1. 下列方程中,是分式方程的是 （）

A.$\frac{1}{3}+\frac{x}{2}=1$
B.$x+\frac{1}{x}=2$
C.$3x=x-5$
D.$2x-y=1$

B

根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。选项A、C的分母是常数，选项D是整式方程，选项B的分母含有未知数x，属于分式方程。

2. 解分式方程$\frac{2}{x-3}-\frac{x-1}{3-x}=2$时，去分母后变形为 （）

A.$2-(x-1)=2(x-3)$
B.$2+(x-1)=2(x-3)$
C.$2-(x-1)=2$
D.$2+(x-1)=2(3-x)$

B

原方程为$\frac{2}{x-3}-\frac{x-1}{3-x}=2$，将分母$3-x$变形为$-(x-3)$，方程化为$\frac{2}{x-3}+\frac{x-1}{x-3}=2$。两边同乘最简公分母$(x-3)$去分母，得$2+(x-1)=2(x-3)$，对应选项B。

3. 若$x=3$是关于$x$的方程$\dfrac{kx}{x-1}-\dfrac{2k-1}{x}=2$的解，则$k$的值为（）

A.$1$
B.$2$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$3$

B

将$x=3$代入方程$\dfrac{kx}{x-1}-\dfrac{2k-1}{x}=2$，得$\dfrac{3k}{3-1}-\dfrac{2k-1}{3}=2$；化简得$\dfrac{3k}{2}-\dfrac{2k-1}{3}=2$；两边同乘6去分母：$9k - 2(2k -1)=12$；展开计算：$9k -4k +2=12$，即$5k=10$，解得$k=2$。

4. 若关于 $ x $ 的分式方程 $\frac{2x+3}{1-x} - \frac{a-3}{x-1} = 1$ 的解满足不等式 $\frac{x-1}{2} + 2 ＞ \frac{1+x}{3}$，则 $ a $ 的取值范围是 ______。

$a＜20$且$a≠-4$

1. 先解分式方程：
原方程$\frac{2x+3}{1-x} - \frac{a-3}{x-1}=1$，将分母统一为$x-1$，变形为：
$-\frac{2x+3}{x-1} - \frac{a-3}{x-1}=1$，
合并分子得：$\frac{-(2x+3)-(a-3)}{x-1}=1$，
化简分子：$-2x-3 -a +3=-2x -a$，
方程变为：$\frac{-2x -a}{x-1}=1$，
两边同乘$x-1$（$x≠1$）得：$-2x -a=x -1$，
移项合并同类项：$-3x=a+1$，解得$x=-\frac{a+1}{3}$。
注意：分式方程分母不为0，故$x≠1$，即$-\frac{a+1}{3}≠1$，得$a≠-4$。
2. 解不等式$\frac{x-1}{2}+2＞\frac{1+x}{3}$：
两边同乘6消分母：$3(x-1)+12＞2(1+x)$，
展开：$3x-3+12＞2+2x$，
化简得：$x＞-7$。
3. 结合条件：分式方程的解满足$x＞-7$，即$-\frac{a+1}{3}＞-7$，
两边同乘$-3$（不等号变向）：$a+1＜21$，得$a＜20$，
再结合$a≠-4$，故$a$的取值范围是$a＜20$且$a≠-4$。

5. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为“$a * b = \dfrac{6}{a} - \dfrac{5}{b}$”，根据这个规则方程$(x - 1) * x = 0$的解为________.

$x = -5$

根据新运算规则，将方程$(x - 1) * x = 0$转化为分式方程：
$\frac{6}{x - 1} - \frac{5}{x} = 0$
去分母（两边同乘$x(x - 1)$，$x≠0$且$x≠1$）得：
$6x - 5(x - 1) = 0$
展开并整理：
$6x - 5x + 5 = 0$
$x + 5 = 0$
解得$x = -5$
检验：当$x = -5$时，$x(x - 1) = (-5)×(-6) = 30≠0$，符合分式方程的解的要求。

6. 某运输公司需要装运一批货物,由于机械设备没有及时到位,只好先用人工装运,12 h完成了一半任务;后来机械装运和人工装运同时进行,2 h完成了剩下的一半任务.如果设单独采用机械装运 $ x $ h 可以完成剩下的一半任务,那么所列方程是$\underline{\qquad\qquad}$.

$2( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} ) = 1$（或等价形式$2( \frac{1}{24} + \frac{1}{2x} ) = \frac{1}{2}$）

首先，计算人工装运的工作效率：人工12h完成总任务的一半，即$\frac{1}{2}$，因此人工每小时完成总任务的$\frac{1}{2} ÷ 12 = \frac{1}{24}$；其次，设单独采用机械装运$x$ h可以完成总任务的一半，因此机械每小时完成总任务的$\frac{1}{2} ÷ x = \frac{1}{2x}$；最后，人工和机械同时装运2h完成了总任务的一半，根据“工作量=工作效率×工作时间”，可列方程：$2( \frac{1}{24} + \frac{1}{2x} ) = \frac{1}{2}$，化简后也可写为$2( \frac{1}{12} + \frac{1}{x} ) = 1$。

7. 解下列分式方程：
(1) $\dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{1}{2x + 1}$；
(2) $\dfrac{4}{x - 2} - \dfrac{2x}{2 - x} = 1$。

(1) $x=-\frac{2}{3}$；
(2) $x=-6$。

(1) 解分式方程$\frac{5}{x - 1} = \frac{1}{2x + 1}$，
去分母（两边同乘最简公分母$(x-1)(2x+1)$）得：$5(2x + 1) = x - 1$，
展开得：$10x + 5 = x - 1$，
移项合并同类项得：$9x = -6$，
系数化为1得：$x = -\frac{2}{3}$，
检验：当$x=-\frac{2}{3}$时，$(x-1)(2x+1)=(-\frac{5}{3})×(-\frac{1}{3})≠0$，故$x=-\frac{2}{3}$是原方程的解。
(2) 解分式方程$\frac{4}{x - 2} - \frac{2x}{2 - x} = 1$，
先变形分母：$\frac{2x}{2 - x}=-\frac{2x}{x - 2}$，原方程化为$\frac{4}{x - 2} + \frac{2x}{x - 2} = 1$，
去分母（两边同乘最简公分母$x-2$）得：$4 + 2x = x - 2$，
移项合并同类项得：$x = -6$，
检验：当$x=-6$时，$x-2=-8≠0$，故$x=-6$是原方程的解。

8. 开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品.已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍.
（1）求每支钢笔和每本笔记本的价格.
（2）学校运动会后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给学校运动会中表现突出的同学，总费用不超过200元.请问：至少要买多少支钢笔？

（1）每支钢笔3元，每本笔记本5元；（2）至少要买25支钢笔。

（1）设每支钢笔的价格为$ x $元，则每本笔记本的价格为$ (x+2) $元。根据题意，小芳购买钢笔的数量为$\frac{30}{x}$支，小亮购买笔记本的数量为$\frac{25}{x+2}$本，可列方程：$\frac{30}{x} = 2 × \frac{25}{x+2}$。解方程：两边同乘$ x(x+2) $得$ 30(x+2) = 50x $，展开得$ 30x + 60 = 50x $，移项合并得$ 20x = 60 $，解得$ x=3 $。经检验，$ x=3 $是原分式方程的解，且符合题意。则笔记本价格为$ 3+2=5 $元。（2）设购买钢笔$ a $支，则购买笔记本$ (50-a) $本，总费用不超过200元，可列不等式：$ 3a +5(50-a) ≤ 200 $。化简得$ 3a +250 -5a ≤200 $，移项合并得$ -2a ≤ -50 $，两边同除以$-2$（不等号方向改变）得$ a ≥25 $。因为$ a $为正整数，所以至少要买25支钢笔。