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23. (12分)如图，点 $M$，$N$ 在一条直线上，距离为 9 个单位长度，点 $M$ 以每秒 2 个单位长度的速度运动，点 $N$ 以每秒 1 个单位长度的速度运动。设点 $M$，$N$ 同时出发，运动时间为 $t$ 秒。
(1)若 $M$，$N$ 同时向右运动 5 秒，则点 $M$，$N$ 之间的距离是
(2)点 $M$，$N$ 同时开始运动，经过多少秒后，点 $M$，$N$ 重合？
(3)经过多少秒后，$M$，$N$ 两点之间的距离为 12 个单位长度？
(1)若 $M$，$N$ 同时向右运动 5 秒，则点 $M$，$N$ 之间的距离是
4
个单位长度；若同时向左运动 5 秒，则点 $M$，$N$ 之间的距离是14
个单位长度。(2)点 $M$，$N$ 同时开始运动，经过多少秒后，点 $M$，$N$ 重合？
(3)经过多少秒后，$M$，$N$ 两点之间的距离为 12 个单位长度？
答案
23. 解：(1) 4 14 提示：若 $ M $，$ N $ 同时向右运动 5 秒，
则点 $ M $，$ N $ 之间的距离是 $ (1 × 5 + 9) - 2 × 5 = 4 $。
若同时向左运动 5 秒，
则点 $ M $，$ N $ 之间的距离是 $ (2 × 5 + 9) - 1 × 5 = 14 $。
(2) 设经过 $ t $ 秒后，点 $ M $，$ N $ 重合。
① 当点 $ M $，$ N $ 相向运动时，
$ 2t + t = 9 $，解得 $ t = 3 $。
② 当点 $ M $，$ N $ 同时向右运动时，
$ 2t = t + 9 $，解得 $ t = 9 $。
因此，点 $ M $，$ N $ 同时开始运动，经过 3 秒或 9 秒后，
点 $ M $，$ N $ 重合。
(3) 设经过 $ x $ 秒后，$ M $，$ N $ 两点之间的距离为 12 个单位长度。
① 当 $ M $，$ N $ 同时向左运动时，
$ 2m + 9 - m = 12 $，
解得 $ m = 3 $。
② 当 $ M $，$ N $ 同时向右运动时，
$ 2m - (9 + m) = 12 $，
解得 $ m = 21 $。
③ 当 $ M $，$ N $ 相向运动时，
$ 2m - (9 - m) = 12 $，
解得 $ m = 7 $。
④ 当 $ M $ 向左运动，$ N $ 向右运动时，
$ 9 + 2m + m = 12 $，
解得 $ m = 1 $。
综上所述，当 $ M $，$ N $ 同时向左运动 3 秒时，当 $ M $，$ N $
同时向右运动 21 秒时，当 $ M $，$ N $ 相向运动 7 秒时，当
$ M $ 向左运动、$ N $ 向右运动 1 秒时，$ M $，$ N $ 两点间的距离为 12 个单位长度。
则点 $ M $，$ N $ 之间的距离是 $ (1 × 5 + 9) - 2 × 5 = 4 $。
若同时向左运动 5 秒，
则点 $ M $，$ N $ 之间的距离是 $ (2 × 5 + 9) - 1 × 5 = 14 $。
(2) 设经过 $ t $ 秒后，点 $ M $，$ N $ 重合。
① 当点 $ M $，$ N $ 相向运动时，
$ 2t + t = 9 $，解得 $ t = 3 $。
② 当点 $ M $，$ N $ 同时向右运动时，
$ 2t = t + 9 $，解得 $ t = 9 $。
因此，点 $ M $，$ N $ 同时开始运动，经过 3 秒或 9 秒后，
点 $ M $，$ N $ 重合。
(3) 设经过 $ x $ 秒后，$ M $，$ N $ 两点之间的距离为 12 个单位长度。
① 当 $ M $，$ N $ 同时向左运动时，
$ 2m + 9 - m = 12 $，
解得 $ m = 3 $。
② 当 $ M $，$ N $ 同时向右运动时，
$ 2m - (9 + m) = 12 $，
解得 $ m = 21 $。
③ 当 $ M $，$ N $ 相向运动时，
$ 2m - (9 - m) = 12 $，
解得 $ m = 7 $。
④ 当 $ M $ 向左运动，$ N $ 向右运动时，
$ 9 + 2m + m = 12 $，
解得 $ m = 1 $。
综上所述，当 $ M $，$ N $ 同时向左运动 3 秒时，当 $ M $，$ N $
同时向右运动 21 秒时，当 $ M $，$ N $ 相向运动 7 秒时，当
$ M $ 向左运动、$ N $ 向右运动 1 秒时，$ M $，$ N $ 两点间的距离为 12 个单位长度。
解析
【分析】
这是一道数轴上的动点行程问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知初始点M在点N左侧，两点相距9个单位。向右运动时，M速度比N快，t秒后N相对于M初始点的总距离是9 + 1×t，M的运动总距离是2×t，两者作差代入t=5即可得到结果；向左运动时，M向左的速度更快，t秒后M相对于N初始点的总距离是9 + 2×t，N的运动总距离是1×t，作差代入t=5即可得到结果。
2. 第(2)问：两点重合意味着两点位置完全相同，需要分类讨论所有能让两点相遇的运动方向：一是两点相向面对面运动，此时两者的路程和等于初始的9个单位；二是两点同时向右运动，M从后方追N，M比N多走9个单位就能追上重合，排除不可能相遇的运动方向后列方程求解即可。
3. 第(3)问：两点距离为12，需要覆盖所有四种不同的运动方向组合，分别根据不同方向下的路程关系列一元一次方程求解，最后汇总所有符合条件的时间即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 同时向右运动5秒时：
5秒内N向右运动的路程为1×5=5单位，M向右运动的路程为2×5=10单位，
两点距离 = 初始距离 + N运动路程 - M运动路程 = 9 + 5 - 10 = 4；
同时向左运动5秒时：
5秒内M向左运动的路程为2×5=10单位，N向左运动的路程为1×5=5单位，
两点距离 = 初始距离 + M运动路程 - N运动路程 = 9 + 10 - 5 = 14。
(2) 设经过t秒后点M、N重合，分两种可相遇的情况：
① 两点相向运动（M向右、N向左）：
两者路程之和等于初始距离9，列方程：
$2t + t = 9$
解得 $t=3$；
② 两点同时向右运动（M追N）：
M比N多走9个单位即可追上，列方程：
$2t = t + 9$
解得 $t=9$；
其余运动方向下两点距离只会持续增大，不可能重合。
因此经过3秒或9秒后两点重合。
(3) 设经过m秒后，M、N两点距离为12个单位，分四种运动方向组合讨论：
① 两点同时向左运动：
M向左速度更快，两点距离随时间增大，列方程：
$2m + 9 - m = 12$
解得 $m=3$；
② 两点同时向右运动：
M追上N之后继续拉开距离，列方程：
$2m -(9 + m) = 12$
解得 $m=21$；
③ 两点相向运动（M向右、N向左）：
两点相遇之后继续背向而行，距离达到12，列方程：
$2m -(9 - m) = 12$
解得 $m=7$；
④ M向左运动、N向右运动：
两点背向而行，距离持续增大，列方程：
$9 + 2m + m = 12$
解得 $m=1$；
综上所有情况，符合要求的时间分别为1秒、3秒、7秒、21秒。
【答案】
(1) 4；14
(2) 经过3秒或9秒后，点M，N重合
(3) 经过1秒、3秒、7秒或21秒后，M，N两点之间的距离为12个单位长度
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；行程分类讨论
【点评】
本题是典型的数轴动点行程综合题，核心考察分类讨论的数学思想，需要覆盖所有可能的运动方向组合，多数学生容易遗漏部分运动场景导致漏解，解题时可以先预判不同运动方向下两点的距离变化规律，再对应列方程求解，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.35
这是一道数轴上的动点行程问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知初始点M在点N左侧，两点相距9个单位。向右运动时，M速度比N快，t秒后N相对于M初始点的总距离是9 + 1×t，M的运动总距离是2×t，两者作差代入t=5即可得到结果；向左运动时，M向左的速度更快，t秒后M相对于N初始点的总距离是9 + 2×t，N的运动总距离是1×t，作差代入t=5即可得到结果。
2. 第(2)问：两点重合意味着两点位置完全相同，需要分类讨论所有能让两点相遇的运动方向：一是两点相向面对面运动，此时两者的路程和等于初始的9个单位；二是两点同时向右运动，M从后方追N，M比N多走9个单位就能追上重合，排除不可能相遇的运动方向后列方程求解即可。
3. 第(3)问：两点距离为12，需要覆盖所有四种不同的运动方向组合，分别根据不同方向下的路程关系列一元一次方程求解，最后汇总所有符合条件的时间即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 同时向右运动5秒时：
5秒内N向右运动的路程为1×5=5单位，M向右运动的路程为2×5=10单位，
两点距离 = 初始距离 + N运动路程 - M运动路程 = 9 + 5 - 10 = 4；
同时向左运动5秒时：
5秒内M向左运动的路程为2×5=10单位，N向左运动的路程为1×5=5单位，
两点距离 = 初始距离 + M运动路程 - N运动路程 = 9 + 10 - 5 = 14。
(2) 设经过t秒后点M、N重合，分两种可相遇的情况：
① 两点相向运动（M向右、N向左）：
两者路程之和等于初始距离9，列方程：
$2t + t = 9$
解得 $t=3$；
② 两点同时向右运动（M追N）：
M比N多走9个单位即可追上，列方程：
$2t = t + 9$
解得 $t=9$；
其余运动方向下两点距离只会持续增大，不可能重合。
因此经过3秒或9秒后两点重合。
(3) 设经过m秒后，M、N两点距离为12个单位，分四种运动方向组合讨论：
① 两点同时向左运动：
M向左速度更快，两点距离随时间增大，列方程：
$2m + 9 - m = 12$
解得 $m=3$；
② 两点同时向右运动：
M追上N之后继续拉开距离，列方程：
$2m -(9 + m) = 12$
解得 $m=21$；
③ 两点相向运动（M向右、N向左）：
两点相遇之后继续背向而行，距离达到12，列方程：
$2m -(9 - m) = 12$
解得 $m=7$；
④ M向左运动、N向右运动：
两点背向而行，距离持续增大，列方程：
$9 + 2m + m = 12$
解得 $m=1$；
综上所有情况，符合要求的时间分别为1秒、3秒、7秒、21秒。
【答案】
(1) 4；14
(2) 经过3秒或9秒后，点M，N重合
(3) 经过1秒、3秒、7秒或21秒后，M，N两点之间的距离为12个单位长度
【知识点】
数轴动点问题；一元一次方程应用；行程分类讨论
【点评】
本题是典型的数轴动点行程综合题，核心考察分类讨论的数学思想，需要覆盖所有可能的运动方向组合，多数学生容易遗漏部分运动场景导致漏解，解题时可以先预判不同运动方向下两点的距离变化规律，再对应列方程求解，避免出现逻辑错误。
【难度系数】
0.35
