登录
14. 成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事：老翁为了限定猴子的食量分早晚两次投喂，早上的粮食是晚上的$\frac{3}{4}$，猴子们对于这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上的粮食中取2 kg放在早上投喂，这样早上的粮食是晚上的$\frac{4}{3}$，猴子们对这样的安排非常满意. 设调整前早上的粮食是$x$ kg，晚上的粮食是$y$ kg，则可列方程组为 （ ）
A.$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}y, \\x+2=\dfrac{3}{4}(y-2)\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x+2=\dfrac{4}{3}(y-2)\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x-2=\dfrac{4}{3}y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}y, \\x-2=\dfrac{3}{4}(y+2)\end{cases}$
A.$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}y, \\x+2=\dfrac{3}{4}(y-2)\end{cases}$
B.$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x+2=\dfrac{4}{3}(y-2)\end{cases}$
C.$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x-2=\dfrac{4}{3}y\end{cases}$
D.$\begin{cases}x=\dfrac{4}{3}y, \\x-2=\dfrac{3}{4}(y+2)\end{cases}$
答案
14.B
解析
【分析】
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题时需要分两步找等量关系：①先找调整前的等量关系：题目明确调整前早上粮食是晚上的$\frac{3}{4}$，据此可列出第一个方程，先排除不符合的选项；②再找调整后的等量关系：调整时从晚上的粮食中取2kg放到早上，那么调整后早上的粮食变为$x+2$kg，晚上剩余的粮食变为$y-2$kg，此时早上粮食是晚上的$\frac{4}{3}$，据此列出第二个方程，即可确定正确选项。
【解析】
第一步，根据调整前“早上的粮食是晚上的$\frac{3}{4}$”，可得第一个方程：$x=\frac{3}{4}y$，由此排除第一个方程为$x=\frac{4}{3}y$的A、D选项；
第二步，调整后，早上的粮食增加2kg，为$(x+2)$kg，晚上的粮食减少2kg，为$(y-2)$kg，根据调整后“早上的粮食是晚上的$\frac{4}{3}$”，可得第二个方程：$x+2=\frac{4}{3}(y-2)$；
综上，可列方程组为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x+2=\dfrac{4}{3}(y-2)\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系建立
【点评】
本题属于调配类的方程应用题，核心是准确梳理调配前后各个数量的变化，找准对应的等量关系即可正确求解，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道根据实际问题列二元一次方程组的题目，解题时需要分两步找等量关系：①先找调整前的等量关系：题目明确调整前早上粮食是晚上的$\frac{3}{4}$，据此可列出第一个方程，先排除不符合的选项；②再找调整后的等量关系：调整时从晚上的粮食中取2kg放到早上，那么调整后早上的粮食变为$x+2$kg，晚上剩余的粮食变为$y-2$kg，此时早上粮食是晚上的$\frac{4}{3}$，据此列出第二个方程，即可确定正确选项。
【解析】
第一步，根据调整前“早上的粮食是晚上的$\frac{3}{4}$”，可得第一个方程：$x=\frac{3}{4}y$，由此排除第一个方程为$x=\frac{4}{3}y$的A、D选项；
第二步，调整后，早上的粮食增加2kg，为$(x+2)$kg，晚上的粮食减少2kg，为$(y-2)$kg，根据调整后“早上的粮食是晚上的$\frac{4}{3}$”，可得第二个方程：$x+2=\frac{4}{3}(y-2)$；
综上，可列方程组为$\begin{cases}x=\dfrac{3}{4}y, \\x+2=\dfrac{4}{3}(y-2)\end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系建立
【点评】
本题属于调配类的方程应用题，核心是准确梳理调配前后各个数量的变化，找准对应的等量关系即可正确求解，是方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
15. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“奇妙方程组”。
(1)判断方程组$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x - y = 3 \end{cases}$是不是“奇妙方程组”，并说明理由；
(2)如果关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x + 3y = 4 - a, \\ x - y = 3a \end{cases}$是“奇妙方程组”，求$a$的值。
(1)判断方程组$\begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x - y = 3 \end{cases}$是不是“奇妙方程组”，并说明理由；
(2)如果关于$x,y$的方程组$\begin{cases} x + 3y = 4 - a, \\ x - y = 3a \end{cases}$是“奇妙方程组”，求$a$的值。
答案
15.解:(1)是“奇妙方程组”. 理由如下:$\begin{cases} x - 2y = 3,① \\ 2x - y = 3,② \end{cases}$
②$-$①,得$x+y=0$,$\therefore$原方程组是“奇妙方程组”.
(2)$\begin{cases} x + 3y = 4 - a,① \\ x - y = 3a,② \end{cases}$ ①+②,得$2x+2y=4+2a$,$\therefore x+y=2+a$.
$\because$方程组是“奇妙方程组”,$\therefore x+y=0$.$\therefore 2+a=0$,解得$a=-2$.
②$-$①,得$x+y=0$,$\therefore$原方程组是“奇妙方程组”.
(2)$\begin{cases} x + 3y = 4 - a,① \\ x - y = 3a,② \end{cases}$ ①+②,得$2x+2y=4+2a$,$\therefore x+y=2+a$.
$\because$方程组是“奇妙方程组”,$\therefore x+y=0$.$\therefore 2+a=0$,解得$a=-2$.
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是先明确“奇妙方程组”的含义：方程组的解中x与y互为相反数，即满足x+y=0。
(1)判断给定方程组是否为“奇妙方程组”，可通过加减消元法对两个方程变形，直接推导x和y的和是否为0，也可先求出方程组的解，再验证两个解是否互为相反数。
(2)已知方程组是“奇妙方程组”，说明它的解满足x+y=0，可先将两个方程相加，整理得到x+y关于a的表达式，再令x+y=0，即可列方程求出a的值，也可先解出用a表示的x、y，再利用x+y=0列方程求解。
【解析】
(1)该方程组是“奇妙方程组”，理由如下：
记$\begin{cases} x - 2y = 3, ① \\ 2x - y = 3, ② \end{cases}$
用②式减去①式，可得：$(2x - y) - (x - 2y) = 3 - 3$
整理得：$x + y = 0$，即方程组的解中x与y互为相反数，符合“奇妙方程组”的定义。
(2)记$\begin{cases} x + 3y = 4 - a, ① \\ x - y = 3a, ② \end{cases}$
用①式加上②式，可得：$(x + 3y) + (x - y) = 4 - a + 3a$
整理得：$2x + 2y = 4 + 2a$，两边同时除以2得：$x + y = 2 + a$
∵该方程组是“奇妙方程组”，
∴解满足$x + y = 0$
即$2 + a = 0$，解得$a = -2$
【答案】
(1)是“奇妙方程组”，理由见解析；
(2)$a=-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的基础应用，解题的关键是抓住“奇妙方程组”的本质是解满足x+y=0，灵活运用加减消元法可以大幅简化计算，重点考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类题型，解题核心是先明确“奇妙方程组”的含义：方程组的解中x与y互为相反数，即满足x+y=0。
(1)判断给定方程组是否为“奇妙方程组”，可通过加减消元法对两个方程变形，直接推导x和y的和是否为0，也可先求出方程组的解，再验证两个解是否互为相反数。
(2)已知方程组是“奇妙方程组”，说明它的解满足x+y=0，可先将两个方程相加，整理得到x+y关于a的表达式，再令x+y=0，即可列方程求出a的值，也可先解出用a表示的x、y，再利用x+y=0列方程求解。
【解析】
(1)该方程组是“奇妙方程组”，理由如下：
记$\begin{cases} x - 2y = 3, ① \\ 2x - y = 3, ② \end{cases}$
用②式减去①式，可得：$(2x - y) - (x - 2y) = 3 - 3$
整理得：$x + y = 0$，即方程组的解中x与y互为相反数，符合“奇妙方程组”的定义。
(2)记$\begin{cases} x + 3y = 4 - a, ① \\ x - y = 3a, ② \end{cases}$
用①式加上②式，可得：$(x + 3y) + (x - y) = 4 - a + 3a$
整理得：$2x + 2y = 4 + 2a$，两边同时除以2得：$x + y = 2 + a$
∵该方程组是“奇妙方程组”，
∴解满足$x + y = 0$
即$2 + a = 0$，解得$a = -2$
【答案】
(1)是“奇妙方程组”，理由见解析；
(2)$a=-2$
【知识点】
二元一次方程组的解法，相反数的性质，新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查二元一次方程组的基础应用，解题的关键是抓住“奇妙方程组”的本质是解满足x+y=0，灵活运用加减消元法可以大幅简化计算，重点考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
