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12. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计120万元；3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计170万元.
(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买)，请你写出所有购买方案.
(3)若该公司销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.1万元，在第(2)问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均有购买)，请你写出所有购买方案.
(3)若该公司销售1辆A型汽车可获利1.8万元，销售1辆B型汽车可获利1.1万元，在第(2)问中的所有购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？
答案
12.解:(1)设A,B两种型号的汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元,
根据题意,得$\begin{cases} 2x+3y=120, \\ 3x+4y=170. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30, \\ y=20. \end{cases}$
答:A,B两种型号的汽车每辆进价分别为30万元、20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,B型汽车$n$辆,则$30m+20n=200$,$\therefore n=\dfrac{20-3m}{2}$.
$\because m,n$均为正整数,$\therefore \begin{cases} m=2, \\ n=7 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4, \\ n=4 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$共有3种购买方案:
①购进A型汽车2辆,B型汽车7辆;
②购进A型汽车4辆,B型汽车4辆;
③购进A型汽车6辆,B型汽车1辆.
(3)3种购买方案获得利润分别为$1.8×2+1.1×7=11.3$(万元),$1.8×4+1.1×4=11.6$(万元),$1.8×6+1.1×1=11.9$(万元).
$\because 11.3＜11.6＜11.9$,
$\therefore$购进A型车6辆、B型车1辆获利最大,最大利润是11.9万元.
根据题意,得$\begin{cases} 2x+3y=120, \\ 3x+4y=170. \end{cases}$解得$\begin{cases} x=30, \\ y=20. \end{cases}$
答:A,B两种型号的汽车每辆进价分别为30万元、20万元.
(2)设购进A型汽车$m$辆,B型汽车$n$辆,则$30m+20n=200$,$\therefore n=\dfrac{20-3m}{2}$.
$\because m,n$均为正整数,$\therefore \begin{cases} m=2, \\ n=7 \end{cases}$或$\begin{cases} m=4, \\ n=4 \end{cases}$或$\begin{cases} m=6, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$共有3种购买方案:
①购进A型汽车2辆,B型汽车7辆;
②购进A型汽车4辆,B型汽车4辆;
③购进A型汽车6辆,B型汽车1辆.
(3)3种购买方案获得利润分别为$1.8×2+1.1×7=11.3$(万元),$1.8×4+1.1×4=11.6$(万元),$1.8×6+1.1×1=11.9$(万元).
$\because 11.3＜11.6＜11.9$,
$\therefore$购进A型车6辆、B型车1辆获利最大,最大利润是11.9万元.
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问求两种汽车的进价，属于二元一次方程组应用问题，首先找到两个等量关系：①2辆A型车进价+3辆B型车进价=120万元；②3辆A型车进价+4辆B型车进价=170万元，设两个未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问是不定方程的正整数解问题，根据总进价200万元列出关于A、B两种车购买数量的方程，结合两种车型均购买（数量均为正整数）的条件，筛选出所有符合要求的解，即可得到所有购买方案。
(3) 第三问是方案优化问题，根据每款车的利润，分别计算第二问中所有方案的总利润，再比较大小，即可找到获利最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元，
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=120 \\ 3x+4y=170 \end{cases}$
解方程组：第一个方程乘3得$6x+9y=360$，第二个方程乘2得$6x+8y=340$，两式相减得$y=20$，将$y=20$代入$2x+3×20=120$，解得$x=30$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆，根据总进价为200万元可得：
$30m+20n=200$，化简得$3m+2n=20$，即$n=\dfrac{20-3m}{2}$。
因为两种型号的汽车均有购买，所以$m$、$n$均为正整数，因此$20-3m$必须是正的偶数，即$3m$为正偶数且$3m＜20$，则$m$为偶数。
当$m=2$时，$n=\dfrac{20-6}{2}=7$；当$m=4$时，$n=\dfrac{20-12}{2}=4$；当$m=6$时，$n=\dfrac{20-18}{2}=1$；当$m≥8$时，$3m≥24＞20$，不符合要求，因此共得到3组正整数解。
(3) 分别计算三种方案的利润：
方案①利润：$1.8×2+1.1×7=3.6+7.7=11.3$（万元）
方案②利润：$1.8×4+1.1×4=7.2+4.4=11.6$（万元）
方案③利润：$1.8×6+1.1×1=10.8+1.1=11.9$（万元）
比较得$11.3＜11.6＜11.9$，因此购进A型车6辆、B型车1辆获利最大。
【答案】
(1)A型汽车每辆进价30万元，B型汽车每辆进价20万元；
(2)共有3种购买方案：①购进A型2辆，B型7辆；②购进A型4辆，B型4辆；③购进A型6辆，B型1辆；
(3)购进A型6辆、B型1辆的方案获利最大，最大利润为11.9万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解，利润优化计算
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际情境，考查了方程在实际问题中的应用，需要学生具备从题干中提取等量关系的能力，求解不定方程时要注意正整数的限制条件，最后通过比较各方案的收益得到最优解，是一类典型的实际应用题型。
【难度系数】
0.7
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 第一问求两种汽车的进价，属于二元一次方程组应用问题，首先找到两个等量关系：①2辆A型车进价+3辆B型车进价=120万元；②3辆A型车进价+4辆B型车进价=170万元，设两个未知数列方程组求解即可。
(2) 第二问是不定方程的正整数解问题，根据总进价200万元列出关于A、B两种车购买数量的方程，结合两种车型均购买（数量均为正整数）的条件，筛选出所有符合要求的解，即可得到所有购买方案。
(3) 第三问是方案优化问题，根据每款车的利润，分别计算第二问中所有方案的总利润，再比较大小，即可找到获利最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A、B两种型号的汽车每辆进价分别为$x$万元、$y$万元，
根据题意可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=120 \\ 3x+4y=170 \end{cases}$
解方程组：第一个方程乘3得$6x+9y=360$，第二个方程乘2得$6x+8y=340$，两式相减得$y=20$，将$y=20$代入$2x+3×20=120$，解得$x=30$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆，根据总进价为200万元可得：
$30m+20n=200$，化简得$3m+2n=20$，即$n=\dfrac{20-3m}{2}$。
因为两种型号的汽车均有购买，所以$m$、$n$均为正整数，因此$20-3m$必须是正的偶数，即$3m$为正偶数且$3m＜20$，则$m$为偶数。
当$m=2$时，$n=\dfrac{20-6}{2}=7$；当$m=4$时，$n=\dfrac{20-12}{2}=4$；当$m=6$时，$n=\dfrac{20-18}{2}=1$；当$m≥8$时，$3m≥24＞20$，不符合要求，因此共得到3组正整数解。
(3) 分别计算三种方案的利润：
方案①利润：$1.8×2+1.1×7=3.6+7.7=11.3$（万元）
方案②利润：$1.8×4+1.1×4=7.2+4.4=11.6$（万元）
方案③利润：$1.8×6+1.1×1=10.8+1.1=11.9$（万元）
比较得$11.3＜11.6＜11.9$，因此购进A型车6辆、B型车1辆获利最大。
【答案】
(1)A型汽车每辆进价30万元，B型汽车每辆进价20万元；
(2)共有3种购买方案：①购进A型2辆，B型7辆；②购进A型4辆，B型4辆；③购进A型6辆，B型1辆；
(3)购进A型6辆、B型1辆的方案获利最大，最大利润为11.9万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解，利润优化计算
【点评】
本题结合新能源汽车销售的实际情境，考查了方程在实际问题中的应用，需要学生具备从题干中提取等量关系的能力，求解不定方程时要注意正整数的限制条件，最后通过比较各方案的收益得到最优解，是一类典型的实际应用题型。
【难度系数】
0.7
13. 若$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}(a≠0)$是二元一次方程$3x+y=0$的一个解，则下列结论错误的是 （ ）
A.$a,b$异号
B.$2-6a-2b=2$
C.$\dfrac{a}{b}=-3$
D.满足条件的数对$(a,b)$有无数对
A.$a,b$异号
B.$2-6a-2b=2$
C.$\dfrac{a}{b}=-3$
D.满足条件的数对$(a,b)$有无数对
答案
13.C
解析
【分析】
解题时首先将方程的解代入原二元一次方程，得到a与b的数量关系，再结合a≠0的条件，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入二元一次方程$3x+y=0$，可得$3a + b = 0$，即$b = -3a$，已知$a≠0$，因此$b≠0$。
逐一分析选项：
A. 由$b=-3a$可得$ab=a×(-3a)=-3a^2＜0$，因此a、b异号，该选项结论正确，不符合题意；
B. 对代数式变形得$2-6a-2b=2-2(3a+b)$，将$3a+b=0$代入得：原式$=2-2×0=2$，该选项结论正确，不符合题意；
C. 由$b=-3a$，两边同时除以$b$可得$\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$，不是$-3$，该选项结论错误，符合题意；
D. 二元一次方程有无数个解，因此满足条件的数对$(a,b)$有无数对，该选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题核心是利用二元一次方程的解的定义建立a和b的关系，再结合相关性质判断选项，解题时注意对代数式变形要正确，避免出现比例关系颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先将方程的解代入原二元一次方程，得到a与b的数量关系，再结合a≠0的条件，逐一验证每个选项的正误，最终选出错误的结论即可。
【解析】
把$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$代入二元一次方程$3x+y=0$，可得$3a + b = 0$，即$b = -3a$，已知$a≠0$，因此$b≠0$。
逐一分析选项：
A. 由$b=-3a$可得$ab=a×(-3a)=-3a^2＜0$，因此a、b异号，该选项结论正确，不符合题意；
B. 对代数式变形得$2-6a-2b=2-2(3a+b)$，将$3a+b=0$代入得：原式$=2-2×0=2$，该选项结论正确，不符合题意；
C. 由$b=-3a$，两边同时除以$b$可得$\frac{a}{b}=-\frac{1}{3}$，不是$-3$，该选项结论错误，符合题意；
D. 二元一次方程有无数个解，因此满足条件的数对$(a,b)$有无数对，该选项结论正确，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程的解，代数式求值，等式的性质
【点评】
本题核心是利用二元一次方程的解的定义建立a和b的关系，再结合相关性质判断选项，解题时注意对代数式变形要正确，避免出现比例关系颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
