登录
12. 已知方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a, \\ x + y = -7 - a \end{cases}$的解$x$是非正数，$y$为负数.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简：$|a + 2| - |a - 3|$.
(1)求$a$的取值范围；
(2)化简：$|a + 2| - |a - 3|$.
答案
12. (1) $-2 ＜ a ≤ 3$ (2)$2a - 1$
解析
【分析】
(1) 要得到a的取值范围，首先用加减消元法解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再根据“x是非正数（x≤0）、y是负数（y＜0）”的条件列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的范围。
(2) 化简绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负，结合(1)中得到的a的取值范围，分别判断a+2和a-3的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a ① \\ x + y = -7 - a ② \end{cases}$
①+②得：$2x = -6 + 2a$，解得$x = a - 3$
②-①得：$2y = -8 - 4a$，解得$y = -2a - 4$
根据题意：x是非正数，y为负数，可得不等式组：
$\begin{cases} a - 3 ≤ 0 \\ -2a - 4 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$a ≤ 3$
解第二个不等式：$-2a ＜ 4$，两边同时除以-2，不等号方向改变，得$a ＞ -2$
综上，a的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$
(2) 由(1)知$-2 ＜ a ≤ 3$
所以$a + 2 ＞ 0$，$a - 3 ≤ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a + 2| = a + 2$，$|a - 3| = 3 - a$
所以原式$=(a + 2) - (3 - a) = a + 2 - 3 + a = 2a - 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2 ＜ a ≤ 3}$；(2) $\boldsymbol{2a - 1}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的化简
【点评】
本题是代数综合题，核心是通过解方程组用参数表示未知数，结合未知数的取值范围列不等式组求参数，再利用参数范围化简绝对值，解题时要注意解不等式时两边同乘/除负数时不等号方向要改变，去绝对值时要先判断正负，属于基础综合题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要得到a的取值范围，首先用加减消元法解二元一次方程组，将x、y用含a的代数式表示，再根据“x是非正数（x≤0）、y是负数（y＜0）”的条件列出关于a的一元一次不等式组，求解不等式组即可得到a的范围。
(2) 化简绝对值的关键是判断绝对值内式子的正负，结合(1)中得到的a的取值范围，分别判断a+2和a-3的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可完成化简。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases} x - y = 1 + 3a ① \\ x + y = -7 - a ② \end{cases}$
①+②得：$2x = -6 + 2a$，解得$x = a - 3$
②-①得：$2y = -8 - 4a$，解得$y = -2a - 4$
根据题意：x是非正数，y为负数，可得不等式组：
$\begin{cases} a - 3 ≤ 0 \\ -2a - 4 ＜ 0 \end{cases}$
解第一个不等式：$a ≤ 3$
解第二个不等式：$-2a ＜ 4$，两边同时除以-2，不等号方向改变，得$a ＞ -2$
综上，a的取值范围是$-2 ＜ a ≤ 3$
(2) 由(1)知$-2 ＜ a ≤ 3$
所以$a + 2 ＞ 0$，$a - 3 ≤ 0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a + 2| = a + 2$，$|a - 3| = 3 - a$
所以原式$=(a + 2) - (3 - a) = a + 2 - 3 + a = 2a - 1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2 ＜ a ≤ 3}$；(2) $\boldsymbol{2a - 1}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，绝对值的化简
【点评】
本题是代数综合题，核心是通过解方程组用参数表示未知数，结合未知数的取值范围列不等式组求参数，再利用参数范围化简绝对值，解题时要注意解不等式时两边同乘/除负数时不等号方向要改变，去绝对值时要先判断正负，属于基础综合题型。
【难度系数】
0.7
13. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}1 - 2(x - 1) ≤ 5, \\ \dfrac{3x - a}{2} ＜ x + \dfrac{1}{2}\end{cases}$的整数解是$-1$，$0$，$1$，$2$，请你确定字母$a$的取值范围。
答案
13.$1 ＜ a ≤ 2$
解析
【分析】
解决这类问题的思路是：先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用含参数$a$表示的不等式组的解集，再结合已知的整数解范围，分析解集的边界限制条件，列出关于$a$的不等式，最终求出$a$的取值范围。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
1. 解不等式$1 - 2(x - 1) ≤ 5$：
去括号得：$1-2x+2 ≤5$
合并同类项得：$3-2x ≤5$
移项得：$-2x ≤5-3$，即$-2x ≤2$
不等号两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -1$
2. 解不等式$\dfrac{3x - a}{2} ＜ x + \dfrac{1}{2}$：
不等号两边同时乘$2$去分母得：$3x - a ＜ 2x + 1$
移项得：$3x-2x ＜ a+1$
合并同类项得：$x ＜ a+1$
第二步：得到不等式组的解集
结合两个不等式的解，原不等式组的解集为：$\boldsymbol{-1 ≤ x ＜ a+1}$
第三步：结合整数解确定$a$的范围
已知不等式组的整数解为$-1,0,1,2$，说明：
解集的右边界$a+1$必须大于$2$（否则取不到整数$2$），且小于等于$3$（否则会包含整数$3$，不符合题意），即：
$2 ＜ a+1 ≤3$
不等号两边同时减$1$，得：$1 ＜ a ≤2$
【答案】
$1 ＜ a ≤ 2$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题核心是正确求解不等式组解集，再结合整数解的范围准确判断边界的等号取舍，避免因漏考虑边界情况出错。
【难度系数】
0.6
解决这类问题的思路是：先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到用含参数$a$表示的不等式组的解集，再结合已知的整数解范围，分析解集的边界限制条件，列出关于$a$的不等式，最终求出$a$的取值范围。
【解析】
第一步：分别求解两个不等式
1. 解不等式$1 - 2(x - 1) ≤ 5$：
去括号得：$1-2x+2 ≤5$
合并同类项得：$3-2x ≤5$
移项得：$-2x ≤5-3$，即$-2x ≤2$
不等号两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ -1$
2. 解不等式$\dfrac{3x - a}{2} ＜ x + \dfrac{1}{2}$：
不等号两边同时乘$2$去分母得：$3x - a ＜ 2x + 1$
移项得：$3x-2x ＜ a+1$
合并同类项得：$x ＜ a+1$
第二步：得到不等式组的解集
结合两个不等式的解，原不等式组的解集为：$\boldsymbol{-1 ≤ x ＜ a+1}$
第三步：结合整数解确定$a$的范围
已知不等式组的整数解为$-1,0,1,2$，说明：
解集的右边界$a+1$必须大于$2$（否则取不到整数$2$），且小于等于$3$（否则会包含整数$3$，不符合题意），即：
$2 ＜ a+1 ≤3$
不等号两边同时减$1$，得：$1 ＜ a ≤2$
【答案】
$1 ＜ a ≤ 2$
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解
【点评】
本题是不等式组参数求解的典型题型，解题核心是正确求解不等式组解集，再结合整数解的范围准确判断边界的等号取舍，避免因漏考虑边界情况出错。
【难度系数】
0.6
14. 在校园文化建设中，某学校原计划按每班5幅订购字画共90幅. 由于新学期班数增加，决定从阅览室中取若干幅字画一起分发，如果每班分4幅，则剩下17幅；如果每班分5幅，则最后一班不足3幅，但不少于1幅.
(1)该校原有的班数是多少个？
(2)新学期所增加的班数是多少个？
(1)该校原有的班数是多少个？
(2)新学期所增加的班数是多少个？
答案
14. (1)18个
(2)新学期所增加的班数为2个或3个.
(2)新学期所增加的班数为2个或3个.
解析
【分析】
（1）第一问属于简单的除法应用，已知原计划每班分配的字画数量和总订购数量，直接用总数量除以每班分配数量即可求出原有班数。
（2）第二问是不等式组的实际应用，首先设新学期总班数为x个，根据“每班分4幅剩17幅”可表示出总的字画数量；再根据“每班分5幅时最后一班不足3幅但不少于1幅”，即最后一班分得的字画数=总字画数 - 前(x-1)个班分得的总数量，由此列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得到x的整数解，再减去原有班数即可得到增加的班数。
【解析】
(1) 原计划每班5幅，共订购90幅，原有班数为：
$90÷5=18$（个）
(2) 设新学期共有$x$个班，总的字画数量为$(4x+17)$幅。
根据题意，每班分5幅时，最后一班分得的字画数量满足：
$\begin{cases}4x+17 - 5(x-1) ≥1 \\4x+17 -5(x-1) ＜3\end{cases}$
化简不等式组：
第一个不等式：$4x+17-5x+5≥1$，即$-x+22≥1$，解得$x≤21$
第二个不等式：$4x+17-5x+5＜3$，即$-x+22＜3$，解得$x＞19$
所以不等式组的解集为$19＜x≤21$
因为$x$为正整数，所以$x=20$或$x=21$
增加的班数为：$20-18=2$（个）或$21-18=3$（个）
【答案】
(1)18个
(2)新学期所增加的班数为2个或3个.
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等式组的整数解、有理数的除法运算
【点评】
本题是典型的生活类不等式应用题型，解题的核心是抓住总字画数不变的隐含条件，结合题干给出的数量范围正确列不等式组，求解时要注意班数为正整数，避免出现非整数解的错误。
【难度系数】
0.6
（1）第一问属于简单的除法应用，已知原计划每班分配的字画数量和总订购数量，直接用总数量除以每班分配数量即可求出原有班数。
（2）第二问是不等式组的实际应用，首先设新学期总班数为x个，根据“每班分4幅剩17幅”可表示出总的字画数量；再根据“每班分5幅时最后一班不足3幅但不少于1幅”，即最后一班分得的字画数=总字画数 - 前(x-1)个班分得的总数量，由此列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组得到x的整数解，再减去原有班数即可得到增加的班数。
【解析】
(1) 原计划每班5幅，共订购90幅，原有班数为：
$90÷5=18$（个）
(2) 设新学期共有$x$个班，总的字画数量为$(4x+17)$幅。
根据题意，每班分5幅时，最后一班分得的字画数量满足：
$\begin{cases}4x+17 - 5(x-1) ≥1 \\4x+17 -5(x-1) ＜3\end{cases}$
化简不等式组：
第一个不等式：$4x+17-5x+5≥1$，即$-x+22≥1$，解得$x≤21$
第二个不等式：$4x+17-5x+5＜3$，即$-x+22＜3$，解得$x＞19$
所以不等式组的解集为$19＜x≤21$
因为$x$为正整数，所以$x=20$或$x=21$
增加的班数为：$20-18=2$（个）或$21-18=3$（个）
【答案】
(1)18个
(2)新学期所增加的班数为2个或3个.
【知识点】
一元一次不等式组的应用、不等式组的整数解、有理数的除法运算
【点评】
本题是典型的生活类不等式应用题型，解题的核心是抓住总字画数不变的隐含条件，结合题干给出的数量范围正确列不等式组，求解时要注意班数为正整数，避免出现非整数解的错误。
【难度系数】
0.6
