23.(10分)如图,在矩形ABCD中,点E在边CD上,将$△ BCE$沿BE折叠,使点C落在边AD上的点F处,过点F作$FG// CD$交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若$AB=6,AD=10$,求四边形CEFG的面积.

(1) 证明：
由折叠的性质得：$△ BCE ≌ △ BFE$，
$\therefore CE=FE$，$∠ BEC=∠ BEF$。
$\because FG// CD$，
$\therefore ∠ FGE=∠ BEC$，
$\therefore ∠ FGE=∠ BEF$，
$\therefore FG=FE$，
$\therefore FG=CE$。
又$\because FG// CE$，
$\therefore$ 四边形$CEFG$是平行四边形。
又$\because CE=FE$，
$\therefore$ 平行四边形$CEFG$是菱形。
(2) 解：
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB=CD=6$，$AD=BC=10$，$∠ A=∠ D=90°$。
由折叠的性质得：$BF=BC=10$，$FE=CE$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore FD=AD-AF=10-8=2$。
设$CE=x$，则$FE=x$，$DE=CD-CE=6-x$。
在$\mathrm{Rt}△ FDE$中，由勾股定理得：
$FD^2+DE^2=FE^2$，
即$2^2+(6-x)^2=x^2$，
解得$x=\dfrac{10}{3}$，即$CE=\dfrac{10}{3}$。
$\because$ 四边形$CEFG$是菱形，且$FG// CD$，$AD⊥ CD$，
$\therefore$ 菱形$CEFG$的高为$FD=2$，
$\therefore$ 四边形$CEFG$的面积$=CE× FD=\dfrac{10}{3}×2=\dfrac{20}{3}$。
答：四边形$CEFG$的面积为$\dfrac{20}{3}$。

24.(12分)如图,正方形ABCD的边长为3,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度$α(0°＜α＜90°)$,得到正方形AEFG,FE交线段DC于点Q,FE的延长线交线段BC于点P,连接AP,AQ.
(1)求证:$△ ADQ≌△ AEQ$;
(2)求证:$PQ=DQ+PB$;
(3)当$∠1=∠2$时,求PQ的长.

(1) 证明：
∵ 正方形ABCD绕点A顺时针旋转得到正方形AEFG，
∴ AD=AE，∠ADQ=∠AEQ=90°，
在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，
$\begin{cases} AQ=AQ \\ AD=AE \end{cases}$
∴ Rt△ADQ≌Rt△AEQ（HL）。
(2) 证明：
由(1)得Rt△ADQ≌Rt△AEQ，∴ DQ=EQ，
∵ AB=AE，∠ABP=∠AEP=90°，AP=AP，
∴ Rt△ABP≌Rt△AEP（HL），∴ PB=PE，
∵ PQ=EQ+PE，
∴ PQ=DQ+PB。
(3) 解：
∵ Rt△ADQ≌Rt△AEQ，∴ ∠1=∠QAE，DQ=EQ，
∵ Rt△ABP≌Rt△AEP，∴ ∠BAP=∠EAP，PB=PE，
∵ ∠1=∠2，∠AEP=90°，
∴ ∠2+∠EAP=90°，
又∠1+∠QAE+∠EAP+∠BAP=90°，即2∠1+2∠EAP=90°，
∴ ∠1+∠EAP=45°，即∠QAP=45°，
∵ ∠1=∠2，∠2+∠APQ=90°，∠EAP+∠APQ=90°，
∴ ∠1=∠EAP，故∠1=∠QAE=∠EAP=∠BAP=22.5°，
∴ ∠AQD=90°-∠1=67.5°，∠PQC=∠AQD=67.5°，
又∠QCP=90°，∴ ∠QPC=22.5°，故QC=PC，
设DQ=x，则QC=3-x，PC=3-x，PB=3-(3-x)=x，
由(2)知PQ=DQ+PB=2x，
在Rt△PQC中，由勾股定理：
$(2x)^2=(3-x)^2+(3-x)^2$
$4x^2=2(9-6x+x^2)$
$x^2+6x-9=0$
解得$x=-3+3\sqrt{2}$（舍去负根），
∴ PQ=2x=$6\sqrt{2}-6$。