1. 如图,已知$AB// CD// EF,DE// BC$。若$∠1=60°$,则$∠2=$()

A.$65°$
B.$115°$
C.$60°$
D.$120°$

D

【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质逐步推导角度关系：首先利用EF与CD平行，得到∠1和∠C的关系；再利用DE与BC平行，结合同旁内角互补的性质，计算出∠2的度数。
【解析】
1. 因为 $ EF // CD $，根据“两直线平行，同位角相等”，可得 $ ∠ C = ∠ 1 = 60° $；
2. 又因为 $ DE // BC $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 $ ∠ 2 + ∠ C = 180° $；
3. 将 $ ∠ C = 60° $ 代入，计算得 $ ∠ 2 = 180° - 60° = 120° $。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题考查平行线性质的基础应用，核心是利用同位角相等、同旁内角互补推导角度，属于常规基础题，需熟练掌握平行线的性质定理。
【难度系数】
0.3

2. 如图,已知$∠AOB$,以点$O$为圆心,以任意长为半径作弧,分别交$OA$,$OB$于点$E$,$F$;再以点$E$为圆心,以$EF$长为半径作弧,两弧相交于点$D$,作射线$OD$。若$∠AOB=28°$,则$∠BOD=$ ()

A.$28°$
B.$32°$
C.$52°$
D.$56°$

D

【分析】要解决本题，需先理解作图的原理：通过作图得到相等的线段，利用全等三角形的判定得到角相等，再结合角的和差计算∠BOD的度数。步骤：1. 明确作图得到的线段相等：以O为圆心作弧，得OE=OF=OD；以E为圆心EF长作弧，得ED=EF。2. 证明△ODE与△OFE全等，得到对应角相等。3. 结合已知∠AOB=28°，推导∠DOE的度数，再计算∠BOD。
【解析】根据作图过程可知：OE=OF=OD（同圆半径相等），ED=EF（作图要求），又OE是△ODE和△OFE的公共边，因此△ODE≌△OFE（SSS），故∠DOE=∠FOE。已知∠FOE=∠AOB=28°，所以∠DOE=28°，则∠BOD=∠DOE + ∠AOB=28°+28°=56°。
【答案】D
【知识点】全等三角形判定；角的和差；尺规作图
【点评】本题结合尺规作图考查角度计算，核心是利用SSS证明三角形全等得到等角，再通过角的和差求解，需要学生掌握尺规作图的原理和全等三角形的性质，难度适中。
【难度系数】0.5

3.一把杆秤在称物时的状态如图所示，其中秤毫AB和拴秤锤的细线CD都是铅垂线（铅垂线与水平面垂直）。若$∠ 1=102°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$。

78

【分析】首先根据题意，AB和CD都是铅垂线，因此AB与CD互相平行；杆所在的直线作为截线，截AB和CD形成的∠1与∠2是同旁内角，依据平行线的性质，同旁内角互补，据此可计算∠2的度数。
【解析】因为AB和CD都是铅垂线，所以AB//CD（铅垂线互相平行）。杆所在的直线是截线，截AB、CD形成的∠1与∠2是同旁内角，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠1 + ∠2 = 180°。已知∠1=102°，所以∠2=180°-102°=78°。
【答案】78
【知识点】平行线的性质、同旁内角互补
【点评】本题结合杆秤的实际场景，考查平行线性质的应用，核心是判断两条铅垂线平行，再利用同旁内角互补的性质求解，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.3

4. 如图，$AB// CD$，$E$为$AB$上的一点，且$EF⊥ CD$，垂足为$F$，$∠ CED=90°$，$EC$平分$∠ AEG$，且$∠ CGE=α$。给出下列结论：①$∠ AEC=90°-\dfrac{1}{2}α$；②$ED$平分$∠ GEB$；③$∠ CEF=∠ GED$；④$∠ FED+∠ BEC=180°$。其中正确的结论是________（填序号）。

①②③④

【分析】
要判断各结论是否正确，需结合平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质逐步推导：先利用平行线的同旁内角互补得到∠AEG与∠CGE的关系，结合角平分线定义推导∠AEC；再通过直角∠CED拆分出∠GED，验证ED是否平分∠GEB；接着利用直角三角形的余角关系验证∠CEF与∠GED是否相等；最后计算∠FED和∠BEC的和，判断是否为180°。
【解析】
已知$AB//CD$，$EF⊥CD$，故$EF⊥AB$（平行线的垂线性质），得$∠ EFC=∠ AEF=90°$。
1. 验证结论①：
$AB//CD$，$EG$为截线，同旁内角互补，故$∠ AEG + ∠ CGE=180°$。因$∠ CGE=α$，则$∠ AEG=180°-α$。
又$EC$平分$∠ AEG$，所以$∠ AEC=\frac{1}{2}∠ AEG=\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$∠ GEB=180°-∠ AEG=180°-(180°-α)=α$。
由$∠ CED=90°$，$∠ CEG=∠ AEC=90°-\frac{1}{2}α$，故$∠ GED=∠ CED-∠ CEG=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$，即$∠ GED=\frac{1}{2}∠ GEB$，$ED$平分$∠ GEB$，结论②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ EFC$中，$∠ CEF + ∠ ECF=90°$。因$AB//CD$，内错角相等得$∠ ECF=∠ AEC=90°-\frac{1}{2}α$，故$∠ CEF=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$。
结合结论②中$∠ GED=\frac{1}{2}α$，得$∠ CEF=∠ GED$，结论③正确。
4. 验证结论④：
$∠ FED=∠ AEF-∠ AEC=90°-(90°-\frac{1}{2}α)=\frac{1}{2}α$；
$∠ BEC=∠ CEG+∠ GEB=(90°-\frac{1}{2}α)+α=90°+\frac{1}{2}α$；
则$∠ FED+∠ BEC=\frac{1}{2}α +90°+\frac{1}{2}α=180°$，结论④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线性质、角平分线定义、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线及直角三角形的角度关系，需熟练运用相关性质推导各角数量关系，逐一验证结论，是典型的几何角度综合题。
【难度系数】
0.5

5.如图①，将一条对边互相平行的围巾折叠，并将其抽象成如图②所示的数学模型。已知$AB// CD$，折痕分别为$AD,CB$。若$∠ DAB=2∠ GCB,DF// CG$，则$∠ ADF=\underline{\hspace{5em}}°$。

60

【分析】
本题需结合平行关系与平行四边形性质推导角的等量关系：由AB//CD、折痕AD和CB可知AD//CB，故四边形ABCD是平行四边形，邻角互补（∠DAB + ∠ADC=180°）；再根据DF//CG，可得∠ADF=∠GCB；结合题目给出的∠DAB=2∠GCB，通过建立方程即可求出∠ADF。
【解析】
设∠ADF = x，
因为DF//CG，所以∠GCB = ∠ADF = x；
已知∠DAB = 2∠GCB，故∠DAB = 2x；
又因为AB//CD，AD//CB，所以四边形ABCD是平行四边形，因此∠DAB + ∠ADC = 180°，且∠ADC = ∠GCB = x；
代入得：2x + x = 180°，
解得：x = 60°，即∠ADF = 60°。
【答案】
60
【知识点】
平行线性质、平行四边形性质、角的计算
【点评】
本题结合折叠的平行关系，利用平行四边形邻角互补的性质建立方程求解，核心是推导角的等量关系，难度适中。
【难度系数】
0.5

6. 如图，$EF// CD$，$GD// CA$，$∠ 1=130°$。
(1) 求$∠ 2$的度数。
(2) 若$DG$平分$∠ CDB$，求$∠ A$的度数。

(1) $∠ 2=50°$；(2) $∠ A=50°$

【分析】
要解决本题，需结合平行线的性质和角平分线的定义推导：
(1) 求∠2时，先利用EF//CD的同旁内角互补算出∠ECD，再通过GD//CA的内错角相等得到∠2与∠ECD的关系；
(2) 求∠A时，先根据DG平分∠CDB得到∠GDB的度数，再利用GD//CA的同位角相等，得出∠A与∠GDB相等，进而求出∠A。
【解析】
(1) 因为 $ EF // CD $，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $ ∠ 1 + ∠ ECD = 180° $。
已知 $ ∠ 1 = 130° $，代入得 $ ∠ ECD = 180° - 130° = 50° $。
又因为 $ GD // CA $，根据“两直线平行，内错角相等”，得 $ ∠ 2 = ∠ ECD $，因此 $ ∠ 2 = 50° $。
(2) 因为 $ DG $ 平分 $ ∠ CDB $，根据角平分线的定义，得 $ ∠ GDB = ∠ 2 = 50° $。
又因为 $ GD // CA $，根据“两直线平行，同位角相等”，得 $ ∠ A = ∠ GDB $，因此 $ ∠ A = 50° $。
【答案】
(1) $ ∠ 2 = 50° $；(2) $ ∠ A = 50° $
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是基础几何题，核心考查平行线的性质和角平分线的应用，解题关键是准确识别平行线形成的角的关系，结合角平分线定义逐步推导，难度适中，适合巩固平行线相关知识点。
【难度系数】
0.7