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10. 在$2:30$这一时刻，时钟上的时针与分针之间的夹角是(
A.$120^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
B
)。A.$120^{\circ}$
B.$105^{\circ}$
C.$75^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
10. B
解析
分针指向6，分针与12点方向夹角：$6×30^{\circ}=180^{\circ}$
时针指向2和3之间，时针与12点方向夹角：$2×30^{\circ}+\frac{30}{60}×30^{\circ}=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ}$
时针与分针夹角：$180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
答案：B
时针指向2和3之间，时针与12点方向夹角：$2×30^{\circ}+\frac{30}{60}×30^{\circ}=60^{\circ}+15^{\circ}=75^{\circ}$
时针与分针夹角：$180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$
答案：B
11. 由1点25分到1点45分，时钟的分针转了
120
度，时针转了10
度。答案
11. 120 10
解析
【分析】
首先理清解题思路：第一步先算出1点25分到1点45分经过的总时长，第二步利用时钟分针、时针的固定转动速度，用转动时长乘以对应指针的单位时间转动角度，就能得到这段时间内指针转过的总角度。首先计算时间差可得一共经过了20分钟，已知分针走满一圈360°需要60分钟，时针走满一圈360°需要12小时，分别算出两者每分钟转动的角度，再乘20分钟即可得到结果，本题求的是过程中转过的角度，不需要额外计算某一时刻的指针夹角，简化了计算逻辑。
【解析】
1. 计算经过的时长：
从1点25分到1点45分，经过的时间为 $ 45 - 25 = 20 $ 分钟。
2. 计算分针转过的角度：
分针60分钟转动完整一圈360°，因此分针每分钟转动的角度为 $ \frac{360°}{60} = 6° $，
20分钟内分针转过的总角度为 $ 20 × 6° = 120° $。
3. 计算时针转过的角度：
时针12小时转动完整一圈360°，因此时针每小时转动的角度为 $ \frac{360°}{12} = 30° $，换算为每分钟转动角度为 $ \frac{30°}{60} = 0.5° $，
20分钟内时针转过的总角度为 $ 20 × 0.5° = 10° $。
【答案】
120 10
【知识点】
钟面角计算，指针转动规律
【点评】
本题是钟面角度计算的基础题型，核心是牢记分针每分钟转6°、时针每分钟转0.5°的基础规律，本题求解的是时间段内指针的转动角度，不需要计算特定时刻的指针夹角，难度较低，易错点是部分学生记错时针的单位时间转动速度，导致时针转过的角度计算错误。
【难度系数】
0.8
首先理清解题思路：第一步先算出1点25分到1点45分经过的总时长，第二步利用时钟分针、时针的固定转动速度，用转动时长乘以对应指针的单位时间转动角度，就能得到这段时间内指针转过的总角度。首先计算时间差可得一共经过了20分钟，已知分针走满一圈360°需要60分钟，时针走满一圈360°需要12小时，分别算出两者每分钟转动的角度，再乘20分钟即可得到结果，本题求的是过程中转过的角度，不需要额外计算某一时刻的指针夹角，简化了计算逻辑。
【解析】
1. 计算经过的时长：
从1点25分到1点45分，经过的时间为 $ 45 - 25 = 20 $ 分钟。
2. 计算分针转过的角度：
分针60分钟转动完整一圈360°，因此分针每分钟转动的角度为 $ \frac{360°}{60} = 6° $，
20分钟内分针转过的总角度为 $ 20 × 6° = 120° $。
3. 计算时针转过的角度：
时针12小时转动完整一圈360°，因此时针每小时转动的角度为 $ \frac{360°}{12} = 30° $，换算为每分钟转动角度为 $ \frac{30°}{60} = 0.5° $，
20分钟内时针转过的总角度为 $ 20 × 0.5° = 10° $。
【答案】
120 10
【知识点】
钟面角计算，指针转动规律
【点评】
本题是钟面角度计算的基础题型，核心是牢记分针每分钟转6°、时针每分钟转0.5°的基础规律，本题求解的是时间段内指针的转动角度，不需要计算特定时刻的指针夹角，难度较低，易错点是部分学生记错时针的单位时间转动速度，导致时针转过的角度计算错误。
【难度系数】
0.8
例 1 如图，在∠AOD 内引射线 OB 和 OC。
（1）比较∠AOB 与∠AOC，∠BOC 与∠BOD，∠AOD 与∠BOC 的大小；
（2）∠AOC，∠BOD，∠AOD 分别是哪些角的和？
（1）比较∠AOB 与∠AOC，∠BOC 与∠BOD，∠AOD 与∠BOC 的大小；
（2）∠AOC，∠BOD，∠AOD 分别是哪些角的和？
答案
（1）
∠AOB＜∠AOC；
∠BOC＜∠BOD；
∠AOD＞∠BOC。
（2）
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；
∠BOD = ∠BOC + ∠COD；
∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOB + ∠BOD。
∠AOB＜∠AOC；
∠BOC＜∠BOD；
∠AOD＞∠BOC。
（2）
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；
∠BOD = ∠BOC + ∠COD；
∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOB + ∠BOD。
解析
【分析】
我们可以利用叠合法的思路来比较角的大小：当两个角有公共顶点和一条公共边时，若其中一个角的另一条边落在另一个角的内部，那么这个角的度数更小。第一问中，逐个观察每组角的边的位置关系，就能直接判断大小。第二问找角的和，就是观察目标角可以拆分成哪些相邻的、顶点都为O的小角相加，把所有符合的拆分形式都列举出来即可。
【解析】
（1）① 观察图形，射线OB落在∠AOC的内部，因此可得∠AOB ＜ ∠AOC；
② 观察图形，射线OC落在∠BOD的内部，因此可得∠BOC ＜ ∠BOD；
③ 观察图形，∠AOD完全包含了∠BOC，因此可得∠AOD ＞ ∠BOC。
（2）① 射线OB将∠AOC分成两个相邻的小角，因此∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；
② 射线OC将∠BOD分成两个相邻的小角，因此∠BOD = ∠BOC + ∠COD；
③ 从顶点O出发的四条射线OA、OB、OC、OD，可将∠AOD拆分为不同的组合：既可以拆分为三个相邻小角相加，也可以拆分为两个较大的相邻角相加，因此∠AOD有三种拆分形式。
【答案】
（1）∠AOB＜∠AOC；∠BOC＜∠BOD；∠AOD＞∠BOC。
（2）∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；∠BOD = ∠BOC + ∠COD；∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOB + ∠BOD。
【知识点】
角的大小比较，角的和差
【点评】
本题是角的相关概念的基础题，依托直观图形考察叠合法比较角大小的逻辑，以及角的和差拆分，帮助学生建立角的组成的直观认知，注意拆分∠AOD时不要遗漏不同的组合形式，为后续角度的加减运算打下基础。
【难度系数】
0.9
我们可以利用叠合法的思路来比较角的大小：当两个角有公共顶点和一条公共边时，若其中一个角的另一条边落在另一个角的内部，那么这个角的度数更小。第一问中，逐个观察每组角的边的位置关系，就能直接判断大小。第二问找角的和，就是观察目标角可以拆分成哪些相邻的、顶点都为O的小角相加，把所有符合的拆分形式都列举出来即可。
【解析】
（1）① 观察图形，射线OB落在∠AOC的内部，因此可得∠AOB ＜ ∠AOC；
② 观察图形，射线OC落在∠BOD的内部，因此可得∠BOC ＜ ∠BOD；
③ 观察图形，∠AOD完全包含了∠BOC，因此可得∠AOD ＞ ∠BOC。
（2）① 射线OB将∠AOC分成两个相邻的小角，因此∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；
② 射线OC将∠BOD分成两个相邻的小角，因此∠BOD = ∠BOC + ∠COD；
③ 从顶点O出发的四条射线OA、OB、OC、OD，可将∠AOD拆分为不同的组合：既可以拆分为三个相邻小角相加，也可以拆分为两个较大的相邻角相加，因此∠AOD有三种拆分形式。
【答案】
（1）∠AOB＜∠AOC；∠BOC＜∠BOD；∠AOD＞∠BOC。
（2）∠AOC = ∠AOB + ∠BOC；∠BOD = ∠BOC + ∠COD；∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOC + ∠COD或∠AOD = ∠AOB + ∠BOD。
【知识点】
角的大小比较，角的和差
【点评】
本题是角的相关概念的基础题，依托直观图形考察叠合法比较角大小的逻辑，以及角的和差拆分，帮助学生建立角的组成的直观认知，注意拆分∠AOD时不要遗漏不同的组合形式，为后续角度的加减运算打下基础。
【难度系数】
0.9
例 2 如图，点 O 在直线 AB 上，OM 平分∠AOC，ON 平分∠BOC。如果∠2 = 2∠1，求∠1 的度数。
答案
答题卡答：
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠2 = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠1 = \frac{1}{2}∠ COB$。
因为$∠ AOC + ∠ COB = 180°$，
所以$∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}∠ COB + \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(∠ COB + ∠ AOC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
因为$∠2 = 2∠1$，
所以$∠1 + 2∠1 = 90°$，
即$3∠1 = 90°$，
解得$∠1 = 30°$。
所以，$∠1$的度数为$30°$。
因为$OM$平分$∠ AOC$，$ON$平分$∠ BOC$，
所以$∠2 = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠1 = \frac{1}{2}∠ COB$。
因为$∠ AOC + ∠ COB = 180°$，
所以$∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}∠ COB + \frac{1}{2}∠ AOC = \frac{1}{2}(∠ COB + ∠ AOC) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
因为$∠2 = 2∠1$，
所以$∠1 + 2∠1 = 90°$，
即$3∠1 = 90°$，
解得$∠1 = 30°$。
所以，$∠1$的度数为$30°$。
解析
【分析】
首先观察图形，点O在直线AB上，首先可以得到隐含条件∠AOC与∠BOC组成平角，和为180°。接下来结合角平分线的定义，OM平分∠AOC，说明∠2是∠AOC的二分之一，ON平分∠BOC，说明∠1是∠BOC的二分之一，将两个式子相加，就能得到∠1+∠2等于平角的一半也就是90°。最后结合题目给出的∠2=2∠1的倍数关系，代入后就可以得到只含∠1的方程，直接求解就能得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴ ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠1 = $\frac{1}{2}$∠COB。
∵ 点O在直线AB上，∠AOC + ∠COB = 180°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$∠COB + $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(∠COB + ∠AOC) = $\frac{1}{2} × 180° = 90°$。
又
∵ ∠2 = 2∠1，
∴ ∠1 + 2∠1 = 90°，
即3∠1 = 90°，
解得∠1 = 30°。
【答案】
∠1的度数为30°
【知识点】
角平分线定义，平角性质，角度运算
【点评】
本题是角相关计算的基础题型，核心考点是邻补角的角平分线互相垂直的推导，解题的关键是先挖掘出直线AB对应的平角为180°的隐含条件，结合角平分线性质得到∠1和∠2的和为90°，再代入倍数关系即可求解，适合刚学角运算的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，点O在直线AB上，首先可以得到隐含条件∠AOC与∠BOC组成平角，和为180°。接下来结合角平分线的定义，OM平分∠AOC，说明∠2是∠AOC的二分之一，ON平分∠BOC，说明∠1是∠BOC的二分之一，将两个式子相加，就能得到∠1+∠2等于平角的一半也就是90°。最后结合题目给出的∠2=2∠1的倍数关系，代入后就可以得到只含∠1的方程，直接求解就能得到∠1的度数。
【解析】
解：
∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴ ∠2 = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠1 = $\frac{1}{2}$∠COB。
∵ 点O在直线AB上，∠AOC + ∠COB = 180°，
∴ ∠1 + ∠2 = $\frac{1}{2}$∠COB + $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(∠COB + ∠AOC) = $\frac{1}{2} × 180° = 90°$。
又
∵ ∠2 = 2∠1，
∴ ∠1 + 2∠1 = 90°，
即3∠1 = 90°，
解得∠1 = 30°。
【答案】
∠1的度数为30°
【知识点】
角平分线定义，平角性质，角度运算
【点评】
本题是角相关计算的基础题型，核心考点是邻补角的角平分线互相垂直的推导，解题的关键是先挖掘出直线AB对应的平角为180°的隐含条件，结合角平分线性质得到∠1和∠2的和为90°，再代入倍数关系即可求解，适合刚学角运算的学生巩固基础。
【难度系数】
0.8
