11. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线，点E在BC上.$EG// AD$交AB于点F，交CA的延长线于点G.求证：$∠ AFG=∠ G$.

证明：
$\because EG// AD$
$\therefore ∠ G = ∠ CAD$（两直线平行，同位角相等），
$∠ AFG = ∠ BAD$（两直线平行，内错角相等），
又$\because$ AD是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ AFG = ∠ G$，得证。

本题可结合平行线的性质与角平分线的定义，通过等量代换完成证明：
1. 由 $EG// AD$，根据两直线平行，同位角相等，可得 $∠ G = ∠ CAD$；
2. 由 $EG// AD$，根据两直线平行，内错角相等，可得 $∠ AFG = ∠ BAD$；
3. 已知AD是$△ ABC$的角平分线，根据角平分线的定义，可得 $∠ BAD = ∠ CAD$；
4. 通过等量代换即可推导出 $∠ AFG = ∠ G$。

已知 P 为△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC，在△PAB，△PBC，△PAC 中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，就称点 P 为△ABC 的等角点。


（1）判断下列命题，填“真命题”或“假命题”。
① 内角分别为 $30°,60°,90°$ 的三角形存在等角点：；
② 任意的三角形都存在等角点：；
（2）如图 1，P 是锐角△ABC 的等角点，若$∠BAC=∠PBC$，探究图 1 中，$∠BPC,∠ABC,∠ACP$ 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图 2，在△ABC 中，$∠BAC＜∠ABC＜∠ACB$，若△ABC 的三个内角的角平分线的交点 P 是该三角形的等角点，求△ABC 三个内角的度数。

(1) ① 真命题；② 假命题
(2) $∠ BPC = ∠ ABC + ∠ ACP$
(3) $△ ABC$三个内角的度数分别为$\frac{180°}{7}$，$\frac{360°}{7}$，$\frac{720°}{7}$

(1) ① 对于内角为$30°,60°,90°$的三角形，可构造点$P$使得三个小三角形中存在一个内角分别为$30°,60°,90°$，完全符合等角点的定义，因此是真命题；
② 例如等边三角形不存在满足条件的等角点，因此并非任意三角形都存在等角点，因此是假命题。
(2) 探究得到数量关系为：$\boldsymbol{∠ BPC = ∠ ABC + ∠ ACP}$，理由如下：
在$△ BPC$中，由三角形内角和定理可得：
$∠ BPC + ∠ PBC + ∠ PCB = 180°$，变形得$∠ BPC = 180° - ∠ PBC - ∠ PCB$。
已知$∠ BAC = ∠ PBC$，且$∠ PCB = ∠ ACB - ∠ ACP$，将其代入上式：
$∠ BPC = 180° - ∠ BAC - (∠ ACB - ∠ ACP)$
$= (180° - ∠ BAC - ∠ ACB) + ∠ ACP$。
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理：$∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，因此$180° - ∠ BAC - ∠ ACB = ∠ ABC$，代入后即可得到$∠ BPC = ∠ ABC + ∠ ACP$。
(3) 设$∠ BAC = α$，$∠ ABC = β$，$∠ ACB = \gamma$，由题意得$α ＜ β ＜ \gamma$，且$α + β + \gamma = 180°$。
因为$P$是三个内角的角平分线交点，因此：
$∠ PAB = ∠ PAC = \frac{α}{2}$，$∠ PBA = ∠ PBC = \frac{β}{2}$，$∠ PCA = ∠ PCB = \frac{\gamma}{2}$。
已知$P$是等角点，因此三个小三角形中存在一个三角形的三个内角分别等于$α,β,\gamma$。
由于$\frac{α}{2} ＜ α ＜ β ＜ \gamma$，$\frac{α}{2}$不可能等于$α,β,\gamma$中任意一个，因此符合条件的三角形只能是$△ PBC$，其两个内角满足：
$\frac{β}{2} = α$，$\frac{\gamma}{2} = β$，即$β = 2α$，$\gamma = 2β = 4α$。
代入三角形内角和公式：$α + 2α + 4α = 180°$，解得$α = \frac{180°}{7}$，因此$β = \frac{360°}{7}$，$\gamma = \frac{720°}{7}$。