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2. 阅读材料，解答下面的问题.
问题情境：
在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数.例如:在弹性限度内,弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加,当弹簧所受的外力过大时,会损坏它的弹性,使得弹簧被拉到最长且无法复原.某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究.
方案设计：
“智慧小组”在探究“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时,多次改变砝码的质量$ x $(单位:g),测量得到弹簧的长度$ y $(单位:cm),且通过实验记录得到的数据如下表所示.
| 砝码的质量$ x $/g | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 400 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 弹簧的长度$ y $/cm | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象.
问题解决：
(1)表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是
(2)在弹性限度内，求弹簧的长度$ y $关于所挂砝码的质量$ x $的函数表达式；当砝码的质量为75 g时，求弹簧的长度.
(3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过
(4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
问题情境：
在物理学中有很多公式可以直接或者间接看成一次函数.例如:在弹性限度内,弹簧的长度随着拉力的增大而不断地增加,当弹簧所受的外力过大时,会损坏它的弹性,使得弹簧被拉到最长且无法复原.某班在实践课上对“弹簧的长度与所受外力之间的关系”进行了探究.
方案设计：
“智慧小组”在探究“弹簧的长度与所受外力之间的关系”时,多次改变砝码的质量$ x $(单位:g),测量得到弹簧的长度$ y $(单位:cm),且通过实验记录得到的数据如下表所示.
| 砝码的质量$ x $/g | 0 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 | 400 | 500 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 弹簧的长度$ y $/cm | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 7.5 | 7.5 | 7.5 |
如图，“智慧小组”根据实验数据，建立平面直角坐标系，并绘制了部分图象.
问题解决：
(1)表格反映了两个变量之间的关系，其中自变量是
砝码的质量x
.(2)在弹性限度内，求弹簧的长度$ y $关于所挂砝码的质量$ x $的函数表达式；当砝码的质量为75 g时，求弹簧的长度.
(3)在不损坏该弹簧的弹性限度的情况下，其所挂砝码的质量应不超过
250
g.(4)根据表格数据，在平面直角坐标系中补全该函数的图象.
答案
2.(1)砝码的质量x
(2)由表格可知,当所挂砝码的质量x(单位:g)满足0≤x≤250时符合弹簧的弹性限度.当0≤x≤250时,设弹簧的长度y关于所挂砝码的质量x的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把(0,2)、(50,3)代入,得$\begin{cases} b=2,\\ 50k+b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{50},\\ b=2, \end{cases}$
∴在弹性限度内,弹簧的长度y关于所挂砝码的质量x的函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2$.当x=75时,$y=\dfrac{75}{50}+2=3.5$,
∴当砝码的质量为75 g时,弹簧的长度为3.5 cm.
(3)250
(4)如图所示
.解析
【分析】
(1)判断自变量：自变量是主动发生变化的量，本实验中砝码的质量x是人为主动改变的，弹簧长度y随x的变化而变化，据此可确定自变量。
(2)求弹性限度内的函数表达式：首先从表格数据判断，当砝码质量不超过250g时，弹簧长度随砝码质量均匀增加，符合一次函数关系，因此可以用待定系数法设一次函数解析式，代入两组对应数值求解系数，再将x=75代入解析式即可求出对应弹簧长度。
(3)求弹性限度的最大砝码质量：观察表格数据，当砝码质量超过250g后，弹簧长度不再均匀增加，达到7.5cm后保持不变，说明此时已经超出弹性限度，据此可得到最大砝码质量。
(4)补全函数图象：将表格中未绘制的点依次在坐标系中描出，再按照数据变化趋势连线即可。
【解析】
(1)实验中主动改变的量是砝码的质量x，弹簧长度y随x的变化而变化，因此自变量是砝码的质量x。
(2)由表格数据可知，当$0≤ x≤250$时，弹簧处于弹性限度内，y与x满足一次函数关系。
设函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将点$(0,2)$、$(50,3)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=2\\ 50k + b = 3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{50}\\ b=2 \end{cases}$
因此弹性限度内，函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x + 2\ (0≤ x≤250)$。
当$x=75$时，代入表达式得：
$y=\dfrac{1}{50}×75 + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$
即砝码质量为75g时，弹簧长度为3.5cm。
(3)观察表格数据，当$x＞250$时，弹簧长度不再均匀增长，最终保持7.5cm不变，说明超出弹性限度，因此所挂砝码质量应不超过250g。
(4)根据表格数据，依次描出点(250,7)、(300,7.5)、(400,7.5)、(500,7.5)，将(200,6)到(250,7)、(250,7)到(300,7.5)用线段连接，再将(300,7.5)到(500,7.5)用水平线段连接，即可补全图象。
【答案】
(1)砝码的质量$x$
(2)弹性限度内函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2\ (0≤ x≤250)$；砝码质量为75g时，弹簧长度为3.5cm
(3)250
(4)如图所示
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；自变量与因变量的判断
【点评】
本题结合物理弹簧弹力实验的背景，考查一次函数在实际问题中的应用，需要学生具备从表格、图象中提取有效信息的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时能结合实际情境理解弹性限度的含义，是比较典型的跨学科基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1)判断自变量：自变量是主动发生变化的量，本实验中砝码的质量x是人为主动改变的，弹簧长度y随x的变化而变化，据此可确定自变量。
(2)求弹性限度内的函数表达式：首先从表格数据判断，当砝码质量不超过250g时，弹簧长度随砝码质量均匀增加，符合一次函数关系，因此可以用待定系数法设一次函数解析式，代入两组对应数值求解系数，再将x=75代入解析式即可求出对应弹簧长度。
(3)求弹性限度的最大砝码质量：观察表格数据，当砝码质量超过250g后，弹簧长度不再均匀增加，达到7.5cm后保持不变，说明此时已经超出弹性限度，据此可得到最大砝码质量。
(4)补全函数图象：将表格中未绘制的点依次在坐标系中描出，再按照数据变化趋势连线即可。
【解析】
(1)实验中主动改变的量是砝码的质量x，弹簧长度y随x的变化而变化，因此自变量是砝码的质量x。
(2)由表格数据可知，当$0≤ x≤250$时，弹簧处于弹性限度内，y与x满足一次函数关系。
设函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，将点$(0,2)$、$(50,3)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=2\\ 50k + b = 3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{50}\\ b=2 \end{cases}$
因此弹性限度内，函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x + 2\ (0≤ x≤250)$。
当$x=75$时，代入表达式得：
$y=\dfrac{1}{50}×75 + 2 = 1.5 + 2 = 3.5$
即砝码质量为75g时，弹簧长度为3.5cm。
(3)观察表格数据，当$x＞250$时，弹簧长度不再均匀增长，最终保持7.5cm不变，说明超出弹性限度，因此所挂砝码质量应不超过250g。
(4)根据表格数据，依次描出点(250,7)、(300,7.5)、(400,7.5)、(500,7.5)，将(200,6)到(250,7)、(250,7)到(300,7.5)用线段连接，再将(300,7.5)到(500,7.5)用水平线段连接，即可补全图象。
【答案】
(1)砝码的质量$x$
(2)弹性限度内函数表达式为$y=\dfrac{1}{50}x+2\ (0≤ x≤250)$；砝码质量为75g时，弹簧长度为3.5cm
(3)250
(4)如图所示
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；自变量与因变量的判断
【点评】
本题结合物理弹簧弹力实验的背景，考查一次函数在实际问题中的应用，需要学生具备从表格、图象中提取有效信息的能力，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，同时能结合实际情境理解弹性限度的含义，是比较典型的跨学科基础应用题。
【难度系数】
0.7
