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2. 若关于x的分式方程$\frac{1}{x+k}=\frac{5}{x-1}$的根为正数，则k的取值范围是（
A.$k＜-\frac{1}{5}$且$k≠-1$
B.$k≠-1$
C.$-\frac{1}{5}＜k＜1$
D.$k＜-\frac{1}{5}$
A
）A.$k＜-\frac{1}{5}$且$k≠-1$
B.$k≠-1$
C.$-\frac{1}{5}＜k＜1$
D.$k＜-\frac{1}{5}$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这道题，需按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的式子表示出方程的根x；②根据“根为正数”的条件列不等式，求解得到k的初步范围；③结合分式方程分母不能为0的要求，排除增根对应的k值，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
首先，分式方程有意义的前提是分母不为0，即$x+k≠0$，$x-1≠0$，也就是$x≠-k$，$x≠1$。
给方程$\frac{1}{x+k}=\frac{5}{x-1}$两边同时乘$(x+k)(x-1)$去分母，得：
$x-1=5(x+k)$
展开并移项整理：
$x-1=5x+5k$
$x-5x=5k+1$
$-4x=5k+1$
解得$x=-\frac{5k+1}{4}$
已知方程的根为正数，因此$x＞0$，即：
$-\frac{5k+1}{4}＞0$
两边同乘4得：$-(5k+1)＞0$，解得$k＜-\frac{1}{5}$
再结合分母不为0的条件：
当$x=1$时，$-\frac{5k+1}{4}=1$，解得$k=-1$，因此$k≠-1$；
当$x=-k$时，$-\frac{5k+1}{4}=-k$，解得$k=-1$，与上述结论一致。
综上，k的取值范围是$k＜-\frac{1}{5}$且$k≠-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程求解
2.一元一次不等式求解
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数范围求解的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，导致漏加$k≠-1$的限制条件，解题时需同时兼顾根的取值要求和分式有意义的条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需按三步思考：①先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的式子表示出方程的根x；②根据“根为正数”的条件列不等式，求解得到k的初步范围；③结合分式方程分母不能为0的要求，排除增根对应的k值，最终得到k的完整取值范围。
【解析】
首先，分式方程有意义的前提是分母不为0，即$x+k≠0$，$x-1≠0$，也就是$x≠-k$，$x≠1$。
给方程$\frac{1}{x+k}=\frac{5}{x-1}$两边同时乘$(x+k)(x-1)$去分母，得：
$x-1=5(x+k)$
展开并移项整理：
$x-1=5x+5k$
$x-5x=5k+1$
$-4x=5k+1$
解得$x=-\frac{5k+1}{4}$
已知方程的根为正数，因此$x＞0$，即：
$-\frac{5k+1}{4}＞0$
两边同乘4得：$-(5k+1)＞0$，解得$k＜-\frac{1}{5}$
再结合分母不为0的条件：
当$x=1$时，$-\frac{5k+1}{4}=1$，解得$k=-1$，因此$k≠-1$；
当$x=-k$时，$-\frac{5k+1}{4}=-k$，解得$k=-1$，与上述结论一致。
综上，k的取值范围是$k＜-\frac{1}{5}$且$k≠-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.分式方程求解
2.一元一次不等式求解
3.分式有意义的条件
【点评】
本题是分式方程参数范围求解的典型题型，易错点是容易忽略分式分母不能为0的要求，导致漏加$k≠-1$的限制条件，解题时需同时兼顾根的取值要求和分式有意义的条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
3.小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$.设公共汽车的平均速度为x千米/时，下面列出的方程中正确的是（
A
）答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确行程问题的基本公式：时间=路程÷速度。先根据题设表示出公共汽车和出租车的速度，再分别算出乘公共汽车去时的时间、乘出租车返回的时间，最后根据“回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$”这一条件，得到返回时间=去时时间×$(1-\frac{1}{4})$的等量关系，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为$(x+20)$千米/时。
1. 计算去时（乘公共汽车）的时间：路程为40千米，速度为x千米/时，因此去时时间为$\frac{40}{x}$小时；
2. 计算返回（乘出租车）的时间：路程仍为40千米，速度为$(x+20)$千米/时，因此返回时间为$\frac{40}{x+20}$小时；
3. 找时间等量关系：回来时间比去时节省$\frac{1}{4}$，即返回时间是去时时间的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，因此可列方程：
$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题公式；列分式方程
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，核心是准确梳理速度、路程、时间三者的对应关系，抓住题干给出的时间等量关系列方程，易错点是混淆往返时间和速度的对应关系，导致列错方程。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确行程问题的基本公式：时间=路程÷速度。先根据题设表示出公共汽车和出租车的速度，再分别算出乘公共汽车去时的时间、乘出租车返回的时间，最后根据“回来时路上所花时间比去时节省了$\frac{1}{4}$”这一条件，得到返回时间=去时时间×$(1-\frac{1}{4})$的等量关系，代入对应表达式即可列出方程。
【解析】
设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为$(x+20)$千米/时。
1. 计算去时（乘公共汽车）的时间：路程为40千米，速度为x千米/时，因此去时时间为$\frac{40}{x}$小时；
2. 计算返回（乘出租车）的时间：路程仍为40千米，速度为$(x+20)$千米/时，因此返回时间为$\frac{40}{x+20}$小时；
3. 找时间等量关系：回来时间比去时节省$\frac{1}{4}$，即返回时间是去时时间的$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，因此可列方程：
$\frac{40}{x+20}=\frac{3}{4}×\frac{40}{x}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题公式；列分式方程
【点评】
本题是典型的行程类分式方程应用题，核心是准确梳理速度、路程、时间三者的对应关系，抓住题干给出的时间等量关系列方程，易错点是混淆往返时间和速度的对应关系，导致列错方程。
【难度系数】
0.7
4. 若方程$\frac{ax + 1}{x - 1} - 1 = 0$有增根，则$a$的值为
-1
。答案
4. -1
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步，找原方程分母为0时x的值，确定增根；第二步，给原方程两边乘最简公分母，去掉分母得到整式方程；第三步，把增根代入整式方程，就能求出参数a的值。
【解析】
首先，原分式方程的分母为$x-1$，若方程有增根，则分母为0，即：
$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$去分母，得：
$ax + 1 - (x - 1) = 0$
将增根$x=1$代入上式，得：
$a×1 + 1 - (1 - 1) = 0$
化简得：$a + 1 = 0$，解得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根相关的典型题型，解题核心是掌握增根的两个特征，熟练运用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，再代入增根求解参数即可，是分式方程板块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先要明确增根的性质：增根是使原分式方程分母为0的根，同时也是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步，找原方程分母为0时x的值，确定增根；第二步，给原方程两边乘最简公分母，去掉分母得到整式方程；第三步，把增根代入整式方程，就能求出参数a的值。
【解析】
首先，原分式方程的分母为$x-1$，若方程有增根，则分母为0，即：
$x-1=0$，解得增根为$x=1$。
给原方程两边同时乘最简公分母$(x-1)$去分母，得：
$ax + 1 - (x - 1) = 0$
将增根$x=1$代入上式，得：
$a×1 + 1 - (1 - 1) = 0$
化简得：$a + 1 = 0$，解得$a=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的增根；解分式方程
【点评】
本题是分式方程增根相关的典型题型，解题核心是掌握增根的两个特征，熟练运用去分母的方法将分式方程转化为整式方程，再代入增根求解参数即可，是分式方程板块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
5. A，B两地相距50 km，一艘轮船从A地顺流航行至B地，停靠1 h后，从B地逆流返回A地，共用了6 h.已知水流速度为4 km/h，若设该轮船在静水中的速度为x km/h，则可列方程
$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$
。答案
5. $\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程列写题，解题思路可按三步梳理：第一步先确定实际航行总时间，题目给出全程共用6h，中途停靠1h，因此实际航行时间为6-1=5h；第二步明确顺流、逆流的速度计算规则：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；第三步依据“路程÷速度=时间”分别计算顺流、逆流的航行时间，再根据“顺流航行时间+逆流航行时间=总航行时间”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 计算实际航行总时间：全程总用时6h，中途停靠1h，因此轮船航行的总时间为$6-1=5\ \mathrm{h}$。
2. 计算航行速度与对应时间：
顺流航行时，速度为静水速度加水流速度，即$(x+4)\ \mathrm{km/h}$，因此顺流从A到B的时间为$\frac{50}{x+4}\ \mathrm{h}$；
逆流航行时，速度为静水速度减水流速度，即$(x-4)\ \mathrm{km/h}$，因此逆流从B到A的时间为$\frac{50}{x-4}\ \mathrm{h}$。
3. 列方程：根据“顺流时间+逆流时间=总航行时间”的等量关系，可列方程$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$。
【答案】
$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$
【知识点】
顺逆流速度计算，行程问题等量关系，列分式方程
【点评】
本题是列分式方程的基础题型，核心考查行程问题中速度、时间、路程的关系，易错点是容易忽略停靠的1小时，误将总用时6h当作航行时间列方程，审题时需注意筛选有效条件，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程列写题，解题思路可按三步梳理：第一步先确定实际航行总时间，题目给出全程共用6h，中途停靠1h，因此实际航行时间为6-1=5h；第二步明确顺流、逆流的速度计算规则：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；第三步依据“路程÷速度=时间”分别计算顺流、逆流的航行时间，再根据“顺流航行时间+逆流航行时间=总航行时间”的等量关系列方程即可。
【解析】
1. 计算实际航行总时间：全程总用时6h，中途停靠1h，因此轮船航行的总时间为$6-1=5\ \mathrm{h}$。
2. 计算航行速度与对应时间：
顺流航行时，速度为静水速度加水流速度，即$(x+4)\ \mathrm{km/h}$，因此顺流从A到B的时间为$\frac{50}{x+4}\ \mathrm{h}$；
逆流航行时，速度为静水速度减水流速度，即$(x-4)\ \mathrm{km/h}$，因此逆流从B到A的时间为$\frac{50}{x-4}\ \mathrm{h}$。
3. 列方程：根据“顺流时间+逆流时间=总航行时间”的等量关系，可列方程$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$。
【答案】
$\frac{50}{x+4}+\frac{50}{x-4}=5$
【知识点】
顺逆流速度计算，行程问题等量关系，列分式方程
【点评】
本题是列分式方程的基础题型，核心考查行程问题中速度、时间、路程的关系，易错点是容易忽略停靠的1小时，误将总用时6h当作航行时间列方程，审题时需注意筛选有效条件，找准等量关系。
【难度系数】
0.7
6. 解方程：$\frac{2x-5}{x-2}+3=\frac{3x-3}{x-2}$
答案
6. 去分母：$2x-5+3(x-2)=3x-3$，去括号：$2x-5+3x-6=3x-3$，移项，合并：$2x=8$，系数化为1：$x=4$，经检验，$x=4$是原分式方程的解。
解析
【分析】
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：① 首先确定分式方程的最简公分母是$(x-2)$，要注意分母不能为0，即$x≠2$；② 方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，将分式方程转化为一元一次方程，注意方程中每一项都要乘$(x-2)$，不能漏乘不含分母的常数项3；③ 按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值；④ 由于去分母的过程可能产生增根，最后需要把求得的$x$代入最简公分母检验，若公分母不为0，才是原方程的解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$2x-5+3(x-2)=3x-3$
去括号得：
$2x-5+3x-6=3x-3$
移项、合并同类项得：
$2x=8$
系数化为1得：
$x=4$
检验：把$x=4$代入最简公分母$x-2=4-2=2≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题的关键是去分母时不要漏乘不含分母的项，同时切记解分式方程最后必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
这是一道分式方程求解的题目，解题思路如下：① 首先确定分式方程的最简公分母是$(x-2)$，要注意分母不能为0，即$x≠2$；② 方程两边同时乘最简公分母$(x-2)$，将分式方程转化为一元一次方程，注意方程中每一项都要乘$(x-2)$，不能漏乘不含分母的常数项3；③ 按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值；④ 由于去分母的过程可能产生增根，最后需要把求得的$x$代入最简公分母检验，若公分母不为0，才是原方程的解。
【解析】
解：方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，去分母得：
$2x-5+3(x-2)=3x-3$
去括号得：
$2x-5+3x-6=3x-3$
移项、合并同类项得：
$2x=8$
系数化为1得：
$x=4$
检验：把$x=4$代入最简公分母$x-2=4-2=2≠0$，因此$x=4$是原分式方程的解。
【答案】
$x=4$
【知识点】
分式方程的解法；一元一次方程的解法；分式方程验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题型，解题的关键是去分母时不要漏乘不含分母的项，同时切记解分式方程最后必须检验，避免把增根当成原方程的解。
【难度系数】
0.8
