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7. 如图，D是线段AE上一点，以AD，DE为边向两边作正方形，面积分别是$S_1$和$S_2$.设$AE=10$，两个正方形的面积之和$S_1+S_2=60$，则$△ CDE$的面积为________.
答案
10
解析
设正方形$S_1$的边长$AD=CD=a$，正方形$S_2$的边长$DE=b$。
1. 由题意可得：$AE=AD+DE=a+b=10$，且$S_1+S_2=a^2+b^2=60$。
2. 根据完全平方公式变形：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=10$、$a^2+b^2=60$代入得：
$10^2=60+2ab$，计算得$2ab=40$，即$ab=20$。
3. 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD⊥ AE$，即$CD⊥ DE$，$△ CDE$为直角三角形，其面积为：
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}· CD· DE=\frac{1}{2}ab$。
4. 将$ab=20$代入，得$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×20=10$。
1. 由题意可得：$AE=AD+DE=a+b=10$，且$S_1+S_2=a^2+b^2=60$。
2. 根据完全平方公式变形：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$a+b=10$、$a^2+b^2=60$代入得：
$10^2=60+2ab$，计算得$2ab=40$，即$ab=20$。
3. 因为四边形$ABCD$是正方形，所以$CD⊥ AE$，即$CD⊥ DE$，$△ CDE$为直角三角形，其面积为：
$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}· CD· DE=\frac{1}{2}ab$。
4. 将$ab=20$代入，得$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}×20=10$。
8. 把一副三角板按如图所示的方式摆放,点 E 在边 AC 上,将图中的$△ ABC$绕点 A 按每秒$5°$速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,在第秒时,边 BC 恰好与边 DE 平行.
答案
15或51
解析
首先明确两个三角板的内角度数：由三角板的性质可知，$△ ABC$中$∠ B=30°$，$∠ BAC=90°$，$△ ADE$中$∠ D=45°$，$∠ DAE=90°$。
设旋转时间为$t$秒，$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转的角度为$5t°$。
1. 第一次平行：当$BC// DE$时，由平行线的同位角相等，可得$∠ B$对应的同位角等于$∠ D=45°$，在三角形内计算可得此时旋转角为$75°$，即$5t=75$，解得$t=15$。
2. 第二次平行：旋转过程中，旋转角继续增加，当旋转角为$75°+180°=255°$时，边$BC$再次与$DE$平行，满足$255°＜360°$（旋转一周的总角度），即$5t=255$，解得$t=51$。
旋转角超过$360°$的情况不符合“旋转一周”的限定，因此符合条件的时间为15秒和51秒。
设旋转时间为$t$秒，$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转的角度为$5t°$。
1. 第一次平行：当$BC// DE$时，由平行线的同位角相等，可得$∠ B$对应的同位角等于$∠ D=45°$，在三角形内计算可得此时旋转角为$75°$，即$5t=75$，解得$t=15$。
2. 第二次平行：旋转过程中，旋转角继续增加，当旋转角为$75°+180°=255°$时，边$BC$再次与$DE$平行，满足$255°＜360°$（旋转一周的总角度），即$5t=255$，解得$t=51$。
旋转角超过$360°$的情况不符合“旋转一周”的限定，因此符合条件的时间为15秒和51秒。
9. 如图，$∠ ENC+∠ CMG=180°,AB// CD.$
（1）求证：$∠ 2=∠ 3$；
（2）若$∠ A=∠ 1+70°,∠ ACB=42°$,则$∠ B$的大小为$\underline{\hspace{5em}}$.
（1）求证：$∠ 2=∠ 3$；
（2）若$∠ A=∠ 1+70°,∠ ACB=42°$,则$∠ B$的大小为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
（1）证明如上；（2）$\boldsymbol{34°}$
解析
（1）证明：
∵ ∠ENC + ∠CMG = 180°，
又∵ ∠ENC + ∠ENM = 180°（平角的定义），
∴ ∠CMG = ∠ENM（同角的补角相等），
∴ CF // EG（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠CGE（两直线平行，同位角相等），
又∵ AB // CD，
∴ ∠3 = ∠CGE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠2 = ∠3（等量代换）。
（2）求解：
∵ AB // CD，
∴ ∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠B = ∠1（两直线平行，内错角相等），
已知∠ACD = ∠1 + ∠ACB，∠ACB=42°，∠A = ∠1 +70°，代入得：
(∠1 +70°) + (∠1 +42°) = 180°，
整理得2∠1 = 68°，解得∠1=34°，
∴ ∠B = ∠1 = 34°。
∵ ∠ENC + ∠CMG = 180°，
又∵ ∠ENC + ∠ENM = 180°（平角的定义），
∴ ∠CMG = ∠ENM（同角的补角相等），
∴ CF // EG（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2 = ∠CGE（两直线平行，同位角相等），
又∵ AB // CD，
∴ ∠3 = ∠CGE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠2 = ∠3（等量代换）。
（2）求解：
∵ AB // CD，
∴ ∠A + ∠ACD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），且∠B = ∠1（两直线平行，内错角相等），
已知∠ACD = ∠1 + ∠ACB，∠ACB=42°，∠A = ∠1 +70°，代入得：
(∠1 +70°) + (∠1 +42°) = 180°，
整理得2∠1 = 68°，解得∠1=34°，
∴ ∠B = ∠1 = 34°。
10. 小明和小红在计算$(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}$时，分别采用了不同的解法.
小明的解法：$(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{100}× 3=[(-\dfrac{1}{3})× 3]^{100}× 3=(-1)^{100}× 3=3$；
小红的解法：$(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(3^{-1})^{100}× 3^{101}=3^{-100}× 3^{101}=3$.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若$4a-3b+1=0$，求$3^{2}× 9^{2a+1}÷ 27^{b}$的值；
（2）已知$x$满足$2^{2x+4}-2^{2x+2}=96$，求$x$的值.
小明的解法：$(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{100}× 3=[(-\dfrac{1}{3})× 3]^{100}× 3=(-1)^{100}× 3=3$；
小红的解法：$(-\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(\dfrac{1}{3})^{100}× 3^{101}=(3^{-1})^{100}× 3^{101}=3^{-100}× 3^{101}=3$.
请你借鉴小明和小红的解题思路，解决下列问题：
（1）若$4a-3b+1=0$，求$3^{2}× 9^{2a+1}÷ 27^{b}$的值；
（2）已知$x$满足$2^{2x+4}-2^{2x+2}=96$，求$x$的值.
答案
（1）$\boldsymbol{27}$；（2）$\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$
解析
（1）先将原式中各幂的底数统一为3：
已知$9=3^2$，$27=3^3$，代入原式得：
$3^{2}× 9^{2a+1}÷ 27^{b}$
$=3^2 × (3^2)^{2a+1} ÷ (3^3)^b$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简：
$=3^2 × 3^{4a+2} ÷ 3^{3b}$
再根据同底数幂乘除法则$a^m · a^n=a^{m+n}$、$a^m ÷ a^n=a^{m-n}$合并指数：
$=3^{2+4a+2-3b}=3^{4a-3b+4}$
由已知$4a-3b+1=0$，可得$4a-3b=-1$，代入上式：
$3^{-1+4}=3^3=27$
（2）对等式左边变形提取公因式：
$2^{2x+4}-2^{2x+2}=2^2 · 2^{2x+2} - 2^{2x+2}=(4-1) · 2^{2x+2}=3×2^{2x+2}$
原等式化为$3×2^{2x+2}=96$，两边同时除以3得：
$2^{2x+2}=32$
因为$32=2^5$，因此指数对应相等：
$2x+2=5$
解得$x=\frac{3}{2}$
已知$9=3^2$，$27=3^3$，代入原式得：
$3^{2}× 9^{2a+1}÷ 27^{b}$
$=3^2 × (3^2)^{2a+1} ÷ (3^3)^b$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简：
$=3^2 × 3^{4a+2} ÷ 3^{3b}$
再根据同底数幂乘除法则$a^m · a^n=a^{m+n}$、$a^m ÷ a^n=a^{m-n}$合并指数：
$=3^{2+4a+2-3b}=3^{4a-3b+4}$
由已知$4a-3b+1=0$，可得$4a-3b=-1$，代入上式：
$3^{-1+4}=3^3=27$
（2）对等式左边变形提取公因式：
$2^{2x+4}-2^{2x+2}=2^2 · 2^{2x+2} - 2^{2x+2}=(4-1) · 2^{2x+2}=3×2^{2x+2}$
原等式化为$3×2^{2x+2}=96$，两边同时除以3得：
$2^{2x+2}=32$
因为$32=2^5$，因此指数对应相等：
$2x+2=5$
解得$x=\frac{3}{2}$
