8. 观察下列各式：
$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，…
（1）由此可推导出 $\frac{1}{42}=$ .
（2）猜想出能表示上述特点的一般规律，用含字母$n$的等式表示出来（$n$是正整数）.
（3）请用（2）中的规律计算：

8. （1）$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
（2）$\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
（3）解：原式$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+…+\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100}$
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+100}$
$=\frac{99}{(x+1)(x+100)}$

【分析】
解决这道题我们先从题干给出的例子入手，先找到式子的共同特征：所有给出的等式左侧都是分子为1、分母为两个连续正整数乘积的分数，右侧是这两个连续正整数的倒数的差。
（1）先拆分42，可得42=6×7，是两个连续整数6和7的乘积，直接套用例子的规律就能得到结果；
（2）把例子中的具体数字替换为正整数n，两个连续整数就是n和n+1，即可推导出通用的规律，也可通分验证规律成立；
（3）第三问的每一个分式都符合我们总结的裂项规律，我们把x+m看作一个整体，将每一个分式拆成两个分式的差，相加后中间的项会两两抵消，最后只剩首尾两项，再对首尾两项做分式减法运算就能得到结果。
【解析】
（1）因为$42=6×7$，参照已知规律$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$，可得$\frac{1}{42}=\frac{1}{6×7}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$；
（2）设n为正整数，两个连续正整数为n和n+1，观察已知式子可猜想规律：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，验证：右侧通分计算得$\frac{n+1-n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}$，和左侧相等，规律成立；
（3）根据上述规律拆分原式每一项：
原式$=(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})+(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3})+\dots+(\frac{1}{x+99}-\frac{1}{x+100})$
拆分后中间的$-\frac{1}{x+2}$与$+\frac{1}{x+2}$、$-\frac{1}{x+3}$与$+\frac{1}{x+3}$……$-\frac{1}{x+99}$与$+\frac{1}{x+99}$两两抵消，仅剩首尾两项：
$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+100}$
通分计算得：
$=\frac{(x+100)-(x+1)}{(x+1)(x+100)}=\frac{99}{(x+1)(x+100)}$
【答案】
（1）$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
（2）$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（或$\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
（3）$\frac{99}{(x+1)(x+100)}$
【知识点】
分式裂项规律，分式加减运算，规律归纳探究
【点评】
本题属于规律探究类计算题，从简单的特例总结通用裂项规律，再将规律应用到复杂分式求和中，核心是利用裂项后中间项抵消的技巧简化计算，避免了逐个通分的繁琐，能够很好地考察学生的归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7

1. 已知$abc=1$，求$\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$的值.

1. 原式$=\frac{ac}{(ab+a+1)c}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}$
$=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{b}{b(c+1+ac)}+\frac{c}{ac+c+1}$
$=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}$
$=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1$。

【分析】
本题已知abc=1，要求三个分式的和，解题核心是利用已知条件把异分母分式转化为同分母分式再计算。首先可以利用分式的基本性质，给第一个分式的分子分母同乘c，让分母出现abc，再用1替换abc；再把第二个分式分母中的1替换为abc，对分母提取公因式后约分，就能让前两个分式的分母和第三个分式的分母完全相同，最后合并分子即可求出结果。
【解析】
解：$\begin{split}原式&=\frac{ac}{(ab+a+1)c}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}\\&=\frac{ac}{abc+ac+c}+\frac{b}{b(c+1+ac)}+\frac{c}{ac+c+1}\\& \mathrm{将}abc=1\mathrm{代入，且}b≠0\mathrm{时对第二个分式约分可得：}\\&=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{ac+c+1}+\frac{c}{ac+c+1}\\&=\frac{ac+1+c}{ac+c+1}\\&=1\end{split}$
【答案】
$1$
【知识点】
分式的基本性质，分式加减运算，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型技巧题，解题关键是灵活运用abc=1的条件，通过变形、约分将异分母分式转化为同分母分式计算，熟练掌握分式的相关性质能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6

2. 已知$x$为整数，且代数式$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$的值为整数，求所有符合条件的$x$值的和。

2. 原式$=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+8}{(x+3)(y-3)}=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(y-3)}$
$=\frac{2x+6}{(x+3)(y-3)}=\frac{2(x+3)}{(x+3)(y-3)}=\frac{2}{x-3}$。
$\because \frac{2}{x-3}$为整数，x为整数，
$\therefore x-3=±1或±2$，$\therefore x=2或4或1或5$，
$\therefore$所有符合条件的x值的和为$2+4+1+5=12$。

【分析】
要解决本题，首先需将给定的分式代数式化简为最简形式，再结合“值为整数、x为整数”的条件确定x的可能取值，最后求和。解题思路如下：第一步，先对各分母因式分解，确定最简公分母，通过通分、合并同类项、约分完成分式化简；第二步，根据分式有意义的条件排除使分母为0的x值；第三步，结合整数的性质，分析最简分式的分母是分子的整数约数，列出所有可能的分母取值，求出对应的x；第四步，将符合条件的x相加得到结果。
【解析】
首先化简原式，注意$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$\frac{2}{3-x}=-\frac{2}{x-3}$，且分式有意义时$x+3≠0$，$x-3≠0$，即$x≠\pm3$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{x+3}-\frac{2}{x-3}+\frac{2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x-3)-2(x+3)+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x-6-2x-6+2x+18}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2x+6}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{2}{x-3}\end{aligned}$
因为代数式的值为整数，且x为整数，所以$x-3$是2的整数约数，即$x-3=\pm1$或$x-3=\pm2$：
当$x-3=1$时，$x=4$；当$x-3=-1$时，$x=2$；
当$x-3=2$时，$x=5$；当$x-3=-2$时，$x=1$；
以上x值均满足$x≠\pm3$，符合条件。
则所有符合条件的x值的和为$1+2+4+5=12$。
【答案】
12
【知识点】
1.分式的加减运算 2.分式有意义的条件 3.整除的性质
【点评】
本题核心是先将复杂分式化简为最简形式，再结合整数的性质求解参数取值，解题时需注意不要忽略分式有意义的前提，避免出现增根导致结果错误。
【难度系数】
0.6