1. 已知二次根式$\sqrt{5+m}$有意义，则$m$的取值范围是（）

A.$m＜-5$
B.$m＞-5$
C.$m≤ -5$
D.$m≥ -5$

D

二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，因此对于$\sqrt{5+m}$，需满足$5+m≥0$，解不等式得$m≥-5$，对应选项D。

2. 若$\sqrt{(3-b)^2}=3-b$,则 （）

A.$b＞3$
B.$b＜3$
C.$b≥3$
D.$b≤3$

D

根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此$\sqrt{(3-b)^2}=|3-b|$。由题意得$|3-b|=3-b$，根据绝对值的意义，当一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，故$3-b≥0$，解得$b≤3$。

3. 下列二次根式中与$\sqrt{3}$是同类二次根式的是 （）

A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{0.3}$
C.$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
D.$\sqrt{18}$

A

先将各选项二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式定义（最简二次根式被开方数相同）判断：A选项√12=2√3，被开方数为3，与√3相同，是同类二次根式；B选项√0.3=√30/10，被开方数为30，不是；C选项√(2/3)=√6/3，被开方数为6，不是；D选项√18=3√2，被开方数为2，不是。

4. 把二次根式 $ x\sqrt{\frac{y}{x}} \ (x＞0,y＞0) $ 化成最简二次根式为 ______。

$\sqrt{xy}$

要化简二次根式 $ x\sqrt{\frac{y}{x}} $（$ x＞0,y＞0 $），先将根号内的分式变形：因为 $ x＞0 $，所以 $ \sqrt{\frac{y}{x}} = \sqrt{\frac{xy}{x^2}} = \frac{\sqrt{xy}}{x} $，代入原式得 $ x · \frac{\sqrt{xy}}{x} = \sqrt{xy} $。

5. 已知直角三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，一条直角边长为$\sqrt{2}$，则此直角三角形的面积是________.

2

根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。设另一条直角边长为$a$，则$a^2 = (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{2})^2 = 10 - 2 = 8$，所以$a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。直角三角形的面积为两条直角边乘积的一半，因此面积$S = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × 2\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 2 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = \frac{1}{2} × 2 × 2 = 2$。

6. 计算：
(1) $\dfrac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{18} - 4\sqrt{\dfrac{1}{2}}$；
(2) $\sqrt{8} + |1 - \sqrt{2}| - \sqrt[3]{-8}$；
(3) $(5\sqrt{48} - 6\sqrt{27} + 4\sqrt{15}) ÷ \sqrt{3}$；
(4) $\sqrt{48} ÷ 2\sqrt{\dfrac{1}{2}} - 6\sqrt{\dfrac{2}{3}} + \dfrac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}}$。

(1)$2\sqrt{2}$；(2)$3\sqrt{2}+1$；(3)$2+4\sqrt{5}$；(4)$\sqrt{6}$

(1) 先将各项化为最简二次根式：$\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，再合并同类二次根式：原式$=\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$；
(2) 化简各项：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，根据绝对值性质$|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，代入计算：原式$=2\sqrt{2}+(\sqrt{2}-1)-(-2)=2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1+2=3\sqrt{2}+1$；
(3) 利用二次根式除法分配律：原式$=5\sqrt{48}÷\sqrt{3}-6\sqrt{27}÷\sqrt{3}+4\sqrt{15}÷\sqrt{3}=5\sqrt{16}-6\sqrt{9}+4\sqrt{5}=5×4-6×3+4\sqrt{5}=20-18+4\sqrt{5}=2+4\sqrt{5}$；
(4) 逐项化简：$\sqrt{48}÷2\sqrt{\frac{1}{2}}=4\sqrt{3}÷\sqrt{2}=2\sqrt{6}$，$6\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{5}}=\sqrt{6}$，合并得：原式$=2\sqrt{6}-2\sqrt{6}+\sqrt{6}=\sqrt{6}$；

7. 若 $ xy ＜ 0 $，则代数式 $ \sqrt{x^2 y} $ 可化简为（）

A.$ x\sqrt{y} $
B.$ x\sqrt{-y} $
C.$ -x\sqrt{y} $
D.$ -x\sqrt{-y} $

C

由xy＜0可知x、y异号；又二次根式被开方数非负，故x²y≥0，因x²≥0，得y≥0，所以y＞0，x＜0。化简√(x²y)=|x|√y，x＜0时|x|=-x，因此原式=-x√y。

8. 已知$ a = \sqrt{6} - \sqrt{5}, b = \sqrt{7} - \sqrt{6}, c = 2\sqrt{2} - \sqrt{7} $，则$ a,b,c $的大小关系是 （）

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ c ＜ a ＜ b $
C.$ b ＞ c ＞ a $
D.$ c ＜ b ＜ a $

D

对a、b、c分别进行分母有理化：
a=√6-√5=(√6-√5)(√6+√5)/(√6+√5)=1/(√6+√5)
b=√7-√6=(√7-√6)(√7+√6)/(√7+√6)=1/(√7+√6)
c=2√2-√7=√8-√7=(√8-√7)(√8+√7)/(√8+√7)=1/(√8+√7)
因为√6+√5 ＜ √7+√6 ＜ √8+√7，所以1/(√6+√5) ＞1/(√7+√6) ＞1/(√8+√7)，即a＞b＞c，故c＜b＜a。

9. 化简：$\sqrt{225 × 0.04} = \_\_\_\_\_\_$，
$\sqrt{117^2 - 108^2} = \_\_\_\_\_\_$.

3，45

1. 化简$\sqrt{225×0.04}$时，根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}(a≥0,b≥0)$，可得$\sqrt{225×0.04}=\sqrt{225}×\sqrt{0.04}=15×0.2=3$；2. 化简$\sqrt{117^2 -108^2}$时，先利用平方差公式$a^2 -b^2=(a-b)(a+b)$，得$117^2 -108^2=(117-108)(117+108)=9×225$，再根据二次根式乘法性质，$\sqrt{9×225}=\sqrt{9}×\sqrt{225}=3×15=45$。

10. 数$ a $在数轴上的位置如图所示，则化简$\sqrt{(a-1)^2} + \sqrt{a^2}$的结果是________。

1

由数轴可知$0 ＜ a ＜ 1$，则$a - 1 ＜ 0$。根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：$\sqrt{(a - 1)^2}=|a - 1|=1 - a$，$\sqrt{a^2}=|a|=a$。因此原式$=(1 - a) + a = 1$。

11. 已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$\sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{b-4}=(\sqrt{4-b})^2-(c-5)^2$，则$△ ABC$的周长为________。

12

根据二次根式有意义的条件，得$b - 4 ≥ 0$且$4 - b ≥ 0$，所以$b = 4$。
将$b = 4$代入原式，左边为$\sqrt{(a - 3)^2} + \sqrt{4 - 4} = |a - 3|$，右边为$(\sqrt{4 - 4})^2 - (c - 5)^2 = - (c - 5)^2$，因此等式变为$|a - 3| = - (c - 5)^2$。
因为绝对值和平方数都是非负数，即$|a - 3| ≥ 0$，$(c - 5)^2 ≥ 0$，所以$|a - 3| + (c - 5)^2 = 0$，可得$a - 3 = 0$，$c - 5 = 0$，即$a = 3$，$c = 5$。
则$△ ABC$的三边长为$3$、$4$、$5$，周长为$3 + 4 + 5 = 12$。