，即可求出最少资金和对应方案。
【解析】
(1)设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元。根据题意，得
$\begin{cases} 3a+b=332,\\ 2a+3b=380, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=88,\\ b=68. \end{cases}$
答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元。
(2)设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”(30−x)个。根据题意，得
$\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160,\\ 88x+68(30-x)≤ 2200, \end{cases}$
解得6≤x≤8。
∵x为非负整数，
∴x=6、7或8。
当x=6时，30−6=24(个)；当x=7时，30−7=23(个)；当x=8时，30−8=22(个)，
∴共有三种购买方案，分别是：①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个，②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个，③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个。
(3)根据题意得：$W=88x+68(30−x)=20x+2040$。
∵20＞0，
∴W随x的增大而增大。
∵x的取值为6、7或8，
∴当x=6时，W的值最小，$W_{\mathrm{最小}}=20× 6+2040=2160$(元)。
答：购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案需要的资金最少，最少资金是2160元。
【答案】
(1) 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元；
(2) 共有3种购买方案：①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个；②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个；③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个；
(3) 购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案所需资金最少，最少资金为2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；一次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活情境的综合应用题，将方程、不等式、一次函数的知识点融合考查，要求学生具备从实际问题中提取数量关系的能力，解题逻辑层层递进，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 题中给出两种购买组合的总花费，存在两个明确的等量关系，可设两个未知数，列二元一次方程组求解两种吉祥物的单价。
(2) 已知总购买数量，以及总资金的范围，可设购买“蜀宝”的数量为x，用含x的式子表示“锦仔”的数量，根据总资金的上下限列一元一次不等式组，求出x的整数解即可得到所有购买方案。
(3) 先根据单价和购买数量写出总资金W关于x的一次函数表达式，再根据一次函数的增减性，结合x的取值范围，找到使W最小的x值，即可求出最少资金和对应方案。
【解析】
(1)设购买一个“蜀宝”需要a元，购买一个“锦仔”需要b元。根据题意，得
$\begin{cases} 3a+b=332,\\ 2a+3b=380, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=88,\\ b=68. \end{cases}$
答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元。
(2)设购买“蜀宝”x个，则购买“锦仔”(30−x)个。根据题意，得
$\begin{cases} 88x+68(30-x)≥ 2160,\\ 88x+68(30-x)≤ 2200, \end{cases}$
解得6≤x≤8。
∵x为非负整数，
∴x=6、7或8。
当x=6时，30−6=24(个)；当x=7时，30−7=23(个)；当x=8时，30−8=22(个)，
∴共有三种购买方案，分别是：①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个，②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个，③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个。
(3)根据题意得：$W=88x+68(30−x)=20x+2040$。
∵20＞0，
∴W随x的增大而增大。
∵x的取值为6、7或8，
∴当x=6时，W的值最小，$W_{\mathrm{最小}}=20× 6+2040=2160$(元)。
答：购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案需要的资金最少，最少资金是2160元。
【答案】
(1) 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元；
(2) 共有3种购买方案：①购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个；②购买“蜀宝”7个、“锦仔”23个；③购买“蜀宝”8个、“锦仔”22个；
(3) 购买“蜀宝”6个、“锦仔”24个的方案所需资金最少，最少资金为2160元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式组应用；一次函数实际应用
【点评】
本题是结合生活情境的综合应用题，将方程、不等式、一次函数的知识点融合考查，要求学生具备从实际问题中提取数量关系的能力，解题逻辑层层递进，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
