12. 已知$AB=2,AC=4\sqrt{\frac{1}{2}},BC=\frac{2}{5}\sqrt{125}$，在图中$4×4$的方格内画出$△ ABC$，使它的顶点都在格点上.
（1）求$△ ABC$的面积；
（2）求点$A$到边$BC$的距离.

（1）$2$；（2）$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

先化简各边长：$AB=2$，$AC=4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$BC=\frac{2}{5}\sqrt{125}=\frac{2}{5}×5\sqrt{5}=2\sqrt{5}$。取格点$A(0,2)$、$B(0,0)$、$C(2,4)$，满足三边长度要求。
（1）用坐标法计算$△ ABC$面积：根据三点坐标的面积公式，$S=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B - y_C)+x_B(y_C - y_A)+x_C(y_A - y_B)\right|=\frac{1}{2}\left|0×(0-4)+0×(4-2)+2×(2-0)\right|=\frac{1}{2}×4=2$。
（2）设点$A$到$BC$的距离为$h$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}× BC× h$，得$h=\frac{2S}{BC}=\frac{2×2}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

13. 已知 $ x = \frac{1}{2}(\sqrt{7} + \sqrt{5}), y = \frac{1}{2}(\sqrt{7} - \sqrt{5}) $，求：
(1) $ x + y $ 和 $ xy $ 的值；
(2) $ \frac{y}{x} + \frac{x}{y} $ 的值。

(1) $x+y=\sqrt{7}$，$xy=\frac{1}{2}$；(2) $12$

(1) 计算$x+y$：将$x=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})$，$y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})$代入，得$x+y=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{2}×2\sqrt{7}=\sqrt{7}$；计算$xy$：利用平方差公式，$xy=\frac{1}{2}(\sqrt{7}+\sqrt{5})×\frac{1}{2}(\sqrt{7}-\sqrt{5})=\frac{1}{4}×[(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2]=\frac{1}{4}×(7-5)=\frac{1}{2}$。(2) 计算$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，先通分得$\frac{y^2+x^2}{xy}$，由完全平方公式变形得$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$，代入$x+y=\sqrt{7}$，$xy=\frac{1}{2}$，则$x^2+y^2=(\sqrt{7})^2 -2×\frac{1}{2}=7-1=6$，因此$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=\frac{6}{\frac{1}{2}}=12$。

14. 若一个三角形的三边长分别为 $a,b,c$，设 $p=\dfrac{1}{2}(a+b+c)$，则这个三角形的面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$（海伦-秦九韶公式）. 当 $a=4,b=5,c=6$ 时，求 $S$ 的值.

$\frac{15\sqrt{7}}{4}$

根据海伦-秦九韶公式计算：
1. 先计算半周长$ p $：
$ p=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}(4+5+6)=\frac{15}{2} $
2. 计算$ p-a $、$ p-b $、$ p-c $：
$ p-a=\frac{15}{2}-4=\frac{7}{2} $，$ p-b=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2} $，$ p-c=\frac{15}{2}-6=\frac{3}{2} $
3. 代入面积公式计算$ S $：
$ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{\frac{15}{2}×\frac{7}{2}×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{225×7}{16}}=\frac{15\sqrt{7}}{4} $

15. 如图,张大伯家有一块长方形空地ABCD,长方形空地的长BC为$\sqrt{72}$ m,宽AB为$\sqrt{32}$ m,现要在空地中划出一块长方形地养鸡(图中阴影部分),其余部分种植蔬菜,长方形养鸡场的长为$(\sqrt{10}+1)$m,宽为$(\sqrt{10}-1)$m.
(1) 长方形ABCD的周长是多少?(结果化为最简二次根式)
(2) 已知市场上某种蔬菜8元/kg,张大伯种植该种蔬菜,且每平方米可以产15 kg的该种蔬菜.如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完,那么销售收入为多少元?

（1）$20\sqrt{2}\ \mathrm{m}$；（2）4680元

（1）根据长方形周长公式，周长=2×(长+宽)。先化简二次根式：$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，代入得周长$=2×(6\sqrt{2}+4\sqrt{2})=2×10\sqrt{2}=20\sqrt{2}$（m）。（2）先计算长方形ABCD的面积：$S_{ABCD}=BC×AB=\sqrt{72}×\sqrt{32}=\sqrt{72×32}=\sqrt{2304}=48$（m²）；再利用平方差公式计算养鸡场面积：$S_{养鸡}=(\sqrt{10}+1)(\sqrt{10}-1)=10-1=9$（m²）；则蔬菜种植面积为$48-9=39$（m²）；总蔬菜产量为$39×15=585$（kg）；销售收入为$585×8=4680$（元）。