14. 对于任意正整数 $a,b$，因为 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 ≥ 0$，所以 $a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0$，所以 $a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，只有当 $a = b$ 时，等号成立。
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若 $a + b = 9$，则 $\sqrt{ab} ≤ \_\_\_\_\_\_$；
（2）若 $m ＞ 0$，则当 $m$ 为何值时，$m + \frac{1}{m}$ 有最小值？最小值是多少？

（1）$\frac{9}{2}$；（2）当$m=1$时，$m + \frac{1}{m}$有最小值，最小值为2。

（1）根据题目给出的结论$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，已知$a + b = 9$，代入得$9 ≥ 2\sqrt{ab}$，两边同时除以2，可得$\sqrt{ab} ≤ \frac{9}{2}$；（2）对于$m＞0$，令$a=m$，$b=\frac{1}{m}$，根据$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，则$m + \frac{1}{m} ≥ 2\sqrt{m · \frac{1}{m}} = 2$，当等号成立时需满足$a = b$，即$m = \frac{1}{m}$，结合$m＞0$，解得$m=1$，此时取得最小值2。

15. 先阅读材料，再回答问题.
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$.
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{2-2\sqrt{2× 3}+3}$①
$=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}$②
$=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}$③
$=\sqrt{2}-\sqrt{3}$④
（1）在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\_\_\_\_\_\_$；
（3）在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AC=2+\sqrt{3}$，求$AB$的长.（结果要化为最简形式）

（1）④；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
（2）$\sqrt{2}+1$
（3）$\sqrt{6}+\sqrt{2}$

（1）根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，所以$\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，故第④步错误，正确结果为$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
（2）将被开方数配成完全平方：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+2·\sqrt{2}·1+1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2}=\sqrt{2}+1$（因$\sqrt{2}+1＞0$）。
（3）在$Rt△ ABC$中，由勾股定理：$AB^2=BC^2+AC^2=1^2+(2+\sqrt{3})^2=1+4+4\sqrt{3}+3=8+4\sqrt{3}$。
将$8+4\sqrt{3}$变形为$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$（验证：$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2=6+2\sqrt{12}+2=8+4\sqrt{3}$），故$AB=\sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$（边长为正）。