问题情境
【生活情境】为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.
【问题提出】一、二等奖奖品的单价分别为多少元？
【问题分析】由条件可设一等奖奖品的单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，接着根据“数量＝总价÷单价”，即可列出关于x的分式方程，解之即可求出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论.

设一等奖奖品的单价为4x元，二等奖奖品单价为3x元．由题意得：
$\frac{600}{4x}+\frac{1275-600}{3x}=25$，解得$x=15$，经检验$x=15$是原方程的解，且符合题意，所以$4x=60$，$3x=45$．即一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．

【分析】
首先根据一、二等奖奖品的单价比为4:3，采用比例设元的方法，设一等奖单价为4x元，二等奖单价为3x元，可简化计算。接下来梳理核心等量关系：总奖品数量25件等于一等奖购买数量加二等奖购买数量。其中购买一等奖的总价为600元，购买二等奖的总价为总经费1275元减去购买一等奖的600元，再根据“数量=总价÷单价”分别表示出一、二等奖的购买数量，相加等于总数量即可列出分式方程。解出x后需检验是否满足分母不为0的要求，同时符合实际题意，最后代入求出两种奖品的单价即可。
【解析】
设一等奖奖品的单价为4x元，二等奖奖品单价为3x元。
由题意得，一等奖购买数量为$\frac{600}{4x}$件，二等奖购买数量为$\frac{1275-600}{3x}$件，总数量为25件，列方程：
$\frac{600}{4x}+\frac{1275-600}{3x}=25$
整理得：$\frac{150}{x}+\frac{225}{x}=25$
合并得：$\frac{375}{x}=25$
解得：$x=15$
检验：当$x=15$时，$4x=60≠0$，$3x=45≠0$，所以$x=15$是原方程的解，且符合实际意义。
则一等奖单价：$4x=4×15=60$（元）
二等奖单价：$3x=3×15=45$（元）
【答案】
一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元。
【知识点】
分式方程的应用、比例设元法、分式方程的检验
【点评】
本题结合生活中的奖品采购情境，考查分式方程的实际应用，解题核心是找准“总奖品数量=一等奖数量+二等奖数量”的等量关系，同时要注意分式方程求解后必须检验，确保解既满足方程要求，又符合实际意义。
【难度系数】
0.7

1. 关于x的分式方程$\frac{2}{x}-\frac{5}{x-3}=0$的解为（）

A.$-3$
B.$-2$
C.$2$
D.$3$

1. B

【分析】
求解分式方程的核心思路是先把分式方程转化为我们熟悉的整式方程再求解。首先要找到方程所有分母的最简公分母，给方程两边同时乘最简公分母消去分母，解出整式方程的根后，必须代入原方程的分母（或最简公分母）检验，若分母为0则该根是增根，需要舍去。本题中两个分母分别是x和x-3，因此最简公分母为x(x-3)，按照这个思路逐步计算即可。
【解析】
解：首先明确分母不为0的前提：x≠0，且x-3≠0即x≠3。
给方程$\frac{2}{x}-\frac{5}{x-3}=0$两边同时乘最简公分母$x(x-3)$，去分母得：
$2(x-3) - 5x = 0$
展开括号：$2x - 6 - 5x = 0$
合并同类项：$-3x - 6 = 0$
移项得：$-3x = 6$
系数化为1得：$x = -2$
检验：将$x=-2$代入最简公分母$x(x-3)$，得$(-2)×(-2-3)=10≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
【答案】
B
【知识点】
分式方程解法，一元一次方程解法，分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程的基础考查题，重点考察分式方程转化为整式方程的求解逻辑，易错点是去分母时漏乘常数项、忘记检验增根，掌握基本解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.8