15. 若 $ a + 3b = 0 $，则 $ (1 - \frac{b}{a + 2b}) ÷ \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - 4b^2} = \underline{\hspace{5em}} $.

$\frac{5}{2}$

先化简原式：
1. 计算括号内的部分：
$1 - \frac{b}{a+2b} = \frac{a+2b - b}{a+2b} = \frac{a + b}{a + 2b}$
2. 将除法转化为乘法，并对分子分母因式分解：
$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{(a+b)^2}{(a+2b)(a-2b)}$
因此原式变为：
$\frac{a + b}{a + 2b} ÷ \frac{(a+b)^2}{(a+2b)(a-2b)} = \frac{a + b}{a + 2b} × \frac{(a+2b)(a-2b)}{(a+b)^2} = \frac{a - 2b}{a + b}$
3. 代入条件$a + 3b = 0$，得$a = -3b$，代入化简后的式子：
$\frac{-3b - 2b}{-3b + b} = \frac{-5b}{-2b} = \frac{5}{2}$

16. 已知$A=\dfrac{a+1}{a+2}, B=\dfrac{a+3}{a+4}$.
（1）若$A=1-\dfrac{m}{a+2}$,求$m$的值；
（2）当$a$取哪些整数时，分式$B$的值为整数；
（3）若$a＞0$,比较$A$与$B$的大小关系.

（1）$m=1$；（2）$a=-3$或$a=-5$；（3）$A＜B$

（1）将等式右边通分：$1-\frac{m}{a+2}=\frac{a+2}{a+2}-\frac{m}{a+2}=\frac{a+2 - m}{a+2}$，因为$A=\frac{a+1}{a+2}$，所以分子相等得$a+2 - m = a+1$，解得$m=1$。
（2）对$B$变形：$B=\frac{a+3}{a+4}=\frac{(a+4)-1}{a+4}=1-\frac{1}{a+4}$，要使$B$为整数，则$\frac{1}{a+4}$为整数，故$a+4$是1的约数，即$a+4=1$或$a+4=-1$，解得$a=-3$或$a=-5$，且分母$a+4≠0$，均满足，所以$a=-3$或$-5$。
（3）计算$A-B$：$A-B=\frac{a+1}{a+2}-\frac{a+3}{a+4}=\frac{(a+1)(a+4)-(a+3)(a+2)}{(a+2)(a+4)}$，展开分子得$(a²+5a+4)-(a²+5a+6)=-2$，即$A-B=\frac{-2}{(a+2)(a+4)}$，因为$a＞0$，所以$(a+2)(a+4)＞0$，则$A-B＜0$，故$A＜B$。

17. 如图1，“惠民一号”玉米试验田是半径为$ R \ \mathrm{m} $的圆去掉边缘宽为$ 1 \ \mathrm{m} $的出水沟剩下的部分；如图2，“惠民二号”玉米试验田是半径为$ R \ \mathrm{m} $的圆中间去掉半径为$ 1 \ \mathrm{m} $的蓄水池剩下的部分，两块试验田的玉米都收了$ 450 \ \mathrm{kg} $。
（1）哪种玉米的单位产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

（1）“惠民一号”玉米的单位产量高；
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{R+1}{R-1}$倍。

1. 计算两块试验田的面积：
“惠民一号”试验田面积：$ S_1 = π(R - 1)^2 $
“惠民二号”试验田面积：$ S_2 = π R^2 - π × 1^2 = π(R^2 - 1) $
2. 计算单位产量（总产量均为450kg）：
“惠民一号”单位产量：$ y_1 = \frac{450}{S_1} = \frac{450}{π(R - 1)^2} $
“惠民二号”单位产量：$ y_2 = \frac{450}{S_2} = \frac{450}{π(R^2 - 1)} $
3. 比较单位产量：
因为$ R^2 -1 = (R-1)(R+1) $，所以$ S_2 = π(R-1)(R+1) $，显然$ S_1 = π(R-1)^2 ＜ S_2 $（$ R＞1 $），分母越小分数越大，故$ y_1 ＞ y_2 $，即“惠民一号”单位产量高。
4. 计算倍数：
$ \frac{y_1}{y_2} = \frac{\frac{450}{π(R-1)^2}}{\frac{450}{π(R^2 -1)}} = \frac{R^2 -1}{(R-1)^2} = \frac{R+1}{R-1} $

18. 定义:若非零分式$ M $与分式$ N $的差等于它们的积,即$ M - N = MN $,则称分式$ N $是分式$ M $的“关联分式”.
（1）已知分式$\frac{2}{a^2 - 1}$,试说明$\frac{2}{a^2 + 1}$是$\frac{2}{a^2 - 1}$的“关联分式”.
（2）小聪在求分式$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“关联分式”时,用了以下方法:
设$\frac{1}{x^2 + y^2}$的“关联分式”为$ N $,则
$\frac{1}{x^2 + y^2} - N = \frac{1}{x^2 + y^2} · N$,所以
$(\frac{1}{x^2 + y^2} + 1)N = \frac{1}{x^2 + y^2}$,所以$ N = \frac{1}{x^2 + y^2 + 1} $.
请你仿照小聪的方法求分式$\frac{x + y}{2x - 3y}$的“关联分式”.
（3）观察(1)(2)的结果,寻找规律,直接写出分式$\frac{a}{b - a}$的“关联分式”:
______.

（1）证明成立；（2）$\frac{x+y}{3x-2y}$；（3）$\frac{a}{b}$

（1）设$M=\frac{2}{a^2 -1}$，$N=\frac{2}{a^2 +1}$，计算$M-N$：
$M-N=\frac{2}{a^2 -1}-\frac{2}{a^2 +1}=\frac{2(a^2 +1)-2(a^2 -1)}{(a^2 -1)(a^2 +1)}=\frac{4}{a^4 -1}$；
$MN=\frac{2}{a^2 -1}·\frac{2}{a^2 +1}=\frac{4}{a^4 -1}$，故$M-N=MN$，因此$\frac{2}{a^2 +1}$是$\frac{2}{a^2 -1}$的“关联分式”。
（2）设$\frac{x+y}{2x-3y}$的“关联分式”为$N$，根据定义得：
$\frac{x+y}{2x-3y} - N = \frac{x+y}{2x-3y}· N$，移项得：
$\frac{x+y}{2x-3y} = N(1 + \frac{x+y}{2x-3y})$，
通分计算括号内：$1 + \frac{x+y}{2x-3y}=\frac{3x -2y}{2x-3y}$，
则$N=\frac{x+y}{2x-3y}÷\frac{3x -2y}{2x-3y}=\frac{x+y}{3x -2y}$。
（3）观察（1）（2）规律，分式$M$的关联分式为$\frac{M}{1+M}$，设$M=\frac{a}{b -a}$，则关联分式为：
$\frac{\frac{a}{b -a}}{1+\frac{a}{b -a}}=\frac{a}{b}$。