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一、选择题(每小题3分,共30分)
1. 下列二次根式中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是 ()
A.$\sqrt{4}$ B.$\sqrt{6}$ C.$\sqrt{8}$ D.$\sqrt{12}$
1. 下列二次根式中,与$\sqrt{2}$是同类二次根式的是 ()
A.$\sqrt{4}$ B.$\sqrt{6}$ C.$\sqrt{8}$ D.$\sqrt{12}$
答案
解：
将各选项中的二次根式化为最简二次根式：
A. $\sqrt{4}=2$，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简形式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简形式的被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，答案为C。
将各选项中的二次根式化为最简二次根式：
A. $\sqrt{4}=2$，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式；
B. $\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式；
C. $\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，最简形式的被开方数为2，与$\sqrt{2}$的被开方数相同，是同类二次根式；
D. $\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，最简形式的被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式。
综上，答案为C。
2. 下列二次根式中,不是最简二次根式的是 ()
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{15}$
A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$
D.$\sqrt{15}$
答案
C
解析
根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），分析各选项：A.$\sqrt{7}$、B.$\sqrt{5}$、D.$\sqrt{15}$均满足最简二次根式条件；C.$\sqrt{\frac{1}{3}}$的被开方数含有分母，不满足最简二次根式条件，故它不是最简二次根式。
3. 对于二次根式的乘法运算,一般地,有$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$.该运算法则成立的条件是 ()
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＜0$
C.$a≤0,b≤0$
D.$a≥0,b≥0$
A.$a＞0,b＞0$
B.$a＜0,b＜0$
C.$a≤0,b≤0$
D.$a≥0,b≥0$
答案
D
解析
根据二次根式的定义，二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$。要使$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立，需$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$均有意义，故$a≥0,b≥0$。
4. 下列计算正确的是 ()
A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$(-\sqrt{2})^{2}=-2$
D.$\sqrt{0.49}=0.7$
A.$\sqrt{2}+\sqrt{5}=\sqrt{7}$
B.$2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
C.$(-\sqrt{2})^{2}=-2$
D.$\sqrt{0.49}=0.7$
答案
D
解析
逐一分析选项：
A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. 2与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
C. $(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$，故C错误；
D. 因为$0.7^2=0.49$，所以$\sqrt{0.49}=0.7$，故D正确。
A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. 2与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故B错误；
C. $(-\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{2})^{2}=2$，故C错误；
D. 因为$0.7^2=0.49$，所以$\sqrt{0.49}=0.7$，故D正确。
5. 一个正方形的面积为7,估计其边长a的取值范围是()
A.$1＜a＜2$
B.$2＜a＜3$
C.$3＜a＜4$
D.$4＜a＜5$
A.$1＜a＜2$
B.$2＜a＜3$
C.$3＜a＜4$
D.$4＜a＜5$
答案
B
解析
因为正方形的面积为7，所以边长$a = \sqrt{7}$。又因为$4 ＜ 7 ＜ 9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4} ＜ \sqrt{7} ＜ \sqrt{9}$，即$2 ＜ a ＜ 3$。
6. 计算$(5\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{45})÷(-\sqrt{5})$的结果为 ()
A.5
B.-5
C.7
D.-7
A.5
B.-5
C.7
D.-7
答案
A
解析
1. 化简括号内的二次根式：
$5\sqrt{\frac{1}{5}} = 5×\frac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$，
$2\sqrt{45} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$；
2. 计算括号内的结果：$\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$；
3. 进行除法运算：$(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5}) = 5$。
$5\sqrt{\frac{1}{5}} = 5×\frac{\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}$，
$2\sqrt{45} = 2×3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}$；
2. 计算括号内的结果：$\sqrt{5} - 6\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$；
3. 进行除法运算：$(-5\sqrt{5})÷(-\sqrt{5}) = 5$。
7. 若$\sqrt{75n}$是整数,则正整数n的最小值是 ()
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
先将75分解质因数：$75=5^2×3$，因此$\sqrt{75n}=\sqrt{5^2×3n}$。要使$\sqrt{75n}$为整数，则被开方数$5^2×3n$需为完全平方数，即$3n$是完全平方数。正整数$n$的最小值为3（此时$3n=9=3^2$）。
8. 若$\sqrt{(a-1)^{2}}=1-a$,则a的取值范围是 ()
A.$a＞1$
B.$a≥1$
C.$a＜1$
D.$a≤1$
A.$a＞1$
B.$a≥1$
C.$a＜1$
D.$a≤1$
答案
D
解析
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$。由题意$|a-1|=1-a$，根据绝对值的性质，当$|x|=-x$时，$x≤0$，因此$a-1≤0$，解得$a≤1$。
9. 按下图所示的运算程序,若输入数字"9",则输出的结果是 ()
A.7
B.$11-6\sqrt{2}$
C.1
D.$11-3\sqrt{2}$
A.7
B.$11-6\sqrt{2}$
C.1
D.$11-3\sqrt{2}$
答案
A
解析
1. 输入数字9，先执行运算：$9÷3 - \sqrt{2}=3-\sqrt{2}$；
2. 判断大小：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$3-\sqrt{2}\approx1.586＞1$，选择乘以$(3+\sqrt{2})$的运算；
3. 计算最终结果：利用平方差公式，$(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$。
2. 判断大小：因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$3-\sqrt{2}\approx1.586＞1$，选择乘以$(3+\sqrt{2})$的运算；
3. 计算最终结果：利用平方差公式，$(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7$。
