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20. （6分）小明在解关于 $x$ 的一元一次方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{6} - 2$，去分母时，方程右边的 $-2$ 没有乘 6，因而求得方程的解为 $x = 2$，试求 $a$ 的值，并求出方程正确的解。
答案
20. 解：由题意，知 $ 2(2x - 1) = x + a - 2 $ 的解为 $ x = 2 $，
所以 $ a = 3x = 6 $。
所以原方程为 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 6}{6} - 2 $，
去分母，得 $ 2(2x - 1) = x + 6 - 12 $。
去括号，得 $ 4x - 2 = x - 6 $。
移项、合并同类项，得 $ 3x = -4 $。
方程的两边都除以 3，得 $ x = -\frac{4}{3} $。
所以 $ a = 3x = 6 $。
所以原方程为 $ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 6}{6} - 2 $，
去分母，得 $ 2(2x - 1) = x + 6 - 12 $。
去括号，得 $ 4x - 2 = x - 6 $。
移项、合并同类项，得 $ 3x = -4 $。
方程的两边都除以 3，得 $ x = -\frac{4}{3} $。
解析
【分析】
我们可以按照两步思路来解题：第一步先还原小明出错时得到的错误方程，正常去分母需要给方程两边所有项同时乘6，小明仅漏乘了右边的常数项-2，因此他实际求解的方程是$2(2x-1)=x+a-2$，已知这个错误方程的解是$x=2$，把$x=2$代入该错误方程就能直接求出参数$a$的值；第二步把求出的$a$代回原一元一次方程，按照解一元一次方程的标准步骤运算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求参数$a$的值
根据题意，小明去分母漏乘-2后得到的错误方程为：
$2(2x - 1) = x + a - 2$
已知该方程的解为$x=2$，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 -1) = 2 + a - 2$
化简得$6=a$，即$a=6$。
2. 求解原方程
将$a=6$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 6}{6} - 2$
① 去分母，两边同时乘6：
$2(2x - 1) = x + 6 - 12$
② 去括号：
$4x - 2 = x - 6$
③ 移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$4x - x = -6 + 2$
④ 合并同类项：
$3x = -4$
⑤ 系数化为1，两边同时除以3：
$x = -\frac{4}{3}$
【答案】
$a$的值为6，原方程正确的解为$x=-\frac{4}{3}$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程、去分母运算
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典错解反推题型，核心考察去分母运算的易错点，提醒学生去分母时所有项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项，通过错解先求参数再解正确方程的思路是这类题的通用解法，能帮助学生加深对解方程步骤的理解，规避常见运算错误。
【难度系数】
0.6
我们可以按照两步思路来解题：第一步先还原小明出错时得到的错误方程，正常去分母需要给方程两边所有项同时乘6，小明仅漏乘了右边的常数项-2，因此他实际求解的方程是$2(2x-1)=x+a-2$，已知这个错误方程的解是$x=2$，把$x=2$代入该错误方程就能直接求出参数$a$的值；第二步把求出的$a$代回原一元一次方程，按照解一元一次方程的标准步骤运算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 求参数$a$的值
根据题意，小明去分母漏乘-2后得到的错误方程为：
$2(2x - 1) = x + a - 2$
已知该方程的解为$x=2$，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 -1) = 2 + a - 2$
化简得$6=a$，即$a=6$。
2. 求解原方程
将$a=6$代入原方程，得：
$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 6}{6} - 2$
① 去分母，两边同时乘6：
$2(2x - 1) = x + 6 - 12$
② 去括号：
$4x - 2 = x - 6$
③ 移项，将含$x$的项移到左侧，常数项移到右侧：
$4x - x = -6 + 2$
④ 合并同类项：
$3x = -4$
⑤ 系数化为1，两边同时除以3：
$x = -\frac{4}{3}$
【答案】
$a$的值为6，原方程正确的解为$x=-\frac{4}{3}$
【知识点】
一元一次方程的解、解一元一次方程、去分母运算
【点评】
本题是一元一次方程章节的经典错解反推题型，核心考察去分母运算的易错点，提醒学生去分母时所有项都要乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的常数项，通过错解先求参数再解正确方程的思路是这类题的通用解法，能帮助学生加深对解方程步骤的理解，规避常见运算错误。
【难度系数】
0.6
21. （8分）某车间为提高生产总量，在原有 16 名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人人数的 3 倍多 4 人。
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产 240 个螺栓或 400 个螺母，1 个螺栓需要 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产 240 个螺栓或 400 个螺母，1 个螺栓需要 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
答案
21. 解：(1) 设调入 $ x $ 名工人。
根据题意，得 $ 16 + x = 3x + 4 $，解得 $ x = 6 $。
因此，调入 6 名工人。
(2) 由(1)知，调入 6 名工人后，车间有工人 $ 16 + 6 = 22 $（名）。
设 $ y $ 名工人生产螺栓，则 $ (22 - y) $ 名工人生产螺母。
因为每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
所以 $ 240y × 2 = 400(22 - y) $，
解得 $ y = 10 $。
所以 $ 22 - y = 22 - 10 = 12 $。
因此，安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母，
可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套。
根据题意，得 $ 16 + x = 3x + 4 $，解得 $ x = 6 $。
因此，调入 6 名工人。
(2) 由(1)知，调入 6 名工人后，车间有工人 $ 16 + 6 = 22 $（名）。
设 $ y $ 名工人生产螺栓，则 $ (22 - y) $ 名工人生产螺母。
因为每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
所以 $ 240y × 2 = 400(22 - y) $，
解得 $ y = 10 $。
所以 $ 22 - y = 22 - 10 = 12 $。
因此，安排 10 名工人生产螺栓，12 名工人生产螺母，
可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套。
解析
【分析】
这是一道递进式的一元一次方程实际应用题，解题思路可以分两步梳理：
1. 第一问：先设调入的工人数为未知数x，调整后的总人数可以用两种方式表示，一种是原有16人加新调入的x人，另一种是题目给出的“调入人数的3倍多4人”，将两个表示总人数的式子划等号就能列出方程，直接求解即可得到调入的工人数。
2. 第二问：先利用第一问的结果算出调整后的车间总人数，这是典型的产品配套问题，核心等量关系是螺母总数量=螺栓总数量×2（1个螺栓需要搭配2个螺母），设生产螺栓的工人数为y，剩余工人全部生产螺母，分别表示出螺栓、螺母的日总产量，代入配套等量关系列方程求解，就能得到两类岗位的工人数量。
【解析】
（1）设调入$x$名工人，
根据题意列方程：
$16 + x = 3x + 4$
移项得：$3x - x = 16 - 4$
合并同类项得：$2x=12$
解得：$x=6$
即调入6名工人。
（2）由（1）得调整后车间总人数为$16+6=22$名，
设安排$y$名工人生产螺栓，则安排$(22-y)$名工人生产螺母，
根据配套要求，螺母总产量是螺栓总产量的2倍，列方程：
$2×240y = 400(22-y)$
展开整理得：$480y = 8800 - 400y$
移项合并得：$880y=8800$
解得：$y=10$
生产螺母的工人数为$22-10=12$。
【答案】
（1）调入6名工人；（2）安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。
【知识点】
一元一次方程应用，产品配套问题
【点评】
本题是七年级方程应用的基础常考题，两小问梯度平缓，第一问等量关系直接给出，很容易建立方程；第二问的易错点是容易搞反倍数关系，误将螺母数量乘2，只要抓住“螺母数量是螺栓2倍”的核心配套逻辑就能顺利解题，整体侧重考察学生从实际场景提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
这是一道递进式的一元一次方程实际应用题，解题思路可以分两步梳理：
1. 第一问：先设调入的工人数为未知数x，调整后的总人数可以用两种方式表示，一种是原有16人加新调入的x人，另一种是题目给出的“调入人数的3倍多4人”，将两个表示总人数的式子划等号就能列出方程，直接求解即可得到调入的工人数。
2. 第二问：先利用第一问的结果算出调整后的车间总人数，这是典型的产品配套问题，核心等量关系是螺母总数量=螺栓总数量×2（1个螺栓需要搭配2个螺母），设生产螺栓的工人数为y，剩余工人全部生产螺母，分别表示出螺栓、螺母的日总产量，代入配套等量关系列方程求解，就能得到两类岗位的工人数量。
【解析】
（1）设调入$x$名工人，
根据题意列方程：
$16 + x = 3x + 4$
移项得：$3x - x = 16 - 4$
合并同类项得：$2x=12$
解得：$x=6$
即调入6名工人。
（2）由（1）得调整后车间总人数为$16+6=22$名，
设安排$y$名工人生产螺栓，则安排$(22-y)$名工人生产螺母，
根据配套要求，螺母总产量是螺栓总产量的2倍，列方程：
$2×240y = 400(22-y)$
展开整理得：$480y = 8800 - 400y$
移项合并得：$880y=8800$
解得：$y=10$
生产螺母的工人数为$22-10=12$。
【答案】
（1）调入6名工人；（2）安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母。
【知识点】
一元一次方程应用，产品配套问题
【点评】
本题是七年级方程应用的基础常考题，两小问梯度平缓，第一问等量关系直接给出，很容易建立方程；第二问的易错点是容易搞反倍数关系，误将螺母数量乘2，只要抓住“螺母数量是螺栓2倍”的核心配套逻辑就能顺利解题，整体侧重考察学生从实际场景提取等量关系的能力。
【难度系数】
0.8
22. （8分）一家服装店因换季将某种品牌的服装打折销售，如果每件服装按着标价的七五折出售，可盈利 60 元；若每件服装按着标价的五折出售，则亏损 60 元。
（1）每件服装的标价为多少元？
（2）若这种服装一共库存 80 件。按标价的八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利 2400 元，求按八折出售的服装有多少件。
（1）每件服装的标价为多少元？
（2）若这种服装一共库存 80 件。按标价的八折出售一部分后，将余下服装按标价的五折全部出售，结算时发现共获利 2400 元，求按八折出售的服装有多少件。
答案
22. 解：(1) 设每件服装的标价为 $ x $ 元。
依题意，得 $ 0.75x - 60 = 0.5x + 60 $，
解得 $ x = 480 $。
因此，每件服装的标价为 480 元。
(2) 设按八折出售的服装有 $ y $ 件，则按五折出售的服装
有 $ (80 - y) $ 件。
依题意，得 $ 0.8 × 480y + 0.5 × 480(80 - y) - 80 × (0.5 × 480 + 60) = 2400 $，
解得 $ y = 50 $。
因此，按八折出售的服装有 50 件。
依题意，得 $ 0.75x - 60 = 0.5x + 60 $，
解得 $ x = 480 $。
因此，每件服装的标价为 480 元。
(2) 设按八折出售的服装有 $ y $ 件，则按五折出售的服装
有 $ (80 - y) $ 件。
依题意，得 $ 0.8 × 480y + 0.5 × 480(80 - y) - 80 × (0.5 × 480 + 60) = 2400 $，
解得 $ y = 50 $。
因此，按八折出售的服装有 50 件。
解析
【分析】
这是典型的销售利润类一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系列方程：
1. 第一问中服装的成本是固定不变的：按七五折出售时，售价减去盈利的60元就是成本；按五折出售时，售价加上亏损的60元也等于成本。我们设标价为x元，用两种方式分别表示出成本，令二者相等就能列出方程，直接求解得到标价。
2. 第二问先借助第一问的结果算出单件服装的成本，再设按八折出售的服装数量为y件，可得按五折出售的剩余服装数量为(80-y)件，利用“总利润=总售价-总成本”的等量关系，代入已知的总获利2400元列出方程，求解就能得到八折出售的服装件数。
【解析】
（1）设每件服装的标价为$ x $元。
根据成本不变的等量关系列方程：
$0.75x - 60 = 0.5x + 60$
移项合并同类项得：$0.25x = 120$
解得：$x = 480$
（2）先计算单件服装的成本：$0.5×480 + 60 = 300$元。
设按标价八折出售的服装有$ y $件，则按标价五折出售的服装数量为$(80 - y)$件。
根据总利润的等量关系列方程：
$0.8×480y + 0.5×480(80 - y) - 80×300 = 2400$
化简得：$384y + 19200 - 240y = 26400$
进一步计算得：$144y = 7200$
解得：$y = 50$
【答案】
（1）每件服装的标价为480元；（2）按八折出售的服装有50件。
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算，折扣问题
【点评】
本题是初中数学常考的基础销售类应用题，核心考察学生对成本、售价、利润三者逻辑关系的掌握，解题关键是抓住不同场景下的不变量（单件成本）和总利润的等量关系，没有复杂陷阱，只要理清各个量的对应关系就可以顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是典型的销售利润类一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系列方程：
1. 第一问中服装的成本是固定不变的：按七五折出售时，售价减去盈利的60元就是成本；按五折出售时，售价加上亏损的60元也等于成本。我们设标价为x元，用两种方式分别表示出成本，令二者相等就能列出方程，直接求解得到标价。
2. 第二问先借助第一问的结果算出单件服装的成本，再设按八折出售的服装数量为y件，可得按五折出售的剩余服装数量为(80-y)件，利用“总利润=总售价-总成本”的等量关系，代入已知的总获利2400元列出方程，求解就能得到八折出售的服装件数。
【解析】
（1）设每件服装的标价为$ x $元。
根据成本不变的等量关系列方程：
$0.75x - 60 = 0.5x + 60$
移项合并同类项得：$0.25x = 120$
解得：$x = 480$
（2）先计算单件服装的成本：$0.5×480 + 60 = 300$元。
设按标价八折出售的服装有$ y $件，则按标价五折出售的服装数量为$(80 - y)$件。
根据总利润的等量关系列方程：
$0.8×480y + 0.5×480(80 - y) - 80×300 = 2400$
化简得：$384y + 19200 - 240y = 26400$
进一步计算得：$144y = 7200$
解得：$y = 50$
【答案】
（1）每件服装的标价为480元；（2）按八折出售的服装有50件。
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算，折扣问题
【点评】
本题是初中数学常考的基础销售类应用题，核心考察学生对成本、售价、利润三者逻辑关系的掌握，解题关键是抓住不同场景下的不变量（单件成本）和总利润的等量关系，没有复杂陷阱，只要理清各个量的对应关系就可以顺利求解。
【难度系数】
0.7
