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1. 如图，若$∠ 1+∠ 2=180°$，$∠ 3=118°$，则$∠ 4=(\quad)$
A.$62°$
B.$70°$
C.$72°$
D.$118°$
A.$62°$
B.$70°$
C.$72°$
D.$118°$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，需先根据已知角的关系判定直线a与b平行，再利用平行线的性质计算∠4的度数。具体思路：1. 找到∠2的对顶角，结合∠1+∠2=180°，通过同旁内角互补判定a//b；2. 利用平行线的性质，得出∠3与∠4互补，进而求出∠4的度数。
【解析】
1. 判定直线a//b：
设∠2的对顶角为∠5，根据对顶角相等，得∠5=∠2。
已知∠1+∠2=180°，因此∠1+∠5=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出a//b。
2. 计算∠4的度数：
因为a//b，直线d为截线，∠3与∠4是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3+∠4=180°。
已知∠3=118°，代入得∠4=180°-118°=62°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题核心是先通过角的关系判定两直线平行，再利用平行的性质求角，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先根据已知角的关系判定直线a与b平行，再利用平行线的性质计算∠4的度数。具体思路：1. 找到∠2的对顶角，结合∠1+∠2=180°，通过同旁内角互补判定a//b；2. 利用平行线的性质，得出∠3与∠4互补，进而求出∠4的度数。
【解析】
1. 判定直线a//b：
设∠2的对顶角为∠5，根据对顶角相等，得∠5=∠2。
已知∠1+∠2=180°，因此∠1+∠5=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可推出a//b。
2. 计算∠4的度数：
因为a//b，直线d为截线，∠3与∠4是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3+∠4=180°。
已知∠3=118°，代入得∠4=180°-118°=62°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题考查平行线的判定与性质的综合应用，解题核心是先通过角的关系判定两直线平行，再利用平行的性质求角，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
2.如图,将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,C,D两点分别与$C',D'$对应。若$∠1=2∠2$,则$∠AEF=$°。
答案
120
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用长方形对边平行的性质、折叠前后对应角相等的性质，结合平角的和为180°的特点，通过设未知数建立方程求解。首先设∠2为未知数，根据角的关系列出方程组，算出相关角的度数后，再结合平角定义求出∠AEF。
【解析】
设∠2 = x，则∠1 = 2x。
因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据平行线的内错角相等，得∠DEF = ∠EFB；又AD为直线，平角为180°，故∠AEF + ∠DEF = 180°。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠DEF = ∠D'EF。
在直线BC上，平角为180°，因此∠1 + ∠EFB = 180°，将∠EFB = ∠DEF代入得：2x + ∠DEF = 180° ①。
在直线AD上，∠2 + ∠D'EF + ∠DEF = 180°，结合∠D'EF = ∠DEF，代入得：x + 2∠DEF = 180° ②。
联立①②组成方程组，解方程组：
由①得∠DEF = 180° - 2x，将其代入②：
x + 2(180° - 2x) = 180°
x + 360° - 4x = 180°
-3x = -180°
x = 60°
则∠DEF = 180° - 2×60° = 60°，所以∠AEF = 180° - ∠DEF = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角定义
【点评】
本题结合长方形折叠考查角度计算，核心是利用平行线和折叠的性质转化角的关系，通过方程思想求解，难度适中，需要学生掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用长方形对边平行的性质、折叠前后对应角相等的性质，结合平角的和为180°的特点，通过设未知数建立方程求解。首先设∠2为未知数，根据角的关系列出方程组，算出相关角的度数后，再结合平角定义求出∠AEF。
【解析】
设∠2 = x，则∠1 = 2x。
因为四边形ABCD是长方形，所以AD//BC，根据平行线的内错角相等，得∠DEF = ∠EFB；又AD为直线，平角为180°，故∠AEF + ∠DEF = 180°。
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即∠DEF = ∠D'EF。
在直线BC上，平角为180°，因此∠1 + ∠EFB = 180°，将∠EFB = ∠DEF代入得：2x + ∠DEF = 180° ①。
在直线AD上，∠2 + ∠D'EF + ∠DEF = 180°，结合∠D'EF = ∠DEF，代入得：x + 2∠DEF = 180° ②。
联立①②组成方程组，解方程组：
由①得∠DEF = 180° - 2x，将其代入②：
x + 2(180° - 2x) = 180°
x + 360° - 4x = 180°
-3x = -180°
x = 60°
则∠DEF = 180° - 2×60° = 60°，所以∠AEF = 180° - ∠DEF = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角定义
【点评】
本题结合长方形折叠考查角度计算，核心是利用平行线和折叠的性质转化角的关系，通过方程思想求解，难度适中，需要学生掌握相关几何性质并灵活运用。
【难度系数】
0.5
3.将一副三角尺按如图所示的方式摆放在一起，$∠ BAC=∠ DAE=90°$，$∠ B=45°$，$∠ E=60°$。
给出下列结论：①$∠ 1=∠ 3$；②$∠ CAD+∠ 2=180°$；③若$∠ 3=30°$，则$AC// DE$；④若$∠ 2=45°$，则$BC// AD$。其中正确的结论是________（填序号）。
给出下列结论：①$∠ 1=∠ 3$；②$∠ CAD+∠ 2=180°$；③若$∠ 3=30°$，则$AC// DE$；④若$∠ 2=45°$，则$BC// AD$。其中正确的结论是________（填序号）。
答案
①②③④
解析
【分析】
要判断各结论是否正确，需结合三角尺的角度特征（∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°），利用角的和差关系、平行线的判定定理逐一分析：
1. 分析结论①：由∠BAC和∠DAE都是直角，可得∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，根据同角的余角相等，可推出∠1=∠3；
2. 分析结论②：∠CAD由∠1、∠2、∠3组成，结合∠1+∠2=90°、∠3+∠2=90°，可计算∠CAD+∠2的度数；
3. 分析结论③：若∠3=30°，先由①得∠1=30°，再结合△ADE的内角和求出∠ADE的度数，通过内错角相等判断AC与DE是否平行；
4. 分析结论④：若∠2=45°，先求出∠1的度数，再与∠B比较，通过内错角相等判断BC与AD是否平行。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠1+∠2=90°；
又
∵ ∠DAE=90°，
∴ ∠3+∠2=90°；
根据同角的余角相等，得∠1=∠3，故①正确。
2. 验证结论②：
∠CAD=∠1+∠2+∠3，
∴ ∠CAD+∠2=(∠1+∠2+∠3)+∠2=(∠1+∠2)+(∠3+∠2)=90°+90°=180°，故②正确。
3. 验证结论③：
若∠3=30°，由①知∠1=∠3=30°；
在△ADE中，∠DAE=90°，∠E=60°，
∴ ∠ADE=180°-90°-60°=30°，
则∠1=∠ADE，根据内错角相等，两直线平行，得AC//DE，故③正确。
4. 验证结论④：
若∠2=45°，则∠1=90°-∠2=90°-45°=45°，
又
∵ ∠B=45°，
∴ ∠1=∠B，
根据内错角相等，两直线平行，得BC//AD，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
余角性质、平行线判定、三角尺角度
【点评】
本题结合三角尺的角度特征，考查角的和差关系与平行线的判定，需熟练运用同角的余角相等、平行线的判定定理，逐一分析各结论即可，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断各结论是否正确，需结合三角尺的角度特征（∠BAC=∠DAE=90°，∠B=45°，∠E=60°），利用角的和差关系、平行线的判定定理逐一分析：
1. 分析结论①：由∠BAC和∠DAE都是直角，可得∠1与∠2互余，∠3与∠2互余，根据同角的余角相等，可推出∠1=∠3；
2. 分析结论②：∠CAD由∠1、∠2、∠3组成，结合∠1+∠2=90°、∠3+∠2=90°，可计算∠CAD+∠2的度数；
3. 分析结论③：若∠3=30°，先由①得∠1=30°，再结合△ADE的内角和求出∠ADE的度数，通过内错角相等判断AC与DE是否平行；
4. 分析结论④：若∠2=45°，先求出∠1的度数，再与∠B比较，通过内错角相等判断BC与AD是否平行。
【解析】
1. 验证结论①：
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠1+∠2=90°；
又
∵ ∠DAE=90°，
∴ ∠3+∠2=90°；
根据同角的余角相等，得∠1=∠3，故①正确。
2. 验证结论②：
∠CAD=∠1+∠2+∠3，
∴ ∠CAD+∠2=(∠1+∠2+∠3)+∠2=(∠1+∠2)+(∠3+∠2)=90°+90°=180°，故②正确。
3. 验证结论③：
若∠3=30°，由①知∠1=∠3=30°；
在△ADE中，∠DAE=90°，∠E=60°，
∴ ∠ADE=180°-90°-60°=30°，
则∠1=∠ADE，根据内错角相等，两直线平行，得AC//DE，故③正确。
4. 验证结论④：
若∠2=45°，则∠1=90°-∠2=90°-45°=45°，
又
∵ ∠B=45°，
∴ ∠1=∠B，
根据内错角相等，两直线平行，得BC//AD，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
余角性质、平行线判定、三角尺角度
【点评】
本题结合三角尺的角度特征，考查角的和差关系与平行线的判定，需熟练运用同角的余角相等、平行线的判定定理，逐一分析各结论即可，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.5
4.若∠1，∠2的两条边分别平行，且∠1，∠2的度数分别为$(2x-1)°$，$(3x-224)°$，则$x$的值为________。
答案
81或223
解析
【分析】
当两个角的两条边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补，这是解题的核心依据。因此需分两种情况讨论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=180°，分别列出方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
已知∠1与∠2的两条边分别平行，因此分两种情况：
情况1：两角相等，即∠1=∠2，
则 $2x - 1 = 3x - 224$，
移项得：$3x - 2x = 224 - 1$，
解得 $x = 223$；
情况2：两角互补，即∠1 + ∠2 = 180°，
则 $(2x - 1) + (3x - 224) = 180$，
合并同类项得：$5x - 225 = 180$，
移项得：$5x = 180 + 225 = 405$，
解得 $x = 81$；
综上，x的值为81或223。
【答案】
81或223
【知识点】
平行线的性质，角的运算
【点评】
本题考查平行线中角的关系，关键在于掌握“两边分别平行的两角相等或互补”这一性质，需分情况讨论避免漏解，计算时要注意移项、合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.4
当两个角的两条边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补，这是解题的核心依据。因此需分两种情况讨论：①∠1=∠2；②∠1+∠2=180°，分别列出方程求解，最后验证解的合理性即可。
【解析】
已知∠1与∠2的两条边分别平行，因此分两种情况：
情况1：两角相等，即∠1=∠2，
则 $2x - 1 = 3x - 224$，
移项得：$3x - 2x = 224 - 1$，
解得 $x = 223$；
情况2：两角互补，即∠1 + ∠2 = 180°，
则 $(2x - 1) + (3x - 224) = 180$，
合并同类项得：$5x - 225 = 180$，
移项得：$5x = 180 + 225 = 405$，
解得 $x = 81$；
综上，x的值为81或223。
【答案】
81或223
【知识点】
平行线的性质，角的运算
【点评】
本题考查平行线中角的关系，关键在于掌握“两边分别平行的两角相等或互补”这一性质，需分情况讨论避免漏解，计算时要注意移项、合并同类项的准确性。
【难度系数】
0.4
5.【阅读材料】如图①,在光的反射现象中,把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫作法线,入射光线与法线的夹角∠i叫作入射角,反射光线与法线的夹角∠r叫作反射角,且∠i=∠r,这就是光的反射定律。
(1)如图①,请说明∠1=∠2。
【解决问题】根据光的反射定律,人们制造了潜望镜,潜望镜的工作原理示意图如图②所示。AB,CD是平行放置的两面平面镜,EF是射入潜望镜的光线,GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线,由(1)可知,光线经过平面镜反射时,∠1=∠2,∠4=∠5。
(2)写出∠3与∠6之间的数量关系,并说明理由。
(3)小明尝试制作如图②所示的简易潜望镜,但发现光线无法顺利通过。他应如何调整平面镜AB,CD的位置?请给出你的方案。
(1)如图①,请说明∠1=∠2。
【解决问题】根据光的反射定律,人们制造了潜望镜,潜望镜的工作原理示意图如图②所示。AB,CD是平行放置的两面平面镜,EF是射入潜望镜的光线,GH是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线,由(1)可知,光线经过平面镜反射时,∠1=∠2,∠4=∠5。
(2)写出∠3与∠6之间的数量关系,并说明理由。
(3)小明尝试制作如图②所示的简易潜望镜,但发现光线无法顺利通过。他应如何调整平面镜AB,CD的位置?请给出你的方案。
答案
(1) 已证得∠1=∠2；
(2) ∠3与∠6的数量关系为∠3=∠6，理由如上；
(3) 调整方案：保持AB、CD互相平行，将两块平面镜都调整为与水平方向成45°角，即可让光线顺利通过潜望镜。
(2) ∠3与∠6的数量关系为∠3=∠6，理由如上；
(3) 调整方案：保持AB、CD互相平行，将两块平面镜都调整为与水平方向成45°角，即可让光线顺利通过潜望镜。
解析
【分析】
本题需结合光的反射定律和平行线的性质逐步推导：(1)要证∠1=∠2，利用反射定律中入射角等于反射角，结合法线与反射面垂直的关系，通过等角的余角相等证明；(2)找∠3与∠6的关系，利用AB//CD的内错角相等，结合反射角等于入射角推导；(3)潜望镜需两次反射后光线平行，故平面镜需调整为合适角度保证反射后光线方向正确。
【解析】
(1) 根据光的反射定律，入射角∠i=反射角∠r。因为法线ON垂直于反射面，所以∠i + ∠1 = 90°，∠r + ∠2 = 90°。由等角的余角相等，可得∠1=∠2。
(2) ∠3=∠6，理由：因为AB//CD，所以∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）。由反射定律得∠1=∠2，∠4=∠5，因此∠1=∠2=∠5=∠4。又∠3=180°-∠1-∠2，∠6=180°-∠5-∠4，故∠3=∠6。
(3) 要使光线顺利通过潜望镜，需入射光线EF经两次反射后，出射光线GH与EF平行。根据反射规律，当AB、CD互相平行且都与水平方向成45°角时，∠1=∠2=45°，∠4=∠5=45°，反射后光线方向符合要求，因此调整方案为：保持AB、CD互相平行，将两块平面镜都调整为与水平方向成45°角。
【答案】
(1) ∠1=∠2，证明成立；(2) ∠3=∠6；(3) 将平面镜AB、CD调整为互相平行，且都与水平方向成45°角。
【知识点】
光的反射定律、平行线的性质、潜望镜原理
【点评】
本题结合光学基础规律与几何知识，考查学生的逻辑推导能力，体现物理知识在实际装置中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题需结合光的反射定律和平行线的性质逐步推导：(1)要证∠1=∠2，利用反射定律中入射角等于反射角，结合法线与反射面垂直的关系，通过等角的余角相等证明；(2)找∠3与∠6的关系，利用AB//CD的内错角相等，结合反射角等于入射角推导；(3)潜望镜需两次反射后光线平行，故平面镜需调整为合适角度保证反射后光线方向正确。
【解析】
(1) 根据光的反射定律，入射角∠i=反射角∠r。因为法线ON垂直于反射面，所以∠i + ∠1 = 90°，∠r + ∠2 = 90°。由等角的余角相等，可得∠1=∠2。
(2) ∠3=∠6，理由：因为AB//CD，所以∠2=∠5（两直线平行，内错角相等）。由反射定律得∠1=∠2，∠4=∠5，因此∠1=∠2=∠5=∠4。又∠3=180°-∠1-∠2，∠6=180°-∠5-∠4，故∠3=∠6。
(3) 要使光线顺利通过潜望镜，需入射光线EF经两次反射后，出射光线GH与EF平行。根据反射规律，当AB、CD互相平行且都与水平方向成45°角时，∠1=∠2=45°，∠4=∠5=45°，反射后光线方向符合要求，因此调整方案为：保持AB、CD互相平行，将两块平面镜都调整为与水平方向成45°角。
【答案】
(1) ∠1=∠2，证明成立；(2) ∠3=∠6；(3) 将平面镜AB、CD调整为互相平行，且都与水平方向成45°角。
【知识点】
光的反射定律、平行线的性质、潜望镜原理
【点评】
本题结合光学基础规律与几何知识，考查学生的逻辑推导能力，体现物理知识在实际装置中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.5
