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一、选择题
1. 已知一个三角形中两条边的长分别是$ a,b $，且$ a＞b $，那么这个三角形的周长$ L $的取值范围是 （）
A.$ 3b＜L＜3a $
B.$ 2a＜L＜2(a+b) $
C.$ a+2b＜L＜2a+b $
D.$ 3a-b＜L＜3a+b $
1. 已知一个三角形中两条边的长分别是$ a,b $，且$ a＞b $，那么这个三角形的周长$ L $的取值范围是 （）
A.$ 3b＜L＜3a $
B.$ 2a＜L＜2(a+b) $
C.$ a+2b＜L＜2a+b $
D.$ 3a-b＜L＜3a+b $
答案
B
解析
设三角形第三边的长为$c$，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知$a＞b$，可得：
$a - b ＜ c ＜ a + b$
将不等式三边同时加上$a+b$，得到周长$L=a+b+c$的范围：
$(a+b)+(a-b) ＜ L ＜ (a+b)+(a+b)$
化简后得$2a ＜ L ＜ 2(a+b)$
$a - b ＜ c ＜ a + b$
将不等式三边同时加上$a+b$，得到周长$L=a+b+c$的范围：
$(a+b)+(a-b) ＜ L ＜ (a+b)+(a+b)$
化简后得$2a ＜ L ＜ 2(a+b)$
2. 李同学只带了20元和50元两种面额的人民币，他买了一件礼品需付270元，如果不麻烦售货员找零钱，他有几种不同的付款方式 （）
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
答案
C
解析
设李同学付款时用了x张20元，y张50元，根据总付款270元列方程：
20x + 50y = 270，化简得：2x + 5y = 27，其中x、y均为非负整数。
对该方程求非负整数解：
1. 当y=1时，2x=22，得x=11，符合要求；
2. 当y=3时，2x=12，得x=6，符合要求；
3. 当y=5时，2x=2，得x=1，符合要求；
y取其他值时x均不为非负整数，因此共有3种不同付款方式。
20x + 50y = 270，化简得：2x + 5y = 27，其中x、y均为非负整数。
对该方程求非负整数解：
1. 当y=1时，2x=22，得x=11，符合要求；
2. 当y=3时，2x=12，得x=6，符合要求；
3. 当y=5时，2x=2，得x=1，符合要求；
y取其他值时x均不为非负整数，因此共有3种不同付款方式。
3. 如图,已知 $D,E$ 分别为$△ ABC$ 的边 $AC,BC$ 的中点,$AF$ 为 $△ ABD$ 的中线,连接 $EF$. 若四边形 $AFEC$ 的面积为 $15$,且 $AB=8$,则在$△ ABC$ 中 $AB$边上高的长度是（）
A.$7$
B.$6$
C.$9$
D.无法确定
A.$7$
B.$6$
C.$9$
D.无法确定
答案
B
解析
根据三角形中线等分三角形面积的性质推导：
1. 设$S_{△ ABC}=S$，因为D是AC中点，等底同高可得$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S$。
2. AF是$△ ABD$的中线，F是BD中点，同理得$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S$。
3. E是BC中点，F是BD中点，可得$S_{△ BEF}=\frac{1}{4}S_{△ CBD}=\frac{1}{8}S$。
4. 四边形AFEC面积为$S-\frac{1}{4}S-\frac{1}{8}S=\frac{5}{8}S=15$，解得$S=24$。
5. 设AB边上高为h，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× AB × h$，代入$S=24$、$AB=8$，得$24=\frac{1}{2}×8× h$，解得$h=6$。
1. 设$S_{△ ABC}=S$，因为D是AC中点，等底同高可得$S_{△ ABD}=S_{△ CBD}=\frac{1}{2}S$。
2. AF是$△ ABD$的中线，F是BD中点，同理得$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{4}S$。
3. E是BC中点，F是BD中点，可得$S_{△ BEF}=\frac{1}{4}S_{△ CBD}=\frac{1}{8}S$。
4. 四边形AFEC面积为$S-\frac{1}{4}S-\frac{1}{8}S=\frac{5}{8}S=15$，解得$S=24$。
5. 设AB边上高为h，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× AB × h$，代入$S=24$、$AB=8$，得$24=\frac{1}{2}×8× h$，解得$h=6$。
4. 已知不等式 $2x - m ＜ 3(x + 1)$ 只有4个负整数解，则 $m$ 的取值范围是
（）
A.$1 ＜ m ＜ 2$
B.$1 ＜ m ≤ 2$
C.$1 ≤ m ＜ 2$
D.$1 ≤ m ≤ 2$
（）
A.$1 ＜ m ＜ 2$
B.$1 ＜ m ≤ 2$
C.$1 ≤ m ＜ 2$
D.$1 ≤ m ≤ 2$
答案
B
解析
先解不等式$2x - m ＜ 3(x + 1)$：
去括号得：$2x - m ＜ 3x + 3$，
移项合并同类项得：$x ＞ -m - 3$。
已知不等式只有4个负整数解，对应的4个负整数解为$-1、-2、-3、-4$，因此可得边界条件：
$-5 ≤ -m - 3 ＜ -4$，
不等式三边同时加3得：$-2 ≤ -m ＜ -1$，
三边同时乘$-1$（不等号方向改变）得：$1 ＜ m ≤ 2$。
去括号得：$2x - m ＜ 3x + 3$，
移项合并同类项得：$x ＞ -m - 3$。
已知不等式只有4个负整数解，对应的4个负整数解为$-1、-2、-3、-4$，因此可得边界条件：
$-5 ≤ -m - 3 ＜ -4$，
不等式三边同时加3得：$-2 ≤ -m ＜ -1$，
三边同时乘$-1$（不等号方向改变）得：$1 ＜ m ≤ 2$。
5. 已知关于$ x $的不等式$(1 - a)x ＞ 3$的解集为$ x ＜ \dfrac{3}{1 - a} $，则$ a $的取值范围是________.
答案
$a＞1$
解析
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向会发生改变。已知不等式$(1 - a)x ＞ 3$的解集为$x ＜ \dfrac{3}{1 - a}$，不等号方向和原不等式相比发生了改变，说明未知数的系数$1-a$是负数，即$1-a＜0$，移项计算可得$a＞1$。
6. 如图，△ABC是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=25°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A落在直尺的一边上，AB与直尺的另一边交于点D，BC与直尺的两边分别交于点E，F，若∠CAF=20°，则∠BED的度数为.
答案
85°
解析
1. 在△ABC中，已知∠BAC=90°，∠B=25°，根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-90°-25°=65°；
2. 结合已知∠CAF=20°，计算得∠BAF=∠BAC - ∠CAF=90°-20°=70°；
3. 直尺的两组对边互相平行，因此ED//AF，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可得∠BDE=∠BAF=70°；
4. 在△BED中，再次利用三角形内角和为180°，计算得∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-25°-70°=85°。
2. 结合已知∠CAF=20°，计算得∠BAF=∠BAC - ∠CAF=90°-20°=70°；
3. 直尺的两组对边互相平行，因此ED//AF，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，可得∠BDE=∠BAF=70°；
4. 在△BED中，再次利用三角形内角和为180°，计算得∠BED=180°-∠B-∠BDE=180°-25°-70°=85°。
