13. 尊老敬老是中华民族的传统美德.端午佳节来临之际，某社区决定购买鲜肉粽和蜜枣粽共200只慰问社区老人，超市里鲜肉粽每只5.5元，蜜枣粽每只3.5元，如果预算资金不超过900元，请问最多能购买鲜肉粽多少只？

13.最多能购买鲜肉粽100只.

【分析】
这是一道带限制条件的实际最值问题，我们可以通过建立一元一次不等式模型求解。首先明确不等关系：购买鲜肉粽的总费用+购买蜜枣粽的总费用≤预算900元。解题步骤：①设购买鲜肉粽的数量为未知数，用总数量表示出蜜枣粽的数量；②根据上述不等关系列出不等式；③求解不等式，结合粽子数量为正整数的实际意义，取符合条件的最大值即可。
【解析】
解：设购买鲜肉粽$ x $只，则购买蜜枣粽$ (200-x) $只。
根据总费用不超过900元，列不等式得：
$ 5.5x + 3.5(200 - x) ≤ 900 $
展开括号：$ 5.5x + 700 - 3.5x ≤ 900 $
合并同类项：$ 2x + 700 ≤ 900 $
移项得：$ 2x ≤ 900 - 700 $
计算得：$ 2x ≤ 200 $
系数化为1：$ x ≤ 100 $
因为$ x $为粽子的数量，是正整数，所以$ x $的最大值为100。
【答案】
最多能购买鲜肉粽100只。
【知识点】
一元一次不等式的应用；一元一次不等式的解法
【点评】
本题结合生活实际场景出题，核心是将实际问题中的“不超过”转化为数学中的不等符号，建立不等式模型求解，解题时要注意未知数的取值要符合实际意义，避免出现非整数的不合理结果。
【难度系数】
0.8

14. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = a + 3, \\x + y = 5a\end{cases}$的解满足$2y - x ≤ 1$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)已知$a + b = 2$，且$k = a + 3b$，求$k$的取值范围.

14.(1)$a≤1$ (2)$k≥4$

【分析】
(1) 首先需要求解关于x,y的二元一次方程组，利用加减消元法把x、y都用含a的代数式表示，再代入已知不等式2y - x ≤1，解关于a的一元一次不等式即可得到a的取值范围。
(2) 已知a+b=2，可将b用含a的代数式表示，代入k=a+3b的表达式中，把k转化为仅含a的代数式，再结合(1)中求出的a的取值范围，就能推导得到k的取值范围。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}2x - y = a + 3 ①\\x + y = 5a ②\end{cases}$
①+②得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$
把$x=2a+1$代入②得：$2a+1+y=5a$，解得$y=3a-1$
将$x=2a+1$，$y=3a-1$代入$2y - x ≤1$得：
$2(3a-1)-(2a+1)≤1$
去括号：$6a-2-2a-1≤1$
合并同类项：$4a-3≤1$
移项、系数化为1：$4a≤4$，即$a≤1$
(2) 已知$a+b=2$，变形得$b=2-a$
将$b=2-a$代入$k=a+3b$得：
$k=a+3(2-a)=a+6-3a=6-2a$
即$a=\frac{6-k}{2}$
由(1)知$a≤1$，代入得：
$\frac{6-k}{2}≤1$
两边同乘2：$6-k≤2$
移项得：$-k≤-4$，系数化为1得$k≥4$
【答案】
(1)$a≤1$ (2)$k≥4$
【知识点】
二元一次方程组解法；一元一次不等式解法；代入消元法
【点评】
本题属于代数综合基础题，核心考查消元转化的思想，先通过解方程组将未知量转化为参数表达式，再结合不等式条件求参数范围，第二问通过等量关系消去多余变量即可求解，是后续学习函数范围问题的基础题型。
【难度系数】
0.7

15. 利用不等式的性质，解答下列问题.
(1)①如果 $a - b ＜ 0$，那么 $a$ $b$；
②如果 $a - b = 0$，那么 $a$ $b$；
③如果 $a - b ＞ 0$，那么 $a$ $b$.
(2)比较 $2a$ 与 $a$ 的大小.
(3)若 $a ＞ b$，$c ＞ d$.
①比较 $a + c$ 与 $b + d$ 的大小；
②比较 $a - d$ 与 $b - c$ 的大小.

15.解：(1)①＜ ②= ③＞
(2)当$a=0$时，$2a=a$；
$a＞0$时，$a+a＞a+0$，即$2a＞a$；
$a＜0$时，$a+a＜a+0$，即$2a＜a$.
(3)①$a + c ＞ b + d$ ②$a - d ＞ b - c$

【分析】
本题考查不等式性质的应用，解题思路如下：
（1）利用不等式性质1，在三个式子两边同时加b，即可直接得出a与b的大小关系，这也是作差法比较大小的核心原理；
（2）2a和a的大小关系受a的符号影响，所以需要分a＞0、a=0、a＜0三种情况，结合不等式的性质分别讨论；
（3）①利用不等式性质1，先给a＞b两边加c得到a+c与b+c的关系，再给c＞d两边加b得到b+c与b+d的关系，结合不等关系的传递性即可得到结果；②先利用不等式性质3，给c＞d两边乘-1得到-d＞-c，再结合同向不等式相加的变形思路即可推导大小关系。
【解析】
(1) 根据不等式的性质1，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变：
① 给$a - b ＜ 0$两边同时加$b$，得$a ＜ b$；
② 给$a - b = 0$两边同时加$b$，得$a = b$；
③ 给$a - b ＞ 0$两边同时加$b$，得$a ＞ b$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$a=0$时，$2a=2×0=0$，所以$2a=a$；
② 当$a＞0$时，根据不等式性质1，给$a＞0$两边同时加$a$，得$a+a ＞ a+0$，即$2a＞a$；
③ 当$a＜0$时，根据不等式性质1，给$a＜0$两边同时加$a$，得$a+a ＜ a+0$，即$2a＜a$。
(3) ① 已知$a ＞ b$，根据不等式性质1，两边同时加$c$，得$a + c ＞ b + c$；
又已知$c ＞ d$，根据不等式性质1，两边同时加$b$，得$b + c ＞ b + d$；
根据不等关系的传递性，可得$a + c ＞ b + d$。
② 已知$c ＞ d$，根据不等式性质3，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$-c ＜ -d$，即$-d ＞ -c$；
已知$a ＞ b$，根据不等式性质1，两边同时加$-d$得$a - d ＞ b - d$，再结合$-d ＞ -c$，可得$b - d ＞ b - c$，所以$a - d ＞ b - c$。
【答案】
(1)①＜ ②= ③＞
(2)当$a=0$时，$2a=a$；当$a＞0$时，$2a＞a$；当$a＜0$时，$2a＜a$
(3)①$a + c ＞ b + d$ ②$a - d ＞ b - c$
【知识点】
不等式的性质；作差法比较大小；分类讨论思想
【点评】
本题是不等式的基础应用题型，重点考查对不等式性质的理解和灵活运用，需要注意的是：当不等式两边乘负数时不等号方向必须改变，当待比较的式子中含有符号不确定的参数时，要记得分情况讨论，熟练掌握这类基础题型能为后续解不等式（组）打好基础。
【难度系数】
0.8