18.(8分)如图,$AC=8$,分别以点A,C为圆心,5为半径作弧,两条弧分别相交于点B,D.连接AB,CB,CD,AD,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)求BD的长.

解：
(1) 四边形ABCD是菱形。
理由：由作图可知，$AB=AD=CB=CD=5$，
根据四条边相等的四边形是菱形，可得四边形ABCD是菱形。
(2) ∵四边形ABCD是菱形，$AC=8$，
∴$AC⊥BD$，$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
在$Rt△AOB$中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{AB^2 - AO^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$，
∴$BD=2OB=6$。

19.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;
(2)若$AC=8,BD=6$,求$△ ADE$的周长.

(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴$AB // CD$，$AC ⊥ BD$，
∵$DE ⊥ BD$，
∴$DE // AC$，
又∵$AB // CD$，即$AE // CD$，
∴四边形ACDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴$AO=\frac{1}{2}AC=4$，$DO=\frac{1}{2}BD=3$，且$AC ⊥ BD$，
在$Rt△ AOD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2+DO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴$AE=CD=AD=5$，$DE=AC=8$，
∴$△ ADE$的周长$=AD+AE+DE=5+5+8=18$。

20.(8分)如图,在$□ ABCD$中,过点D作$DE⊥AB$于点E,点F在边CD上,$DF=BE$,连接AF,BF.
(1)求证:四边形BFDE是矩形;
(2)若$CF=3,BF=4,DF=5$,求证:AF平分∠DAB.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∵ DF=BE，
∴ 四边形BFDE是平行四边形，
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEB=90°，
∴ 平行四边形BFDE是矩形。
(2) 证明：
∵ 四边形BFDE是矩形，
∴ ∠BFC=90°，
在Rt△BFC中，CF=3，BF=4，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=5，AB//CD，
∵ DF=5，
∴ AD=DF，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∵ AB//CD，
∴ ∠DFA=∠FAB，
∴ ∠DAF=∠FAB，
∴ AF平分∠DAB。