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6. 已知$a = x + 2$，$b = x - 1$，且$a ＞ 3 ＞ b$，则$x$的取值范围是
$1 ＜ x ＜ 4$
。答案
6.$1 ＜ x ＜ 4$
解析
【分析】
本题给出了含x的代数式a、b以及a＞3＞b的不等关系，解题时首先要将连写的不等关系拆分为两个独立的一元一次不等式，构成不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题意，将$a＞3＞b$拆分为两个不等式：
1. 由$a＞3$，代入$a=x+2$得：
$x + 2 ＞ 3$
移项得：$x ＞ 3 - 2$
解得：$x ＞ 1$
2. 由$3＞b$，代入$b=x-1$得：
$x - 1 ＜ 3$
移项得：$x ＜ 3 + 1$
解得：$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得$x$的取值范围是$1＜x＜4$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查连写不等式的拆分与一元一次不等式的求解能力，解题时注意拆分工整、移项符号不要出错，取公共解集时可借助数轴辅助判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
本题给出了含x的代数式a、b以及a＞3＞b的不等关系，解题时首先要将连写的不等关系拆分为两个独立的一元一次不等式，构成不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
根据题意，将$a＞3＞b$拆分为两个不等式：
1. 由$a＞3$，代入$a=x+2$得：
$x + 2 ＞ 3$
移项得：$x ＞ 3 - 2$
解得：$x ＞ 1$
2. 由$3＞b$，代入$b=x-1$得：
$x - 1 ＜ 3$
移项得：$x ＜ 3 + 1$
解得：$x ＜ 4$
取两个解集的公共部分，可得$x$的取值范围是$1＜x＜4$。
【答案】
$1＜x＜4$
【知识点】
1. 一元一次不等式求解
2. 不等式组解集确定
【点评】
本题属于基础题型，核心考查连写不等式的拆分与一元一次不等式的求解能力，解题时注意拆分工整、移项符号不要出错，取公共解集时可借助数轴辅助判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
7. 已知关于x的不等式$2x≥ a - 1$的解集如图所示，则a的值为
$-1$
.答案
7.$-1$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先从数轴读取不等式的解集：数轴上-1处是实心圆点，折线向右，说明解集为$x≥ -1$；第二步解含参数$a$的不等式$2x≥ a-1$，用含$a$的式子表示不等式的解集；第三步根据两个解集完全相等，建立关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
首先观察数轴可得：该不等式的解集为$x≥ -1$。
解不等式$2x≥ a-1$：
两边同时除以2，得$x≥ \frac{a-1}{2}$。
因为两个解集是同一不等式的解集，所以可得方程：
$\frac{a-1}{2}=-1$
方程两边同乘2，得：$a-1=-2$
移项计算得：$a=-2+1=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 解一元一次不等式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题结合数轴考查不等式解集的对应关系，解题核心是准确读取数轴表示的解集，再通过解集相等建立参数的等量关系，是不等式部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解题思路分三步：第一步先从数轴读取不等式的解集：数轴上-1处是实心圆点，折线向右，说明解集为$x≥ -1$；第二步解含参数$a$的不等式$2x≥ a-1$，用含$a$的式子表示不等式的解集；第三步根据两个解集完全相等，建立关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
首先观察数轴可得：该不等式的解集为$x≥ -1$。
解不等式$2x≥ a-1$：
两边同时除以2，得$x≥ \frac{a-1}{2}$。
因为两个解集是同一不等式的解集，所以可得方程：
$\frac{a-1}{2}=-1$
方程两边同乘2，得：$a-1=-2$
移项计算得：$a=-2+1=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 解一元一次不等式
3. 一元一次方程求解
【点评】
本题结合数轴考查不等式解集的对应关系，解题核心是准确读取数轴表示的解集，再通过解集相等建立参数的等量关系，是不等式部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
8. 甲、乙、丙三个同学在一起讨论一个一元一次不等式组，他们各说出该不等式组的一个性质. 甲：它的所有的解为非负数；乙：其中一个不等式的解集为$x≤8$；丙：其中一个不等式在解的过程中需要改变不等号的方向. 请试着写出符合上述条件的一个不等式组：.
答案
8.$\begin{cases}8 - x≥0, \\x≥0\end{cases}$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时先逐一拆解题目给出的三个限制条件，逐步构造符合要求的不等式：
1. 由甲的描述可知，不等式组的所有解为非负数，即公共解集满足$x≥0$，可以直接设置一个不等式为$x≥0$满足该要求；
2. 由乙的描述可知，需要有一个不等式的解集为$x≤8$，结合丙的描述“解其中一个不等式时要改变不等号方向”，根据不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，我们可以从$x≤8$倒推不等式，将两边同时乘$-1$得到$-x≥-8$，整理为$8-x≥0$，解这个不等式时系数化为1需要变号，刚好同时满足乙和丙的要求。
最后将两个不等式组合即可得到符合条件的不等式组，答案不唯一。
【解析】
第一步：构造满足“所有解为非负数”的不等式，可直接写$x≥0$；
第二步：构造同时满足“解集为$x≤8$”和“解的过程中改变不等号方向”的不等式：
设不等式最终解集为$x≤8$，根据不等式的性质，给不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-x≥-8$，整理为$8-x≥0$；
验证该不等式的解法：移项得$-x≥-8$，系数化为1时两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x≤8$，符合乙、丙的要求；
第三步：将两个不等式组合成不等式组，得到$\begin{cases}8 - x≥0 \\x≥0\end{cases}$，其解集为$0≤ x≤8$，所有解均为非负数，符合所有条件。（符合条件的不等式组不唯一）
【答案】
$\begin{cases}8 - x≥0, \\x≥0\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次不等式组的解集、不等式的性质、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于开放性试题，主要考查对不等式相关性质的掌握程度，以及对不等式组解集的理解，解题时只要紧扣题目给出的三个性质构造不等式即可，形式灵活。
【难度系数】
0.7
解题时先逐一拆解题目给出的三个限制条件，逐步构造符合要求的不等式：
1. 由甲的描述可知，不等式组的所有解为非负数，即公共解集满足$x≥0$，可以直接设置一个不等式为$x≥0$满足该要求；
2. 由乙的描述可知，需要有一个不等式的解集为$x≤8$，结合丙的描述“解其中一个不等式时要改变不等号方向”，根据不等式的性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变，我们可以从$x≤8$倒推不等式，将两边同时乘$-1$得到$-x≥-8$，整理为$8-x≥0$，解这个不等式时系数化为1需要变号，刚好同时满足乙和丙的要求。
最后将两个不等式组合即可得到符合条件的不等式组，答案不唯一。
【解析】
第一步：构造满足“所有解为非负数”的不等式，可直接写$x≥0$；
第二步：构造同时满足“解集为$x≤8$”和“解的过程中改变不等号方向”的不等式：
设不等式最终解集为$x≤8$，根据不等式的性质，给不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得$-x≥-8$，整理为$8-x≥0$；
验证该不等式的解法：移项得$-x≥-8$，系数化为1时两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得$x≤8$，符合乙、丙的要求；
第三步：将两个不等式组合成不等式组，得到$\begin{cases}8 - x≥0 \\x≥0\end{cases}$，其解集为$0≤ x≤8$，所有解均为非负数，符合所有条件。（符合条件的不等式组不唯一）
【答案】
$\begin{cases}8 - x≥0, \\x≥0\end{cases}$（答案不唯一）
【知识点】
一元一次不等式组的解集、不等式的性质、一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于开放性试题，主要考查对不等式相关性质的掌握程度，以及对不等式组解集的理解，解题时只要紧扣题目给出的三个性质构造不等式即可，形式灵活。
【难度系数】
0.7
9. 运行程序如图所示，从“输入一个值x”到“结果是否大于18”为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次停止，则x的取值范围是
$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$
。答案
9.$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$
解析
【分析】
首先要理解“程序操作进行了两次停止”的含义：第一次输入x运算后，结果不大于18，程序返回继续运行；第二次把第一次的运算结果作为输入再次运算，结果大于18，程序停止。我们只需要根据两次运算的结果要求分别列出不等式，组成一元一次不等式组，求解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可得两个不等式：
1. 第一次操作后不停止，因此运算结果≤18：
$3x - 6 ≤ 18$
移项得：$3x ≤ 24$
解得：$x ≤ 8$
2. 第二次操作后停止，因此将第一次结果$3x-6$作为输入，运算结果＞18：
$3(3x - 6) - 6 ＞ 18$
展开得：$9x - 18 - 6 ＞ 18$
整理得：$9x ＞ 42$
解得：$x ＞ \frac{14}{3}$
联立两个解，可得x的取值范围。
【答案】
$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$
【知识点】
一元一次不等式组求解，程序运算
【点评】
本题核心是准确理解程序运行的次数要求，区分“停止”和“继续运行”对应的不等号方向，只要正确列出不等式组，按照解一元一次不等式的规则计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
首先要理解“程序操作进行了两次停止”的含义：第一次输入x运算后，结果不大于18，程序返回继续运行；第二次把第一次的运算结果作为输入再次运算，结果大于18，程序停止。我们只需要根据两次运算的结果要求分别列出不等式，组成一元一次不等式组，求解不等式组就能得到x的取值范围。
【解析】
根据题意可得两个不等式：
1. 第一次操作后不停止，因此运算结果≤18：
$3x - 6 ≤ 18$
移项得：$3x ≤ 24$
解得：$x ≤ 8$
2. 第二次操作后停止，因此将第一次结果$3x-6$作为输入，运算结果＞18：
$3(3x - 6) - 6 ＞ 18$
展开得：$9x - 18 - 6 ＞ 18$
整理得：$9x ＞ 42$
解得：$x ＞ \frac{14}{3}$
联立两个解，可得x的取值范围。
【答案】
$\frac{14}{3} ＜ x ≤ 8$
【知识点】
一元一次不等式组求解，程序运算
【点评】
本题核心是准确理解程序运行的次数要求，区分“停止”和“继续运行”对应的不等号方向，只要正确列出不等式组，按照解一元一次不等式的规则计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
10.（生活应用）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将300 mL的水倒进一个容量为500 mL的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是
（单位：$\mathrm{cm}^3$）
（1）将300 mL的水倒进一个容量为500 mL的杯子中；
（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是
$40 ＜ a ＜ 50$
.（单位：$\mathrm{cm}^3$）
答案
10.$40 ＜ a ＜ 50$
解析
【分析】
要确定玻璃球体积a的取值范围，需从题目给出的两个不等关系入手：①放入4颗玻璃球时水未满，说明4颗球的体积加原有水的体积小于杯子总容量；②放入5颗玻璃球时水溢出，说明5颗球的体积加原有水的体积大于杯子总容量。先统一单位，再根据这两个关系列不等式组，求解即可得到a的范围。
【解析】
首先明确单位换算：$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，因此原有水的体积为$300\mathrm{cm}^3$，杯子总容量为$500\mathrm{cm}^3$。
1. 根据“放入4颗玻璃球水未满”，可列不等式：
$4a + 300 ＜ 500$
解不等式得：$4a ＜ 200$，即$a ＜ 50$。
2. 根据“放入5颗玻璃球水满溢出”，可列不等式：
$5a + 300 ＞ 500$
解不等式得：$5a ＞ 200$，即$a ＞ 40$。
综合两个不等式的解，可得a的取值范围是$40 ＜ a ＜ 50$。
【答案】
$40＜a＜50$
【知识点】
一元一次不等式组应用，体积单位换算
【点评】
本题以生活中测量物体体积的实验为背景，考查将实际问题转化为数学不等式问题的能力，解题的核心是准确提取题目中的不等关系，建立合理的不等式组求解，题目贴合生活场景，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
要确定玻璃球体积a的取值范围，需从题目给出的两个不等关系入手：①放入4颗玻璃球时水未满，说明4颗球的体积加原有水的体积小于杯子总容量；②放入5颗玻璃球时水溢出，说明5颗球的体积加原有水的体积大于杯子总容量。先统一单位，再根据这两个关系列不等式组，求解即可得到a的范围。
【解析】
首先明确单位换算：$1\mathrm{mL}=1\mathrm{cm}^3$，因此原有水的体积为$300\mathrm{cm}^3$，杯子总容量为$500\mathrm{cm}^3$。
1. 根据“放入4颗玻璃球水未满”，可列不等式：
$4a + 300 ＜ 500$
解不等式得：$4a ＜ 200$，即$a ＜ 50$。
2. 根据“放入5颗玻璃球水满溢出”，可列不等式：
$5a + 300 ＞ 500$
解不等式得：$5a ＞ 200$，即$a ＞ 40$。
综合两个不等式的解，可得a的取值范围是$40 ＜ a ＜ 50$。
【答案】
$40＜a＜50$
【知识点】
一元一次不等式组应用，体积单位换算
【点评】
本题以生活中测量物体体积的实验为背景，考查将实际问题转化为数学不等式问题的能力，解题的核心是准确提取题目中的不等关系，建立合理的不等式组求解，题目贴合生活场景，趣味性较强。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 求不等式组$\begin{cases}3(x+2) ＜ x+10, \\x+5 ≤ 3x+7\end{cases}$的整数解.
11. 求不等式组$\begin{cases}3(x+2) ＜ x+10, \\x+5 ≤ 3x+7\end{cases}$的整数解.
答案
11. 不等式组的整数解有：$-1, 0, 1.$
解析
【分析】
求解一元一次不等式组的整数解，可分三步思考：第一步先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规则，确定两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出所有整数，就是所求结果。注意解不等式时，若给不等式两边同时乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3(x+2) ＜ x+10$：
去括号，得：$3x + 6 ＜ x + 10$
移项，得：$3x - x ＜ 10 - 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 4$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
2. 解不等式$x+5 ≤ 3x+7$：
移项，得：$x - 3x ≤ 7 - 5$
合并同类项，得：$-2x ≤ 2$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ≥ -1$
因此不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ 2$，在该范围内的整数为$-1、0、1$。
【答案】
不等式组的整数解有：$-1, 0, 1.$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解筛选方法
【点评】
本题是不等式组的基础常规题，主要考查一元一次不等式及不等式组的求解能力，解题时要注意系数为负时不等号方向的变化，筛选整数解时需确认解集端点是否包含在内，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.85
求解一元一次不等式组的整数解，可分三步思考：第一步先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集；第二步根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的规则，确定两个解集的公共部分，得到不等式组的总解集；第三步在总解集范围内筛选出所有整数，就是所求结果。注意解不等式时，若给不等式两边同时乘除负数，不等号方向要改变。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$3(x+2) ＜ x+10$：
去括号，得：$3x + 6 ＜ x + 10$
移项，得：$3x - x ＜ 10 - 6$
合并同类项，得：$2x ＜ 4$
系数化为1，得：$x ＜ 2$
2. 解不等式$x+5 ≤ 3x+7$：
移项，得：$x - 3x ≤ 7 - 5$
合并同类项，得：$-2x ≤ 2$
系数化为1（不等号方向改变），得：$x ≥ -1$
因此不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ 2$，在该范围内的整数为$-1、0、1$。
【答案】
不等式组的整数解有：$-1, 0, 1.$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解筛选方法
【点评】
本题是不等式组的基础常规题，主要考查一元一次不等式及不等式组的求解能力，解题时要注意系数为负时不等号方向的变化，筛选整数解时需确认解集端点是否包含在内，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.85
