1. 下列二次根式中,属于最简二次根式的是
()

A.$\sqrt{6}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
D.$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

A

最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。A选项√6，被开方数6不含分母，且6没有能开得尽方的因数，是最简二次根式；B选项√4=2，被开方数4能开得尽方，不是；C选项√(1/6)，被开方数含分母，不是；D选项1/√2，分母含二次根式，不是最简二次根式。

2. 若$a=\sqrt{2} × (\sqrt{7}-\sqrt{2})$，则表示实数$a$的点会落在如图所示数轴的（）


A.段①上
B.段②上
C.段③上
D.段④上

B

先化简$a=\sqrt{2}×(\sqrt{7}-\sqrt{2})=\sqrt{14}-2$。估算$\sqrt{14}$的范围：因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{14}＜4$，两边减2得$1＜\sqrt{14}-2＜2$，即$1＜a＜2$，对应数轴上段②。

3. 下列运算正确的是 （）

A.$\sqrt{5} - \sqrt{3} = \sqrt{2}$
B.$\sqrt{4\dfrac{1}{9}} = 2\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}$
D.$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 2 - \sqrt{5}$

C

A选项，√5与√3不是同类二次根式，不能合并，错误；B选项，√4$\frac{1}{9}$=√$\frac{37}{9}$=$\frac{\sqrt{37}}{3}$≠2$\frac{1}{3}$，错误；C选项，$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}$=2+√3，正确；D选项，√(2-√5)²=|2-√5|=√5-2≠2-√5，错误。

4. 化简$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$的结果是________.

$\sqrt{3}+1$

根据二次根式的除法法则，将分子拆分后分别除以分母：$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$，化简得$\sqrt{3}+1$。

5. 比较大小：$-3\sqrt{2}$ ______ $-2\sqrt{3}$（填“＞”“＜”或“=”）。

＜

要比较两个负数的大小，先比较它们绝对值的大小，绝对值大的负数反而小。计算绝对值的平方：$| -3\sqrt{2} |^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9×2 = 18$，$| -2\sqrt{3} |^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4×3 = 12$。因为18＞12，所以$3\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$，根据“两个负数比较，绝对值大的反而小”，可得$-3\sqrt{2} ＜ -2\sqrt{3}$。

6. 已知$ x = \sqrt{5} - 1 $，则$ x^2 + 2x + 9 = \_\_\_\_\_\_ $。

13

已知$ x = \sqrt{5} - 1 $，移项得$ x + 1 = \sqrt{5} $，两边平方得$(x + 1)^2 = (\sqrt{5})^2$，展开得$x^2 + 2x + 1 = 5$，因此$x^2 + 2x = 4$，将其代入$x^2 + 2x + 9$，计算得$4 + 9 = 13$。

7. 计算：
(1) $\sqrt{18} + \sqrt{50} - 2\sqrt{32} + (-2)^{-2}$；
(2) $(6\sqrt{\dfrac{x}{4}} - 2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}) ÷ 3\sqrt{x}$。

(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{3}$

(1) 先化简各二次根式，再合并同类二次根式，同时计算负整数指数幂：
$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$2\sqrt{32}=2×4\sqrt{2}=8\sqrt{2}$，$(-2)^{-2}=\frac{1}{(-2)^2}=\frac{1}{4}$；
原式$=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-8\sqrt{2}+\frac{1}{4}=(3+5-8)\sqrt{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。
(2) 先化简括号内的二次根式，合并同类二次根式后，再进行二次根式的除法运算：
$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$，$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{1}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}$；
括号内为$3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=\sqrt{x}$；
原式$=\sqrt{x}÷3\sqrt{x}=\frac{1}{3}$。

8. 陈老师在黑板上写了一个式子：$(\sqrt{3}+1)□(1-\sqrt{3})$，$□$里的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“$□$”里的运算符号可能是（）

A.$+$或$×$
B.$×$或$÷$
C.$+$或$-$
D.$-$或$÷$

A

分别计算各运算结果：①加法：(√3+1)+(1-√3)=2，是有理数；②减法：(√3+1)-(1-√3)=2√3，是无理数；③乘法：(√3+1)(1-√3)=1-(√3)²=-2，是有理数；④除法：(√3+1)÷(1-√3)= -2 -√3，是无理数。因此符合要求的运算符号是+或×。

9. 把 $ a\sqrt{-\dfrac{1}{a}} $ 根号外的因式移到根号内得（）

A.$ \sqrt{a} $
B.$ -\sqrt{a} $
C.$ -\sqrt{-a} $
D.$ \sqrt{-a} $

C

要使二次根式$\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$有意义，则$-\dfrac{1}{a}≥0$且$a≠0$，解得$a＜0$。将根号外的$a$变形为$-\sqrt{a^2}$（因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=-a$），代入原式得：$a\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-\sqrt{a^2}·\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-\sqrt{a^2·(-\dfrac{1}{a})}=-\sqrt{-a}$。

10. 若$ a = \sqrt{3} - 1, b = \sqrt{3} + 1 $，则$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \_\_\_\_\_\_$.

4

先化简所求式子，再代入计算：
1. 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，得：$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}$；
2. 计算$a+b$：$a+b=(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{3}+1)=2\sqrt{3}$；
3. 计算$ab$：利用平方差公式，$ab=(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^2 -1^2=3-1=2$；
4. 代入求值：$\frac{(2\sqrt{3})^2 -2×2}{2}=\frac{12 -4}{2}=4$。

11. 若$\sqrt{3}$的整数部分是$a$，小数部分是$b$，则
$\sqrt{3}a - b = \_\_\_\_\_\_.$

1

因为1＜√3＜2，所以√3的整数部分a=1，小数部分b=√3 -1。将a=1，b=√3 -1代入√3 a - b，得：√3×1 - (√3 -1)=√3 -√3 +1=1。

12. 我们在学习二次根式时会发现:有时两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式.例如:$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a,(\sqrt{b}+1)(\sqrt{b}-1)=b-1(b ≥ 0)$.两个含有二次根式的非零代数式相乘时,如果它们的积不含二次根式,那么这两个代数式互为有理化因式.
请运用有理化因式的知识,解决下列问题:
(1) 化简:$\frac{1}{\sqrt{11}-3}=$;
(2) 已知$\sqrt{8-x}-\sqrt{2-x}=2$,求$\sqrt{8-x}+\sqrt{2-x}$的值;
(3) 计算:$\frac{1}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}$.

(1)$\frac{\sqrt{11}+3}{2}$；(2)$3$；(3)$\frac{\sqrt{101}-1}{2}$

(1) 利用有理化因式，给分子分母同乘$\sqrt{11}+3$，得：
$\frac{1}{\sqrt{11}-3}=\frac{\sqrt{11}+3}{(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}+3)}=\frac{\sqrt{11}+3}{11-9}=\frac{\sqrt{11}+3}{2}$；
(2) 设$A=\sqrt{8-x}$，$B=\sqrt{2-x}$，则$A-B=2$，且$A^2 - B^2=(8-x)-(2-x)=6$。
根据平方差公式：$A^2 - B^2=(A-B)(A+B)$，代入得：$6=2(A+B)$，解得$A+B=3$，即$\sqrt{8-x}+\sqrt{2-x}=3$；
(3) 对每个分式有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$，
……
$\frac{1}{\sqrt{101}+\sqrt{99}}=\frac{\sqrt{101}-\sqrt{99}}{2}$；
将所有项相加，中间项抵消：
原式$=\frac{1}{2}[(\sqrt{3}-1)+(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{101}-\sqrt{99})]=\frac{1}{2}(\sqrt{101}-1)$；