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1. 某校从1 000名学生中随机抽取200名学生进行百米测试,下列说法正确的是
()
A.该调查方式是普查
B.样本容量是1 000
C.每名学生的百米测试成绩是个体
D.200名学生的百米测试成绩是总体
()
A.该调查方式是普查
B.样本容量是1 000
C.每名学生的百米测试成绩是个体
D.200名学生的百米测试成绩是总体
答案
C
解析
本题考查统计相关概念。A选项，该调查是抽取200名学生，属于抽样调查，不是普查，错误；B选项，样本容量是抽取的样本数量，本题样本容量为200，错误；C选项，个体是总体中的每一个考察对象，本题考察对象是学生的百米测试成绩，故每名学生的百米测试成绩是个体，正确；D选项，总体是考察的全体对象，即1000名学生的百米测试成绩，错误。
2. 如图,有6张扑克牌,从中随机抽取1张,点数为偶数的概率是 ()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
D
解析
总共有6张扑克牌，点数分别为3、4、5、7、8、10，其中点数为偶数的有4、8、10，共3张。根据概率公式，点数为偶数的概率=偶数点数的牌数÷总牌数=3÷6=1/2。
3. 如图,在菱形$ABCD$中,$AB=8$,$E$是$BC$的中点,连接$AE$,将边$AB$沿着$AE$翻折,点$B$与点$C$正好重合,则$AE$的长为
()
A.$2$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
()
A.$2$
B.$4\sqrt{3}$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$
答案
B
解析
在菱形ABCD中，AB=BC=8。将AB沿AE翻折后点B与C重合，故AB=AC=8，因此△ABC是等边三角形。E是BC中点，根据等边三角形三线合一，AE⊥BC，BE=4。在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=√(AB² - BE²)=√(8² -4²)=4√3。
4. 若$\dfrac{4 - ☆}{x - 2}$表示的是一个最简分式，则☆可以是（）
A.$4$
B.$x$
C.$2x$
D.$x^2$
A.$4$
B.$x$
C.$2x$
D.$x^2$
答案
B
解析
要使$\dfrac{4 - ☆}{x - 2}$是最简分式，需分子与分母无公因式。逐一分析选项：
A：☆=4时，分子为0，分式为0，不是最简分式；
B：☆=x时，分子为$4 - x$，分母为$x - 2$，两者无公因式，是最简分式；
C：☆=2x时，分子为$4 - 2x = -2(x - 2)$，与分母有公因式$x - 2$，可约分，不是最简分式；
D：☆=$x^2$时，分子为$4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2)$，与分母有公因式$x - 2$，可约分，不是最简分式。
A：☆=4时，分子为0，分式为0，不是最简分式；
B：☆=x时，分子为$4 - x$，分母为$x - 2$，两者无公因式，是最简分式；
C：☆=2x时，分子为$4 - 2x = -2(x - 2)$，与分母有公因式$x - 2$，可约分，不是最简分式；
D：☆=$x^2$时，分子为$4 - x^2 = -(x - 2)(x + 2)$，与分母有公因式$x - 2$，可约分，不是最简分式。
5. 如图，A，B 两地被池塘阻隔，为测量 A，B两地的距离，在地面上选一点 C，连接CA，CB，分别取 CA，CB 的中点 D，E，测得 $ DE = 36 \, \mathrm{m} $，则 A，B 两地的距离为 ______ m.
答案
72
解析
∵D、E分别是CA、CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，∴AB=2DE。已知DE=36m，∴AB=2×36=72m。
6. 如果$\sqrt{a - 3} + \sqrt{2 - b} = 0$，那么$\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_$.
答案
$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
解析
根据二次根式的非负性，因为$\sqrt{a-3} ≥ 0$，$\sqrt{2-b} ≥ 0$，且$\sqrt{a-3}+\sqrt{2-b}=0$，所以$\sqrt{a-3}=0$，$\sqrt{2-b}=0$，解得$a=3$，$b=2$。将$a=3$，$b=2$代入$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{b}}$，得$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$，化简：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}$，所以原式$=\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
7. 解下列分式方程：
(1) $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = -2$；
(2) $\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1}$.
(1) $\dfrac{3}{x - 2} + \dfrac{x}{2 - x} = -2$；
(2) $\dfrac{x}{x + 1} + \dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{4}{x^2 - 1}$.
答案
(1)$x=1$；(2)$x=-2$
解析
(1) 先将方程变形，$\frac{x}{2-x}=-\frac{x}{x-2}$，原方程化为$\frac{3}{x-2}-\frac{x}{x-2}=-2$，合并得$\frac{3-x}{x-2}=-2$。两边同乘最简公分母$x-2$（$x≠2$），得$3-x=-2(x-2)$，展开计算：$3-x=-2x+4$，移项合并得$x=1$。检验：当$x=1$时，$x-2=-1≠0$，故$x=1$是原方程的解。
(2) 原方程中$x²-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，两边同乘公分母（$x≠±1$），得$x(x-1)+2(x+1)=4$，展开计算：$x² -x +2x +2=4$，整理得$x²+x-2=0$，因式分解为$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$。检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，是增根，舍去；当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)=3≠0$，故$x=-2$是原方程的解。
(2) 原方程中$x²-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，两边同乘公分母（$x≠±1$），得$x(x-1)+2(x+1)=4$，展开计算：$x² -x +2x +2=4$，整理得$x²+x-2=0$，因式分解为$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$。检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，是增根，舍去；当$x=-2$时，$(x+1)(x-1)=3≠0$，故$x=-2$是原方程的解。
