18. 如图①，已知C为两条互相平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的平分线相交于点F，∠FDC + ∠ABC = 180°.
（第18题）
(1)求证：AD//BC；
(2)如图②，连接CF，当FC//AB，∠CFB = $\frac{3}{2}$∠DCF时，求∠BCD的度数；
(3)若∠DCF = ∠CFB时，将线段BC沿AB方向平移，记平移后的线段为PQ，点B，C分别对应点P，Q，当∠PQD - ∠QDC = 24°时，求∠DQP的度数.

18. (1)略
(2)解：$\because ∠ CFB = \frac{3}{2}∠ DCF$，
$\therefore$ 设$∠ DCF = α$，则$∠ CFB = 1.5α$.
$\because CF // AB$，
$\therefore ∠ ABF = ∠ CFB = 1.5α$.
$\because BE$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ ABF = 3α$.
$\because AD // BC$，
$\therefore ∠ ADC + ∠ BCD = 180°$.
$\because ∠ FDC + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ABC = 3α$.
$\therefore ∠ BCF = 2α$.
$\because CF // AB$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCF = 180°$.
$\therefore 3α + 2α = 180°. \therefore α = 36°$.
$\therefore ∠ BCD = 3 × 36° = 108°$.
(3)解：如图，$\because ∠ DCF = ∠ CFB$，
$\therefore BF // CD. \therefore ∠ CDF = ∠ DFE$.
$\because AD // BC, \therefore ∠ CBF = ∠ DFE$.
$\therefore ∠ CDF = ∠ CBF$.
$\because BE, AD$分别平分$∠ ABC, ∠ CDE$，
$\therefore ∠ ABC = 2∠ CBF, ∠ CDE = 2∠ CDF$.
$\therefore ∠ ABC = 2∠ CDF$.
$\because ∠ FDC + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore ∠ ABC = 120°, ∠ CDF = 60°$.
$\therefore ∠ DCB = 120°, ∠ DAB = 60°$.
$\because$ 线段$BC$沿$AB$方向平移得到线段$PQ$，
$\therefore BC // PQ. \therefore AD // PQ$.
$\therefore ∠ APQ = 120°$.
$\therefore ∠ FDC + ∠ CDQ + ∠ DQP = 180°$.
$\because ∠ CDF = 60°$，
$\therefore ∠ CDQ + ∠ DQP = 120°$.
$\because ∠ DQP - ∠ QDC = 24°$，
$\therefore ∠ QDC = ∠ DQP - 24°$.
$\therefore ∠ DQP - 24° + ∠ DQP = 120°$.
$\therefore ∠ DQP = 72°$.

【分析】
(1) 要证明AD//BC，可通过判定定理“同旁内角互补，两直线平行”推导。先利用AB//ED的性质得到内错角相等，结合角平分线的定义，将已知的∠FDC+∠ABC=180°转化为∠DAB+∠ABC=180°，即可得证。
(2) 已知∠CFB与∠DCF的数量关系，可设参数表示两个角，再结合FC//AB的性质、角平分线定义、第一问得到的AD//BC的结论，找到参数的等量关系列方程求解，即可得到∠BCD的度数。
(3) 先由∠DCF=∠CFB推出BF//CD，结合角平分线定义和已知的角度和为180°的条件，求出∠CDF的度数；再根据平移的性质得到PQ与AD平行，得到∠CDQ和∠DQP的和，结合已知的角度差列方程，即可求出∠DQP的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AB//ED，
∴∠EDF = ∠DAB（两直线平行，内错角相等），
∵DF平分∠CDE，
∴∠EDF = ∠FDC，
∴∠FDC = ∠DAB，
又
∵∠FDC + ∠ABC = 180°，
∴∠DAB + ∠ABC = 180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
∵∠CFB = $\frac{3}{2}$∠DCF，
∴设∠DCF = α，则∠CFB = 1.5α。
∵CF//AB，
∴∠ABF = ∠CFB = 1.5α。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC = 2∠ABF = 3α。
∵AD//BC，
∴∠ADC + ∠BCD = 180°。
∵∠FDC + ∠ABC = 180°，
∴∠BCD = ∠ABC = 3α。
∴∠BCF = 3α - α = 2α。
∵CF//AB，
∴∠ABC + ∠BCF = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴3α + 2α = 180°，解得α = 36°。
∴∠BCD = 3 × 36° = 108°。
(3) 解：
∵∠DCF = ∠CFB，
∴BF//CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠CDF = ∠DFE。
∵AD//BC，
∴∠CBF = ∠DFE（两直线平行，同位角相等），
∴∠CDF = ∠CBF。
∵BE平分∠ABC，DF平分∠CDE，
∴∠ABC = 2∠CBF，∠CDE = 2∠CDF，
∴∠ABC = 2∠CDF。
∵∠FDC + ∠ABC = 180°，
∴∠FDC + 2∠FDC = 180°，解得∠FDC = 60°，∠ABC = 120°，
∴∠DCB = 120°。
∵线段BC沿AB方向平移得到线段PQ，
∴BC//PQ，
又
∵AD//BC，
∴AD//PQ，
∴∠FDC + ∠CDQ + ∠DQP = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵∠FDC = 60°，
∴∠CDQ + ∠DQP = 120°。
∵∠PQD - ∠QDC = 24°，
∴∠CDQ = ∠DQP - 24°，
代入得∠DQP - 24° + ∠DQP = 120°，
解得∠DQP = 72°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{108°}$；
(3) $\boldsymbol{72°}$。
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，平移的性质
【点评】
本题是几何综合题，三个小问层层递进，既考查了平行线、角平分线、平移的基础知识点，也对逻辑推理能力、方程思想的应用能力有一定要求，能有效检验学生对几何知识的综合运用水平。
【难度系数】
0.4