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一、选择题(共10题，每题3分，共30分)
1. 下列说法一定正确的是(
A.若$x = y$，则$x + c = y - c$
B.若$x = y$，则$xc = yc$
C.若$x = y$，则$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$，则$2x = 3y$
1. 下列说法一定正确的是(
B
)。A.若$x = y$，则$x + c = y - c$
B.若$x = y$，则$xc = yc$
C.若$x = y$，则$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$
D.若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$，则$2x = 3y$
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查等式的基本性质，解题的核心思路是逐一对照等式的两条基本性质，对每个选项的变形过程进行校验，判断变形是否符合性质的要求，有没有遗漏限制条件：首先回忆等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；再回忆等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；之后逐个验证四个选项的变形是否满足上述规则，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A：若$x = y$，根据等式性质1，两边需要同时加$c$才能得到$x+c=y+c$，若要得到$x + c = y - c$，需要满足$c=-c$即$c=0$才成立，并非对任意$c$都成立，因此该说法错误。
选项B：若$x = y$，根据等式性质2，等式两边同时乘任意实数$c$，等式$xc = yc$都恒成立，该说法一定正确。
选项C：若$x = y$，变形为$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$的前提是$c≠0$，若$c=0$时分式无意义，题目没有给出$c≠0$的限制条件，因此该说法不一定正确。
选项D：若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$，等式两边同时乘以$6c$（$c≠0$，否则原式无意义），可得$3x=2y$，并非$2x = 3y$，该说法错误。
综上只有B选项的说法一定正确。
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题属于等式性质的基础辨析题，易错点是忽略等式两边做除法运算时，除数不能为0的隐藏限制条件，同时要注意等式两边同乘的数要完全对应，不能混淆系数关系，同学们解题时要严格对照性质的完整要求判断，不要遗漏前提。
【难度系数】0.8
这道题考查等式的基本性质，解题的核心思路是逐一对照等式的两条基本性质，对每个选项的变形过程进行校验，判断变形是否符合性质的要求，有没有遗漏限制条件：首先回忆等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；再回忆等式性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立；之后逐个验证四个选项的变形是否满足上述规则，排除错误选项得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析每个选项：
选项A：若$x = y$，根据等式性质1，两边需要同时加$c$才能得到$x+c=y+c$，若要得到$x + c = y - c$，需要满足$c=-c$即$c=0$才成立，并非对任意$c$都成立，因此该说法错误。
选项B：若$x = y$，根据等式性质2，等式两边同时乘任意实数$c$，等式$xc = yc$都恒成立，该说法一定正确。
选项C：若$x = y$，变形为$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$的前提是$c≠0$，若$c=0$时分式无意义，题目没有给出$c≠0$的限制条件，因此该说法不一定正确。
选项D：若$\frac{x}{2c} = \frac{y}{3c}$，等式两边同时乘以$6c$（$c≠0$，否则原式无意义），可得$3x=2y$，并非$2x = 3y$，该说法错误。
综上只有B选项的说法一定正确。
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题属于等式性质的基础辨析题，易错点是忽略等式两边做除法运算时，除数不能为0的隐藏限制条件，同时要注意等式两边同乘的数要完全对应，不能混淆系数关系，同学们解题时要严格对照性质的完整要求判断，不要遗漏前提。
【难度系数】0.8
2. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点$O$，若$∠ AOC = 120^{\circ}$，则$∠ BOC =$(
A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
C
)。A.$40^{\circ}$
B.$50^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$20^{\circ}$
答案
2. C
解析
解：由题意知，一副三角板直角顶点重合于点$O$，则$∠ AOB = 90^{\circ}$（或$∠ COD = 90^{\circ}$）。
因为$∠ AOC = 120^{\circ}$，且$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$。
答案：C
因为$∠ AOC = 120^{\circ}$，且$∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC$，
所以$∠ BOC = ∠ AOC - ∠ AOB = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$。
答案：C
3. 如图，点$A$在点$O$的北偏东$15^{\circ}$的方向上，点$B$在点$O$的北偏西$30^{\circ}$的方向上。若$∠ AOC = ∠ AOB$，则$∠ COD$的度数是(
A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
C
)。A.$20^{\circ}$
B.$25^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案
3. C
解析
因为点$A$在点$O$的北偏东$15^{\circ}$方向，点$B$在点$O$的北偏西$30^{\circ}$方向，所以$∠ AOB = 15^{\circ}+30^{\circ}=45^{\circ}$。
因为$∠ AOC=∠ AOB$，所以$∠ AOC = 45^{\circ}$。
点$A$在北偏东$15^{\circ}$，则$OA$与正东方向夹角为$90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$，所以$OC$与正东方向夹角为$75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$，即$∠ COD = 30^{\circ}$。
C
因为$∠ AOC=∠ AOB$，所以$∠ AOC = 45^{\circ}$。
点$A$在北偏东$15^{\circ}$，则$OA$与正东方向夹角为$90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}$，所以$OC$与正东方向夹角为$75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$，即$∠ COD = 30^{\circ}$。
C
4. 如果关于$x$的方程$3x + 2a + 1 = x - 6(3a + 2)$的解是$x = 0$，那么$a$的值为(
A.$-\frac{11}{20}$
B.$-\frac{13}{20}$
C.$\frac{11}{20}$
D.$\frac{13}{20}$
B
)。A.$-\frac{11}{20}$
B.$-\frac{13}{20}$
C.$\frac{11}{20}$
D.$\frac{13}{20}$
答案
4. B
解析
将$x = 0$代入方程$3x + 2a + 1 = x - 6(3a + 2)$，得：
$\begin{aligned}3×0 + 2a + 1 &= 0 - 6(3a + 2)\\2a + 1 &= -18a - 12\\2a + 18a &= -12 - 1\\20a &= -13\\a &= -\frac{13}{20}\end{aligned}$
B
$\begin{aligned}3×0 + 2a + 1 &= 0 - 6(3a + 2)\\2a + 1 &= -18a - 12\\2a + 18a &= -12 - 1\\20a &= -13\\a &= -\frac{13}{20}\end{aligned}$
B
5. 一张试卷只有$25$道选择题，做对一题得$4$分，做错一题倒扣$1$分。某学生做了全部试题，共得$70$分，他做对的题数是(
A.$17$
B.$18$
C.$19$
D.$20$
C
)。A.$17$
B.$18$
C.$19$
D.$20$
答案
5. C
解析
设做对的题数为$x$，则做错的题数为$25 - x$。
根据题意可列方程：$4x - 1×(25 - x) = 70$
$4x - 25 + x = 70$
$5x = 95$
$x = 19$
C
根据题意可列方程：$4x - 1×(25 - x) = 70$
$4x - 25 + x = 70$
$5x = 95$
$x = 19$
C
6. 如图，圆的四条半径分别是$OA$，$OB$，$OC$，$OD$，其中点$O$，$A$，$B$在同一条直线上，$∠ AOD = 90^{\circ}$，$∠ AOC = 3∠ BOC$，那么圆被四条半径分成的四个扇形的面积的比是(
A.$1 : 2 : 2 : 3$
B.$3 : 2 : 2 : 3$
C.$4 : 2 : 2 : 3$
D.$1 : 2 : 2 : 1$
A
)。A.$1 : 2 : 2 : 3$
B.$3 : 2 : 2 : 3$
C.$4 : 2 : 2 : 3$
D.$1 : 2 : 2 : 1$
答案
6. A
解析
【分析】
解题思路：首先明确在同一个圆中，所有扇形的半径都相等，因此扇形的面积比就等于对应圆心角的度数比，不需要额外计算实际面积。第一步先根据点O、A、B共线，得到∠AOB是平角为180°，结合已知∠AOD=90°，算出∠BOD的度数；第二步利用∠AOC=3∠BOC，且两个角相加等于平角180°，列等式算出∠BOC和∠AOC的度数；第三步把四个扇形对应的圆心角度数求出来，化简比值，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 由点O、A、B在同一直线上，可知∠AOB是平角，即$∠ AOB=180°$。
2. 已知$∠ AOD=90°$，因此$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 180° - 90° = 90°$。
3. 由图可知$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB=180°$，又已知$∠ AOC=3∠ BOC$，代入得：
$3∠ BOC + ∠ BOC = 180°$
$4∠ BOC=180°$
解得$∠ BOC=45°$，则$∠ AOC=3×45°=135°$。
4. 同一个圆中，扇形面积比等于对应圆心角的度数比，因此四个扇形的圆心角度数比为：
$∠ BOC:∠ BOD:∠ AOD:∠ AOC = 45°:90°:90°:135° = 1:2:2:3$
即四个扇形面积的比是$1:2:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积与圆心角关系，平角性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考点是同圆中扇形面积的比值仅由圆心角决定，无需代入面积公式计算实际面积，简化了运算。解题时注意按四条半径的顺序对应好四个圆心角，避免角度顺序匹配错误导致选错选项。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先明确在同一个圆中，所有扇形的半径都相等，因此扇形的面积比就等于对应圆心角的度数比，不需要额外计算实际面积。第一步先根据点O、A、B共线，得到∠AOB是平角为180°，结合已知∠AOD=90°，算出∠BOD的度数；第二步利用∠AOC=3∠BOC，且两个角相加等于平角180°，列等式算出∠BOC和∠AOC的度数；第三步把四个扇形对应的圆心角度数求出来，化简比值，匹配对应选项即可。
【解析】
解：
1. 由点O、A、B在同一直线上，可知∠AOB是平角，即$∠ AOB=180°$。
2. 已知$∠ AOD=90°$，因此$∠ BOD = ∠ AOB - ∠ AOD = 180° - 90° = 90°$。
3. 由图可知$∠ AOC + ∠ BOC = ∠ AOB=180°$，又已知$∠ AOC=3∠ BOC$，代入得：
$3∠ BOC + ∠ BOC = 180°$
$4∠ BOC=180°$
解得$∠ BOC=45°$，则$∠ AOC=3×45°=135°$。
4. 同一个圆中，扇形面积比等于对应圆心角的度数比，因此四个扇形的圆心角度数比为：
$∠ BOC:∠ BOD:∠ AOD:∠ AOC = 45°:90°:90°:135° = 1:2:2:3$
即四个扇形面积的比是$1:2:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积与圆心角关系，平角性质
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心考点是同圆中扇形面积的比值仅由圆心角决定，无需代入面积公式计算实际面积，简化了运算。解题时注意按四条半径的顺序对应好四个圆心角，避免角度顺序匹配错误导致选错选项。
【难度系数】
0.7
7. 如图，沿笔直小路$DE$的一侧栽植两棵小树$B$，$C$，小明在$A$处测得$AB = 7$米，$AC = 9$米，则点$A$到$DE$的距离可能为(
A.$6.4$米
B.$7.2$米
C.$8$米
D.$9$米
A
)。A.$6.4$米
B.$7.2$米
C.$8$米
D.$9$米
答案
7. A
解析
解：设点$A$到$DE$的距离为$h$。
因为点到直线的距离是垂线段的长度，所以$h ≤ AB$且$h ≤ AC$。
已知$AB = 7$米，$AC = 9$米，所以$h ≤ 7$米。
选项中只有$6.4$米满足$h ≤ 7$米。
答案：A
因为点到直线的距离是垂线段的长度，所以$h ≤ AB$且$h ≤ AC$。
已知$AB = 7$米，$AC = 9$米，所以$h ≤ 7$米。
选项中只有$6.4$米满足$h ≤ 7$米。
答案：A
