9. 解关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2m + x}{x - 3} - 1 = \frac{2}{x}$ 时会产生增根,则增根可能为 （）

A.0或3
B.3
C.0
D.以上都不对

B

分式方程的增根是使分母为0的根，原方程分母为$x-3$和$x$，故可能的增根为$x=0$或$x=3$。去分母，两边同乘$x(x-3)$得：$x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3)$，化简得$x(2m+1)=-6$，解得$x=\frac{-6}{2m+1}$。若$x=0$，代入得$0=-6$，不成立；若$x=3$，代入得$3=\frac{-6}{2m+1}$，解得$m=-\frac{3}{2}$，存在这样的$m$，故增根只能为3。

10. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{1-x}{x+2} = \frac{m}{x+2}$ 的解是负数，则 $ m $ 的取值范围为 ______。

$m ＞ 1$且$m≠3$

分式方程$\frac{1-x}{x+2}=\frac{m}{x+2}$的分母为$x+2$，需满足$x+2≠0$即$x≠-2$。去分母得：$1 - x = m$，解得$x = 1 - m$。因为方程的解是负数，所以$x ＜ 0$，即$1 - m ＜ 0$，解得$m ＞ 1$。又因为分母不能为0，所以$x≠-2$，即$1 - m ≠ -2$，解得$m≠3$。综上，$m$的取值范围是$m ＞ 1$且$m≠3$。

11. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2}{x-2} + \frac{x+m}{2-x} = 2$。
（1）若分式方程有增根，求 $ m $ 的值；
（2）若分式方程的解是正数，求 $ m $ 的取值范围。

（1）$m=0$；（2）$m＜6$且$m≠0$

先将分式方程去分母化为整式方程：原方程$\frac{2}{x-2}+\frac{x+m}{2-x}=2$，变形为$\frac{2}{x-2}-\frac{x+m}{x-2}=2$，两边同乘最简公分母$(x-2)$得：$2-(x+m)=2(x-2)$，整理得$2 -x -m=2x -4$，移项合并同类项得$-3x=m-6$，解得$x=\frac{6 - m}{3}$。
（1）分式方程的增根使最简公分母为0，即$x-2=0$，得增根$x=2$，将$x=2$代入$x=\frac{6 - m}{3}$，得$\frac{6 - m}{3}=2$，解得$m=0$；
（2）分式方程的解为正数，需满足$x＞0$且$x≠2$（避免增根），即$\frac{6 - m}{3}＞0$且$\frac{6 - m}{3}≠2$，解$\frac{6 - m}{3}＞0$得$m＜6$，解$\frac{6 - m}{3}≠2$得$m≠0$，故$m$的取值范围是$m＜6$且$m≠0$。

12. 为了“每天锻炼 1 h,健康生活一辈子”，王老师上下班的交通方式由驾车改为骑自行车.王老师家距学校的路程是 9 km，在相同的路线上，驾车的平均速度是骑自行车平均速度的 3 倍，这样，王老师每天上班要比开车早出发$\frac{1}{2}$ h，才能按原驾车时间到达学校.
（1）求王老师骑自行车的平均速度.
（2）王老师是否达到了每天锻炼 1 h 的标准，若达到，请说明理由；若没达到，请问：王老师每天至少还需要锻炼多少小时？

（1）12 km/h；（2）未达到，还需要锻炼0.25 h

（1）设王老师骑自行车的平均速度为$x$ km/h，则驾车的平均速度为$3x$ km/h。根据题意，骑自行车所用时间比驾车多$\frac{1}{2}$ h，可列方程：$\frac{9}{x} - \frac{9}{3x} = \frac{1}{2}$，化简得$\frac{6}{x} = \frac{1}{2}$，解得$x=12$。经检验，$x=12$是原方程的解且符合实际意义。（2）王老师骑自行车上班的时间为$\frac{9}{12}=0.75$ h，因为$0.75 ＜ 1$，所以未达到每天锻炼1h的标准，还需要锻炼的时间为$1 - 0.75 = 0.25$ h。

13. 阅读材料,解答问题.
解方程:$\frac{x-1}{x} - \frac{4x}{x-1} = 0$.
解:设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为$y - \frac{4}{y} = 0$.
方程两边同时乘$y$,得$y^2 - 4 = 0$,
解得$y_1=2, y_2=-2$.
经检验,$y_1=2, y_2=-2$都是方程$y - \frac{4}{y} = 0$的解.
当$y=2$时,$\frac{x-1}{x}=2$,解得$x=-1$;
当$y=-2$时,$\frac{x-1}{x}=-2$,解得$x=\frac{1}{3}$.
经检验,$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$都是原分式方程的解.
所以原分式方程的解为$x=-1$或$x=\frac{1}{3}$.
上述这种解分式方程的方法称为“换元法”.
(1) 若在方程$\frac{x-1}{4x} - \frac{x}{x-1} = 0$中,设$y=\frac{x-1}{x}$,则原方程可化为________;
(2) 模仿上述“换元法”解方程:$\frac{x-1}{x+2} - \frac{3}{x-1} - 1 = 0$.

(1)$ \frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0 $；(2)$ x=-\frac{1}{2} $

(1) 设$ y=\frac{x-1}{x} $，则$ \frac{x-1}{4x}=\frac{y}{4} $，$ \frac{x}{x-1}=\frac{1}{y} $，代入原方程可得$ \frac{y}{4}-\frac{1}{y}=0 $；
(2) 解方程$ \frac{x-1}{x+2}-\frac{3}{x-1}-1=0 $，
移项得$ \frac{x-1}{x+2}-1=\frac{3}{x-1} $，
左边通分计算：$ \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2}=\frac{-3}{x+2} $，
方程化为$ \frac{-3}{x+2}=\frac{3}{x-1} $，
两边同除以3得$ \frac{-1}{x+2}=\frac{1}{x-1} $，
交叉相乘得$ -(x-1)=x+2 $，
展开整理得$ -2x=1 $，解得$ x=-\frac{1}{2} $，
经检验，$ x=-\frac{1}{2} $时，$ (x+2)(x-1)≠0 $，是原方程的解。