6.(数学文化)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1 000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，甜果、苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为
（）

A.$\begin{cases} x+y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x-y=1\ 000, \\ \dfrac{11}{9}x+\dfrac{4}{7}y=999 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x-y=1\ 000, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=999 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x+y=999, \\ \dfrac{4}{7}x+\dfrac{11}{9}y=1\ 000 \end{cases}$

6.A

【分析】
解决列方程组的问题，核心是先从题目中提取两个独立的等量关系。首先明确已知条件：一是甜果和苦果的总数量为1000个，二是买两种果的总花费为999文。接着对应等量关系列方程：第一个等量关系是甜果数量+苦果数量=总数量，代入x、y即可得到第一个方程；第二个等量关系是甜果总花费+苦果总花费=总钱数，需要先根据“总价÷数量=单价”分别算出甜果、苦果的单价，再结合数量算出各自的总花费，即可得到第二个方程，最终匹配对应选项即可。
【解析】
步骤1：根据总数量列第一个方程
设甜果x个，苦果y个，两种果共1000个，可得方程：$x+y=1000$，据此可直接排除B、C（第一个方程为$x-y=1000$）、D（第一个方程为$x+y=999$）三个选项。
步骤2：根据总花费列第二个方程
已知11文可买9个甜果，单个甜果的单价为$\frac{11}{9}$文，x个甜果的总花费为$\frac{11}{9}x$文；4文可买7个苦果，单个苦果的单价为$\frac{4}{7}$文，y个苦果的总花费为$\frac{4}{7}y$文。总花费为999文，可得方程：$\frac{11}{9}x+\frac{4}{7}y=999$。
综上，所列方程组与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的应用；单价、数量、总价的关系
【点评】
本题以中国古代数学著作为命题背景，既渗透了数学文化，又考查了从实际问题中抽象出数学模型的能力，解题关键是准确找到总数量、总花费两个核心等量关系，同时正确计算单个商品的单价，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8

7. 若$(m-3)x+4y^{|2m-5|}=25$是关于$x,y$的二元一次方程，则$m$的值是________.

7.2

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是方程中要含有2个不同的未知数，二是每个含未知数的项的次数都为1，同时还要保证含未知数的项的系数不为0，否则会缺少对应未知数，不符合“二元”的要求。我们可以根据这两个要求列出关于m的限制条件，求解后筛选出符合所有条件的m值即可。
【解析】
根据二元一次方程的定义，可得两个限制条件：
1. 要保留x这个未知数，x的系数不能为0：
$m-3 ≠ 0$，解得$m ≠ 3$
2. 要满足“一次”的要求，y的次数必须为1：
$|2m-5|=1$
解这个绝对值方程：
若$2m-5=1$，则$2m=6$，解得$m=3$；
若$2m-5=-1$，则$2m=4$，解得$m=2$。
结合$m ≠ 3$的限制，舍去$m=3$，因此$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二元一次方程的定义、绝对值方程的解法
【点评】
本题是二元一次方程定义的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略x的系数不为0的限制条件，仅根据y的次数为1得到两个解就直接下结论，解题时要全面考虑二元一次方程的所有要求，不要遗漏限制条件。
【难度系数】
0.6

8. 下面是小明同学解方程组$\begin{cases} x - 4y = 13, \\ 2x + y = -1 \end{cases}$的过程的框图表示,请你帮他补充完整:

其中①为________,②为________,③为________.

8.代入 消去$x$ 解得$x$

【分析】
这道题考查代入消元法解二元一次方程组的步骤，我们可以结合代入消元的完整流程对应分析每一步：首先代入消元的步骤是“变形代数式→代入另一方程→消元得一元一次方程→解一元一次方程得一个未知数→回代求另一个未知数”。对应流程图：已经将第一个方程变形为$x=4y+13$，接下来①是把这个含$y$的$x$的表达式代入第二个方程；代入后得到只含$y$的一元一次方程，②就是这个操作的目的，即消去$x$；解出$y$后，把$y$的值代回$x$的表达式得到$x$的值，③就是这个操作，即求出$x$。
【解析】
该方程组用代入消元法求解，对应流程分析如下：
1. 把变形得到的$x=4y+13$代入第二个方程$2x+y=-1$，因此①为代入；
2. 代入后得到仅含$y$的一元一次方程$2(4y+13)+y=-1$，该过程消去了未知数$x$，因此②为消去$x$；
3. 解出$y=-3$后，将$y=-3$代入$x=4y+13$计算得到$x=1$，该过程是求出$x$的值，因此③为解得$x$。
【答案】
代入；消去$x$；解得$x$
【知识点】
代入消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础题型，主要考查代入消元法解二元一次方程组的步骤，只要熟练掌握消元的完整流程就能轻松作答。
【难度系数】
0.85

9.(开放性题)写出二元一次方程$x+3y=9$的一个正整数解:.

9.$\begin{cases} x=6,\\ y=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x=3,\\ y=2 \end{cases}$

【分析】
要找二元一次方程的正整数解，首先明确正整数解的要求：x、y的取值均为大于0的整数。我们可以先将方程变形为用含y的式子表示x，再结合x＞0、y＞0的限制条件，求出y的取值范围，筛选出符合条件的正整数y，最后将y的值代入变形后的式子算出对应的x值，就能得到满足要求的解。
【解析】
解：
∵方程的解为正整数，
∴x＞0，y＞0，且x、y均为整数。
将方程$x+3y=9$变形，得$x=9-3y$。
由$x＞0$可得：$9-3y＞0$，解得$y＜3$。
∵y是正整数，
∴y的可取值为1或2。
当$y=1$时，$x=9-3×1=6$，即解为$\begin{cases} x=6 \\ y=1 \end{cases}$；
当$y=2$时，$x=9-3×2=3$，即解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}$。
题目要求写出一个正整数解，任选其一即可。
【答案】
$\begin{cases} x=6,\\ y=1 \end{cases}$（或$\begin{cases} x=3,\\ y=2 \end{cases}$，写出一个即可）
【知识点】
二元一次方程的解；不等式的整数解
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对二元一次方程解的概念的掌握，解题关键是结合正整数的限制确定未知数的取值范围，再代入计算即可，计算难度低，容易得分。
【难度系数】
0.85

10.小亮、小红和笑笑三个人玩飞镖游戏,各投6支飞镖,规定在同一圆环内得分相同,三人中靶和得分情况如图所示,则小红得分为分.

10.33

【分析】
我们可以将内圈单次得分和外圈单次得分设为未知数，首先根据小亮、笑笑的命中次数和总得分列出二元一次方程组，求解得到内、外圈的单次得分后，再统计小红的内、外圈命中次数，代入计算即可求出小红的得分。
【解析】
设投中内圈得$x$分，投中外圈得$y$分。
根据小亮的得分情况可列方程：$4x + 2y = 36$ ①
根据笑笑的得分情况可列方程：$2x + 4y = 30$ ②
将①式两边同时除以2得：$2x + y = 18$，变形为$y = 18 - 2x$ ③
把③代入②得：$2x + 4(18 - 2x) = 30$
展开计算：$2x + 72 - 8x = 30$
移项合并同类项：$-6x = -42$
解得：$x = 7$
把$x=7$代入③得：$y = 18 - 2×7 = 4$
观察小红的命中情况：内圈命中3次，外圈命中3次，总得分= $3x + 3y = 3×7 + 3×4 = 21 + 12 = 33$（分）
【答案】
33
【知识点】
二元一次方程组的应用，消元法解二元一次方程组
【点评】
本题将实际游戏场景和方程知识结合，解题的核心是准确从图中提取不同区域的命中次数，结合已知得分建立等量关系，求解未知量后代入计算即可，解题时需要注意不要数错各区域的命中飞镖数量。
【难度系数】
0.7

11. 用适当的方法解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x - 4y = 2, \\ x = 2y;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}3x - y = 3, \\ 2x + y = 7;\end{cases}$
(3)$\begin{cases}x + y = 6, \\ 3x - y = -2;\end{cases}$
(4)$\begin{cases}\dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1, \\ -2x + 3y = 1.\end{cases}$

11.解:(1)$\begin{cases} 3x - 4y = 2,① \\ x = 2y,② \end{cases}$
②代入①,得$6y-4y=2$. 解得$y=1$.
把$y=1$代入②,得$x=2$.$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x - y = 3,① \\ 2x + y = 7,② \end{cases}$
①+②,得$5x=10$. 解得$x=2$.
把$x=2$代入①,得$6-y=3$. 解得$y=3$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=3. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x + y = 6,① \\ 3x - y = -2,② \end{cases}$
由①+②,得$4x=4$. 解得$x=1$.
将$x=1$代入①,得$1+y=6$. 解得$y=5$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=5. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1,① \\ -2x + 3y = 1,② \end{cases}$
将①化简,得$3x-2y=6$. ③
由③$×2$,得$6x-4y=12$.
由②$×3$,得$-6x+9y=3$.
两式相加,得$5y=15$. 解得$y=3$.
将$y=3$代入②,得$-2x+9=1$. 解得$x=4$.
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3. \end{cases}$

【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，常用方法为代入消元法和加减消元法，可根据方程组特征选择最优解法：
(1)方程组中直接给出了$x$用$y$表示的式子，选择代入消元法，将第二个方程代入第一个方程消去$x$，先求$y$的值，再回代求$x$；
(2)(3)两个方程组中$y$的系数互为相反数，选择加减消元法，将两个方程相加即可消去$y$，先求$x$的值，再回代求$y$；
(4)第一个方程含分数系数，先去分母转化为整数系数方程，再观察到$x$的系数成倍数关系，用加减消元法消去$x$，先求$y$的值，再回代求$x$。
【解析】
(1)$\begin{cases} 3x - 4y = 2,① \\ x = 2y,② \end{cases}$
把②代入①，得$6y-4y=2$，解得$y=1$。
把$y=1$代入②，得$x=2$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=1. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} 3x - y = 3,① \\ 2x + y = 7,② \end{cases}$
①+②，得$5x=10$，解得$x=2$。
把$x=2$代入①，得$6-y=3$，解得$y=3$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=3. \end{cases}$
(3)$\begin{cases} x + y = 6,① \\ 3x - y = -2,② \end{cases}$
由①+②，得$4x=4$，解得$x=1$。
将$x=1$代入①，得$1+y=6$，解得$y=5$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=5. \end{cases}$
(4)$\begin{cases} \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{3} = 1,① \\ -2x + 3y = 1,② \end{cases}$
将①去分母化简，得$3x-2y=6$ ③。
由③$×2$，得$6x-4y=12$ ④，
由②$×3$，得$-6x+9y=3$ ⑤，
④+⑤，得$5y=15$，解得$y=3$。
将$y=3$代入②，得$-2x+9=1$，解得$x=4$。
$\therefore$原方程组的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=3. \end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=2,\\y=1\end{cases}$；(2)$\begin{cases}x=2,\\y=3\end{cases}$；(3)$\begin{cases}x=1,\\y=5\end{cases}$；(4)$\begin{cases}x=4,\\y=3\end{cases}$
【知识点】
代入消元法、加减消元法、二元一次方程组求解
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础训练题，覆盖了两种核心消元方法，还涉及含分数系数方程的化简，解题时需根据方程组的特征灵活选择消元方法，能有效巩固消元思想，提升计算的准确率和解题效率。
【难度系数】
0.8