21.(8分)如图所示,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点.
(1)当四边形ABCD是矩形时,四边形EFGH是,请说明理由;
(2)当四边形ABCD满足什么条件时,四边形EFGH为正方形?并说明理由.

(1) 解：菱形。
理由：
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，GH是△ADC的中位线，
∴EF//AC，$EF=\frac{1}{2}AC$，GH//AC，$GH=\frac{1}{2}AC$，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
又∵EH是△ABD的中位线，∴$EH=\frac{1}{2}BD$，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形。
(2) 解：当四边形ABCD的对角线相等且互相垂直（即$AC=BD$且$AC⊥BD$）时，四边形EFGH为正方形。
理由：
∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，
∴EF//AC，$EF=\frac{1}{2}AC$，EH//BD，$EH=\frac{1}{2}BD$，
∵$AC=BD$，∴EF=EH，
由(1)知四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是菱形。
∵$AC⊥BD$，EF//AC，EH//BD，
∴EF⊥EH，
∴菱形EFGH是正方形。

22.(8分)如图,在$□ ABCD$中,O是AD的中点,连接BO,BO,CD的延长线相交于点E,连接AE,BD.
(1)求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)若$∠BOD=2∠C$,求证:四边形ABDE是矩形.

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，即$AB// CE$，
∴$∠ OAB=∠ ODE$，
∵$O$是$AD$的中点，
∴$OA=OD$，
在$△ AOB$和$△ DOE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ OAB=∠ ODE\\OA=OD\\∠ AOB=∠ DOE\end{array} $
∴$△ AOB≌△ DOE(\mathrm{ASA})$，
∴$AB=DE$，
又∵$AB// DE$，
∴四边形$ABDE$是平行四边形。
(2) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠ BAD=∠ C$，
∵$∠ BOD$是$△ AOB$的外角，
∴$∠ BOD=∠ BAD+∠ ABO$，
又∵$∠ BOD=2∠ C$，
∴$2∠ BAD=∠ BAD+∠ ABO$，
∴$∠ BAD=∠ ABO$，
∴$OA=OB$，
∵四边形$ABDE$是平行四边形，
∴$AD=2OA$，$BE=2OB$，
∴$AD=BE$，
∴平行四边形$ABDE$是矩形。