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9. 下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式. 根据下面对话提供的信息，他们讨论的不等式可以是
$-2x≥-10$(答案不唯一)
.（写出一个符合题意的不等式即可）答案
9.$-2x≥-10$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先结合两个已知条件梳理思路：第一，从数轴读取不等式的解集：数轴上5处为实心点，方向向左，因此解集是$x≤5$；第二，求解不等式要改变不等号方向，说明未知数的系数为负数，根据不等式的性质（不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变），我们对解集$x≤5$两边同时乘任意一个负数，就能得到符合要求的不等式。
【解析】
第一步：观察数轴，可知不等式的解集为$x≤5$。
第二步：根据题意，求解不等式时需要改变不等号方向，说明未知数的系数是负数。我们对解集$x≤5$的两边同时乘$-2$，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得$-2x≥-10$，该不等式满足题目的所有要求，也可选择其他负数推导，结果均正确。
【答案】
$-2x≥-10$（答案不唯一）
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解集；解集的数轴表示
【点评】
本题属于逆向推导类基础题，既考查了从数轴读取不等式解集的能力，也考查了对不等式变号规则的掌握，明确“系数为负时不等号变向”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先结合两个已知条件梳理思路：第一，从数轴读取不等式的解集：数轴上5处为实心点，方向向左，因此解集是$x≤5$；第二，求解不等式要改变不等号方向，说明未知数的系数为负数，根据不等式的性质（不等式两边乘/除以同一个负数，不等号方向改变），我们对解集$x≤5$两边同时乘任意一个负数，就能得到符合要求的不等式。
【解析】
第一步：观察数轴，可知不等式的解集为$x≤5$。
第二步：根据题意，求解不等式时需要改变不等号方向，说明未知数的系数是负数。我们对解集$x≤5$的两边同时乘$-2$，根据不等式的性质，不等号方向改变，可得$-2x≥-10$，该不等式满足题目的所有要求，也可选择其他负数推导，结果均正确。
【答案】
$-2x≥-10$（答案不唯一）
【知识点】
不等式的性质；一元一次不等式的解集；解集的数轴表示
【点评】
本题属于逆向推导类基础题，既考查了从数轴读取不等式解集的能力，也考查了对不等式变号规则的掌握，明确“系数为负时不等号变向”的规则即可快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 若$a ＞ b$，则$ac^2$
≥
$bc^2$.答案
10.≥
解析
【分析】
要判断$ac^2$和$bc^2$的大小关系，首先回忆平方的性质：任何实数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，再结合不等式的基本性质分两种情况讨论：①当$c≠0$时，$c^2＞0$，不等式$a＞b$两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得$ac^2＞bc^2$；②当$c=0$时，$c^2=0$，两边乘0后结果都为0，可得$ac^2=bc^2$，合并两种情况即可得到最终结论。
【解析】
解：
∵ 任意数的平方具有非负性，
∴ $c^2≥0$，分两种情况讨论：
1. 当$c≠0$时，$c^2＞0$，
已知$a＞b$，根据不等式的性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴ 两边同时乘$c^2$，得$ac^2＞bc^2$；
2. 当$c=0$时，$c^2=0$，
此时$ac^2=a×0=0$，$bc^2=b×0=0$，
∴ $ac^2=bc^2$。
综上可得，$ac^2≥ bc^2$。
【答案】
≥
【知识点】
不等式的基本性质，平方的非负性
【点评】
本题是不等式相关的易错题，解题时很容易忽略$c=0$的特殊情况直接误填“＞”，需要注意分类讨论，全面考虑平方数的取值情况。
【难度系数】
0.7
要判断$ac^2$和$bc^2$的大小关系，首先回忆平方的性质：任何实数的平方都是非负数，即$c^2≥0$，再结合不等式的基本性质分两种情况讨论：①当$c≠0$时，$c^2＞0$，不等式$a＞b$两边乘同一个正数，不等号方向不变，可得$ac^2＞bc^2$；②当$c=0$时，$c^2=0$，两边乘0后结果都为0，可得$ac^2=bc^2$，合并两种情况即可得到最终结论。
【解析】
解：
∵ 任意数的平方具有非负性，
∴ $c^2≥0$，分两种情况讨论：
1. 当$c≠0$时，$c^2＞0$，
已知$a＞b$，根据不等式的性质：不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，
∴ 两边同时乘$c^2$，得$ac^2＞bc^2$；
2. 当$c=0$时，$c^2=0$，
此时$ac^2=a×0=0$，$bc^2=b×0=0$，
∴ $ac^2=bc^2$。
综上可得，$ac^2≥ bc^2$。
【答案】
≥
【知识点】
不等式的基本性质，平方的非负性
【点评】
本题是不等式相关的易错题，解题时很容易忽略$c=0$的特殊情况直接误填“＞”，需要注意分类讨论，全面考虑平方数的取值情况。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 解不等式$3x + 2 ＜ 2x - 1$，并在数轴上表示解集.
11. 解不等式$3x + 2 ＜ 2x - 1$，并在数轴上表示解集.
答案
11.$x ＜ -3$，数轴略.
解析
【分析】
解该一元一次不等式可类比一元一次方程的解法思考：首先将含未知数x的项移到不等式左侧，常数项移到右侧，移项时注意变号；再合并同类项即可得到解集。数轴表示解集时，由于解集不含-3，要在-3的位置画空心圆圈，向左画射线表示所有小于-3的数即可。
【解析】
解不等式 $3x + 2 ＜ 2x - 1$：
1. 移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得：
$3x - 2x ＜ -1 - 2$
2. 合并同类项，得：
$x ＜ -3$
数轴表示：在数轴上找到表示-3的点，画空心圆圈（表示不包含-3这个点），从空心圆圈向左延伸画射线，即为该不等式解集的数轴表示。
【答案】
$x ＜ -3$，数轴略
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、数轴表示解集
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，解题时注意移项要改变符号，数轴表示时要准确区分空心圆圈（不含等号）和实心圆点（含等号）的使用场景。
【难度系数】
0.8
解该一元一次不等式可类比一元一次方程的解法思考：首先将含未知数x的项移到不等式左侧，常数项移到右侧，移项时注意变号；再合并同类项即可得到解集。数轴表示解集时，由于解集不含-3，要在-3的位置画空心圆圈，向左画射线表示所有小于-3的数即可。
【解析】
解不等式 $3x + 2 ＜ 2x - 1$：
1. 移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得：
$3x - 2x ＜ -1 - 2$
2. 合并同类项，得：
$x ＜ -3$
数轴表示：在数轴上找到表示-3的点，画空心圆圈（表示不包含-3这个点），从空心圆圈向左延伸画射线，即为该不等式解集的数轴表示。
【答案】
$x ＜ -3$，数轴略
【知识点】
一元一次不等式解法、不等式的性质、数轴表示解集
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的求解和解集的数轴表示，解题时注意移项要改变符号，数轴表示时要准确区分空心圆圈（不含等号）和实心圆点（含等号）的使用场景。
【难度系数】
0.8
12. 下面是小明解不等式$\frac{x+5}{2} -2 ＜ \frac{3x+2}{2}$的过程：
解：去分母，得$x +5 -2 ＜3x +2$. ①
移项、合并同类项，得$-2x ＜ -1$. ②
两边都除以$-2$，得$x ＞ \frac{1}{2}$. ③
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题：
(1)小明的解题过程从第
(2)错误的原因是
(3)第③步的依据是
(4)该不等式正确的解集是
解：去分母，得$x +5 -2 ＜3x +2$. ①
移项、合并同类项，得$-2x ＜ -1$. ②
两边都除以$-2$，得$x ＞ \frac{1}{2}$. ③
先阅读以上解题过程，然后解答下列问题：
(1)小明的解题过程从第
①
（填序号）步开始出现错误；(2)错误的原因是
去分母时，不等式左边第二项没有乘2
；(3)第③步的依据是
不等式的性质3
；(4)该不等式正确的解集是
$x ＞ -\frac{1}{2}$
.答案
12.(1)①
(2)去分母时，不等式左边第二项没有乘2
(3)不等式的性质3
(4)$x ＞ -\frac{1}{2}$
(2)去分母时，不等式左边第二项没有乘2
(3)不等式的性质3
(4)$x ＞ -\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决本题首先要明确解一元一次不等式的基本步骤，重点关注去分母的规则：给不等式两边同时乘各分母的最小公倍数时，所有项都要乘，不能漏乘不含分母的项。首先核对小明的去分母步骤，判断出错位置；再分析错误原因；接着回忆不等式的性质，明确系数化为1步骤的依据；最后按照正确步骤求解即可得到正确解集。
【解析】
(1) 去分母时，不等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数2，小明只给含分母的项乘了2，左边的常数项-2漏乘2，因此从第①步开始出现错误。
(2) 错误原因：去分母时，不等式左边第二项（常数项-2）没有乘2。
(3) 第③步是不等式两边同时除以负数-2，不等号方向发生改变，依据是不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
(4) 正确求解过程如下：
去分母，得 $x + 5 - 4 ＜ 3x + 2$
移项，得 $x - 3x ＜ 2 - 5 + 4$
合并同类项，得 $-2x ＜ 1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得 $x ＞ -\frac{1}{2}$
【答案】
(1)①；(2)去分母时，不等式左边第二项没有乘2；(3)不等式的性质3；(4)$x ＞ -\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式、不等式的性质
【点评】
本题侧重考查解一元一次不等式的规范操作，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，以及系数化为1时忽略不等号方向的变化，熟练掌握不等式的性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确解一元一次不等式的基本步骤，重点关注去分母的规则：给不等式两边同时乘各分母的最小公倍数时，所有项都要乘，不能漏乘不含分母的项。首先核对小明的去分母步骤，判断出错位置；再分析错误原因；接着回忆不等式的性质，明确系数化为1步骤的依据；最后按照正确步骤求解即可得到正确解集。
【解析】
(1) 去分母时，不等式两边每一项都要乘分母的最小公倍数2，小明只给含分母的项乘了2，左边的常数项-2漏乘2，因此从第①步开始出现错误。
(2) 错误原因：去分母时，不等式左边第二项（常数项-2）没有乘2。
(3) 第③步是不等式两边同时除以负数-2，不等号方向发生改变，依据是不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
(4) 正确求解过程如下：
去分母，得 $x + 5 - 4 ＜ 3x + 2$
移项，得 $x - 3x ＜ 2 - 5 + 4$
合并同类项，得 $-2x ＜ 1$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得 $x ＞ -\frac{1}{2}$
【答案】
(1)①；(2)去分母时，不等式左边第二项没有乘2；(3)不等式的性质3；(4)$x ＞ -\frac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次不等式、不等式的性质
【点评】
本题侧重考查解一元一次不等式的规范操作，易错点为去分母时漏乘不含分母的项，以及系数化为1时忽略不等号方向的变化，熟练掌握不等式的性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.7
