3. 实数$m$，$n$满足$mn=1$，记$P=\dfrac{1}{1+m}+\dfrac{1}{1+n}$，$Q=\dfrac{m}{1+m}+\dfrac{n}{1+n}$，则$P$，$Q$的大小关系为（）

A.$P＞Q$
B.$P=Q$
C.$P＜Q$
D.不确定

3. B

【分析】
要比较P和Q的大小，我们可以先根据分式加减的运算法则，分别对P、Q两个分式进行通分化简，再把已知条件mn=1整体代入化简后的式子，计算出P和Q的具体值，就能判断二者的大小关系。
【解析】
先计算P的值：
$\begin{aligned}P&=\frac{1}{1+m}+\frac{1}{1+n}\\&=\frac{1+n}{(1+m)(1+n)}+\frac{1+m}{(1+m)(1+n)}\\&=\frac{(1+n)+(1+m)}{(1+m)(1+n)}\\&=\frac{m+n+2}{1+m+n+mn}\end{aligned}$
将mn=1代入分母，得分母=1+m+n+1=m+n+2，因此$P=\frac{m+n+2}{m+n+2}=1$。
再计算Q的值：
$\begin{aligned}Q&=\frac{m}{1+m}+\frac{n}{1+n}\\&=\frac{m(1+n)}{(1+m)(1+n)}+\frac{n(1+m)}{(1+m)(1+n)}\\&=\frac{m(1+n)+n(1+m)}{(1+m)(1+n)}\\&=\frac{m+mn+n+mn}{1+m+n+mn}\\&=\frac{m+n+2mn}{1+m+n+mn}\end{aligned}$
将mn=1代入，分子=m+n+2×1=m+n+2，分母=1+m+n+1=m+n+2，因此$Q=\frac{m+n+2}{m+n+2}=1$。
综上可得P=Q。
【答案】
B
【知识点】
分式加减运算，代数式化简，整体代入求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式通分、加减的运算法则，结合已知条件整体代入计算即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

4. 计算$\frac{x}{x-3} - \frac{x}{x-2}$的结果是。

4. $\frac{x}{x^2-5x+6}$

【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：首先判断两个分式的分母是$x-3$和$x-2$，二者没有公因式，因此最简公分母为两个分母的乘积$(x-3)(x-2)$；接着利用分式的基本性质对两个分式通分，转化为同分母分式；最后按照同分母分式减法规则，分母不变、分子相减，化简分子、展开分母即可得到结果，计算时要注意去括号的符号问题，避免出错。
【解析】
解：$\frac{x}{x-3} - \frac{x}{x-2}$
$=\frac{x(x-2)}{(x-3)(x-2)} - \frac{x(x-3)}{(x-3)(x-2)}$
$=\frac{x(x-2) - x(x-3)}{(x-3)(x-2)}$
$=\frac{x^2 - 2x - x^2 + 3x}{x^2 - 5x + 6}$
$=\frac{x}{x^2 -5x +6}$
【答案】
$\frac{x}{x^2-5x+6}$
【知识点】
异分母分式加减、分式通分、整式化简
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算步骤，解题的关键是准确找到最简公分母，分子运算时要注意去括号的符号规则，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.75

5. 已知$a+b=5$，$ab=3$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=$ .

5. $\frac{5}{3}$

【分析】
观察所求的代数式是两个分式的和，若单独求解a、b的值再代入计算会比较繁琐。因此优先考虑用分式加减的通分法则对所求代数式进行化简，化简后可发现结果由a+b和ab组成，题目恰好给出了这两个式子的数值，直接整体代入即可算出结果，简化计算过程。
【解析】
解：先对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分运算：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
把已知条件$a+b=5$，$ab=3$代入上式，可得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
分式的加减运算，整体代入求值
【点评】
本题属于分式运算的基础常规题，解题核心是先化简所求代数式，再结合已知条件用整体代入的方法计算，不需要单独求出a、b的具体值，主要考查分式基础运算能力和整体思想的应用。
【难度系数】
0.8

6. 计算: (1) 化简: $\dfrac{2a}{a^2 -16} - \dfrac{1}{a -4}$.
(2) 先化简 $(x+3 - \dfrac{7}{x-3}) ÷ \dfrac{2x^2 -8x}{x-3}$，再从 $0≤ x≤4$ 中选一个适合的整数代入求值.

6. （1）原式$=\frac{2a}{(a+4)(a-4)}-\frac{(a+4)}{(a+4)(a-4)}$
$=\frac{2a-a-4}{(a+4)(a-4)}=\frac{(a-4)}{(a+4)(a-4)}=\frac{1}{a+4}$
（2）原式$=[\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)}-\frac{7}{x-3}]×\frac{x-3}{2x^2-8x}$
$=\frac{(x+4)(x-4)}{(x-3)}×\frac{x-3}{2x(x+4)}$
$=\frac{x+4}{2x}$
因为$\begin{cases}x-3≠0,\\2x^2-8x≠0,\\2x≠0,\end{cases}$所以x不能取0，3，4，考虑到0≤x≤4中选一个整数，故x只能取1或2，
①当x=1时，原式$=\frac{1+4}{2×1}=\frac{5}{2}$，
②当x=2时，原式$=\frac{2+4}{2×2}=\frac{3}{2}$。
（注意：①与②只写一种即可）

【分析】
（1）本题考查分式的减法运算，解题思路：首先利用平方差公式对第一个分式的分母因式分解，确定最简公分母；再将两个分式通分为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算，最后对结果约分得到最简式。
（2）本题考查分式的混合运算及化简求值，解题思路：先计算括号内的减法，将整式$x+3$通分转化为同分母分式相减，对分子化简后因式分解；再将除法运算转化为乘法运算，对各分式的分子、分母因式分解后约分得到最简式；最后根据分式有意义的条件（所有分母不为0）排除不符合要求的$x$值，从$0≤x≤4$的整数中选合适的数代入计算即可。
【解析】
（1）利用平方差公式分解分母得$a^2-16=(a+4)(a-4)$，通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2a}{(a+4)(a-4)}-\frac{a+4}{(a+4)(a-4)}\\&=\frac{2a-(a+4)}{(a+4)(a-4)}\\&=\frac{a-4}{(a+4)(a-4)}\\&=\frac{1}{a+4}\end{aligned}$
（2）先计算括号内运算，再将除法转为乘法计算：
$\begin{aligned}原式&=[\frac{(x+3)(x-3)}{x-3}-\frac{7}{x-3}] × \frac{x-3}{2x^2-8x}\\&=\frac{x^2-9-7}{x-3} × \frac{x-3}{2x(x-4)}\\&=\frac{x^2-16}{x-3} × \frac{x-3}{2x(x-4)}\\&=\frac{(x+4)(x-4)}{x-3} × \frac{x-3}{2x(x-4)}\\&=\frac{x+4}{2x}\end{aligned}$
若分式有意义，则满足$\begin{cases}x-3≠0\\2x^2-8x≠0\\2x≠0\end{cases}$，解得$x≠0,3,4$。
已知$0≤x≤4$且$x$为整数，故$x$可取1或2。
选$x=1$代入得：原式$=\frac{1+4}{2×1}=\frac{5}{2}$；选$x=2$代入得：原式$=\frac{2+4}{2×2}=\frac{3}{2}$（任选一种即可）。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{a+4}}$
（2）化简结果为$\boxed{\dfrac{x+4}{2x}}$，当$x=1$时，值为$\boxed{\dfrac{5}{2}}$（或当$x=2$时，值为$\boxed{\dfrac{3}{2}}$）
【知识点】
分式的加减运算；分式的混合运算；分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规题型，重点考查通分、约分的运算技巧，以及分式化简求值的注意事项，解题时要切记代入求值前先排除使分母为0的取值，避免出现无意义的错误。
【难度系数】
0.6

7. 已知$\frac{2y+1}{(y-1)(y+2)}=\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+2}$，求A，B的值.

7. 解：$\because \frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+2}=\frac{A(y+2)+B(y-1)}{(y+1)(y+2)}=\frac{(A+B)y+2A-B}{(y-1)(y+2)}$，
$\therefore A+B=2$，$2A-B=1$，解得$A=1$，$B=1$，$\therefore$答案为$A=1$，$B=1$。

【分析】
要解这道题，首先对等式右侧的两个分式通分相加，由于等式左右两边的分式相等且分母完全相同，因此分子必然相等。再根据两个多项式相等时，同类项的系数对应相等的性质，就能列出关于A、B的二元一次方程组，解方程组即可得到A、B的取值。
【解析】
解：先对等式右边的分式通分计算：
$\frac{A}{y-1}+\frac{B}{y+2}=\frac{A(y+2)+B(y-1)}{(y-1)(y+2)}$
展开分子并合并同类项：
$\frac{A(y+2)+B(y-1)}{(y-1)(y+2)}=\frac{(A+B)y + (2A - B)}{(y-1)(y+2)}$
已知$\frac{2y+1}{(y-1)(y+2)}=\frac{(A+B)y + (2A - B)}{(y-1)(y+2)}$，两个分式分母相同且相等，因此分子相等：
$2y + 1 = (A+B)y + (2A - B)$
根据多项式相等时同类项系数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}A + B = 2 \\2A - B = 1 \end{cases}$
将两个方程相加得$3A=3$，解得$A=1$；把$A=1$代入$A+B=2$，得$1+B=2$，解得$B=1$。
【答案】
$A=1$，$B=1$
【知识点】
分式通分运算，多项式相等性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是分式加减运算的典型应用题型，解题核心是利用相等分式分母相同时分子相等的特点，结合多项式系数对应关系转化为方程组求解，可同时考查分式计算能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7