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(1) 在“密码学”中，我们会用到进制转换，如二进制数要经过如下转换才能得到十进制数：$(10011)_2=(10000)_2 × 1 + (10)_2 × 1 + (1)_2 × 1 = 16 × 1 + 2 × 1 + 1 × 1 = 19$，那么十进制数25用二进制表示为(
11001
)。答案
11001
解析
【分析】
要将十进制数转换为二进制数，我们可以用两种适合的思路求解：一是拆分法，先列出比25小的、由若干个2相乘得到的数（1、2、4、8、16），再把25拆成这些数的和，存在对应数的数位写1，不存在的写0即可；二是除2取余法，每次将数除以2记录余数，直到商为0，最后把余数从后往前排列，就能得到对应的二进制数。
【解析】
方法一：拆分法
1. 先列出从小到大的2的乘积：$1=2^0$，$2=2^1$，$4=2^2$，$8=2^3$，$16=2^4$，下一个是32，大于25无需考虑。
2. 拆分25：$25=16+8+1$，即25包含16、8、1，不包含4、2。
3. 从最高位（对应16）到最低位（对应1）依次写数：有对应数的位置写1，没有的写0，得到1、1、0、0、1，组合为11001。
方法二：除2取余法
1. $25÷2=12$，余数1；
2. $12÷2=6$，余数0；
3. $6÷2=3$，余数0；
4. $3÷2=1$，余数1；
5. $1÷2=0$，余数1；
将所得余数从最后一个到第一个倒序排列，得到11001。
【答案】
11001
【知识点】
进制转换；十进制转二进制
【点评】
本题结合密码学的趣味场景考查进制转换的基础方法，核心是掌握十进制转二进制的拆分法或除2取余法，注重基础方法的应用，只要掌握对应方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要将十进制数转换为二进制数，我们可以用两种适合的思路求解：一是拆分法，先列出比25小的、由若干个2相乘得到的数（1、2、4、8、16），再把25拆成这些数的和，存在对应数的数位写1，不存在的写0即可；二是除2取余法，每次将数除以2记录余数，直到商为0，最后把余数从后往前排列，就能得到对应的二进制数。
【解析】
方法一：拆分法
1. 先列出从小到大的2的乘积：$1=2^0$，$2=2^1$，$4=2^2$，$8=2^3$，$16=2^4$，下一个是32，大于25无需考虑。
2. 拆分25：$25=16+8+1$，即25包含16、8、1，不包含4、2。
3. 从最高位（对应16）到最低位（对应1）依次写数：有对应数的位置写1，没有的写0，得到1、1、0、0、1，组合为11001。
方法二：除2取余法
1. $25÷2=12$，余数1；
2. $12÷2=6$，余数0；
3. $6÷2=3$，余数0；
4. $3÷2=1$，余数1；
5. $1÷2=0$，余数1；
将所得余数从最后一个到第一个倒序排列，得到11001。
【答案】
11001
【知识点】
进制转换；十进制转二进制
【点评】
本题结合密码学的趣味场景考查进制转换的基础方法，核心是掌握十进制转二进制的拆分法或除2取余法，注重基础方法的应用，只要掌握对应方法就能快速求解。
【难度系数】
0.7
（2）二进制数1011用十进制表示为$(1000)_2×1+(10)_2×1+(1)_2×1=8×1+2×1+1×1=11$，二进制数1101用十进制表示为$(1000)_2×1+(100)_2×1+(1)_2×1=8×1+4×1+1×1=13$，那么二进制数101011用十进制表示为（
43
）。答案
43
解析
【分析】
解题时我们先观察题目给出的二进制转十进制的示例，找到规律：二进制数里，$(1)_2$对应十进制的1，每在末尾多写1个0，对应的十进制数就乘2，也就是$(10)_2=2$，$(100)_2=4$，$(1000)_2=8$，以此类推。换算时，我们只需要把二进制数拆成不同末尾带0的二进制数乘对应数位上的数字（1或0），再把所有结果加起来，就能得到对应的十进制数，接下来按这个方法拆分101011计算即可。
【解析】
先根据示例规律推导更长的二进制整十数对应的十进制值：
$(10000)_2=8×2=16$，$(100000)_2=16×2=32$
再拆分二进制数101011，按规则计算：
$\begin{split}&(100000)_2×1 + (10000)_2×0 + (1000)_2×1 + (100)_2×0 + (10)_2×1 + (1)_2×1\\=&32×1 + 16×0 + 8×1 + 4×0 + 2×1 + 1×1\\=&32+0+8+0+2+1\\=&43\end{split}$
【答案】
43
【知识点】
1. 二进制转十进制 2. 位值计算
【点评】
本题属于方法迁移类计算题，只需结合给出的示例掌握二进制转十进制的按位求和规则，细心计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时我们先观察题目给出的二进制转十进制的示例，找到规律：二进制数里，$(1)_2$对应十进制的1，每在末尾多写1个0，对应的十进制数就乘2，也就是$(10)_2=2$，$(100)_2=4$，$(1000)_2=8$，以此类推。换算时，我们只需要把二进制数拆成不同末尾带0的二进制数乘对应数位上的数字（1或0），再把所有结果加起来，就能得到对应的十进制数，接下来按这个方法拆分101011计算即可。
【解析】
先根据示例规律推导更长的二进制整十数对应的十进制值：
$(10000)_2=8×2=16$，$(100000)_2=16×2=32$
再拆分二进制数101011，按规则计算：
$\begin{split}&(100000)_2×1 + (10000)_2×0 + (1000)_2×1 + (100)_2×0 + (10)_2×1 + (1)_2×1\\=&32×1 + 16×0 + 8×1 + 4×0 + 2×1 + 1×1\\=&32+0+8+0+2+1\\=&43\end{split}$
【答案】
43
【知识点】
1. 二进制转十进制 2. 位值计算
【点评】
本题属于方法迁移类计算题，只需结合给出的示例掌握二进制转十进制的按位求和规则，细心计算即可得出结果。
【难度系数】
0.8
(3) 新趋势 数学文化 古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”。如图，一位母亲在排列的绳子上从右到左依次打结，满七进一，用来记录孩子出生的天数，则该孩子出生的天数是(
)。
)。答案
520
解析
【分析】
这道题是“满七进一”的结绳计数问题，我们可以类比熟悉的十进制计数法来思考：十进制满十进一，从右到左各数位的计数单位分别是1（10⁰）、10（10¹）、100（10²）、1000（10³）……以此类推，满七进一的计数规则下，从右到左各数位的计数单位就是1（7⁰）、7（7¹）、49（7²）、343（7³）。解题时先数清楚从右到左每根绳子上的结数，再用每个位置的结数乘对应的计数单位，最后把所有结果相加就能得到总天数。
【解析】
1. 确定各数位的计数单位：
从右到左，第一位（最右侧）计数单位：$7^0=1$
第二位计数单位：$7^1=7$
第三位计数单位：$7^2=49$
第四位（最左侧）计数单位：$7^3=343$
2. 数出每根绳子的结数：从右到左依次是2个、4个、3个、1个。
3. 计算总天数：
$1×343 + 3×49 + 4×7 + 2×1$
$=343 + 147 + 28 + 2$
$=520$
【答案】
520
【知识点】
进位制计数，整数四则运算，类比推理
【点评】
本题结合传统“结绳记数”的数学文化，考查知识迁移能力，需要学生把已学的十进制计数规则类比应用到七进制的计算中，能很好地锻炼学生的逻辑思维和知识活用能力。
【难度系数】
0.6
这道题是“满七进一”的结绳计数问题，我们可以类比熟悉的十进制计数法来思考：十进制满十进一，从右到左各数位的计数单位分别是1（10⁰）、10（10¹）、100（10²）、1000（10³）……以此类推，满七进一的计数规则下，从右到左各数位的计数单位就是1（7⁰）、7（7¹）、49（7²）、343（7³）。解题时先数清楚从右到左每根绳子上的结数，再用每个位置的结数乘对应的计数单位，最后把所有结果相加就能得到总天数。
【解析】
1. 确定各数位的计数单位：
从右到左，第一位（最右侧）计数单位：$7^0=1$
第二位计数单位：$7^1=7$
第三位计数单位：$7^2=49$
第四位（最左侧）计数单位：$7^3=343$
2. 数出每根绳子的结数：从右到左依次是2个、4个、3个、1个。
3. 计算总天数：
$1×343 + 3×49 + 4×7 + 2×1$
$=343 + 147 + 28 + 2$
$=520$
【答案】
520
【知识点】
进位制计数，整数四则运算，类比推理
【点评】
本题结合传统“结绳记数”的数学文化，考查知识迁移能力，需要学生把已学的十进制计数规则类比应用到七进制的计算中，能很好地锻炼学生的逻辑思维和知识活用能力。
【难度系数】
0.6
(4) 新情境 学科融合 成语“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口的大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的两个儿子又分别有两个儿子，依次类推。愚公和他的子孙每人一生能搬运100吨石头。如果愚公是第1代，那么到了第(
13
)代，这座大山可以搬完。(已知10个2连乘之积等于1024)答案
13
解析
【分析】
首先我们先梳理人数规律：第1代只有愚公1人，每一代的人数都是上一代的2倍，我们可以先通过小的代数验证前n代总人数的计算规律，再计算总搬运量，总搬运量需要大于等于大山的重量80万吨，结合已知的10个2连乘等于1024的条件，逐步计算到符合要求的代数即可。
【解析】
首先统一单位：80万吨=800000吨
1. 梳理人数及总人数规律：
第1代人数：1人，前1代总人数=1=2¹ - 1
第2代人数：2人，前2代总人数=1+2=3=2² - 1
第3代人数：4人，前3代总人数=1+2+4=7=2³ - 1
……
可得出规律：前n代总人数=2ⁿ - 1
2. 列搬运量要求：
每人搬100吨，总搬运量需要≥800000吨，即：
(2ⁿ - 1)×100 ≥ 800000
化简得：2ⁿ - 1 ≥ 8000，也就是2ⁿ ≥ 8001
3. 计算2的幂次：
已知2¹⁰=1024，可得：
2¹¹=1024×2=2048
2¹²=2048×2=4096
2¹³=4096×2=8192
2¹²=4096＜8001，不符合要求；2¹³=8192≥8001，符合要求，因此n=13。
【答案】
13
【知识点】
乘方应用、规律探究、单位换算
【点评】
本题结合传统文化情境出题，解题的关键是准确找到前n代总人数的计算规律，注意不要误将第n代的人数当做总人数计算，只要理清数量关系结合乘方运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
首先我们先梳理人数规律：第1代只有愚公1人，每一代的人数都是上一代的2倍，我们可以先通过小的代数验证前n代总人数的计算规律，再计算总搬运量，总搬运量需要大于等于大山的重量80万吨，结合已知的10个2连乘等于1024的条件，逐步计算到符合要求的代数即可。
【解析】
首先统一单位：80万吨=800000吨
1. 梳理人数及总人数规律：
第1代人数：1人，前1代总人数=1=2¹ - 1
第2代人数：2人，前2代总人数=1+2=3=2² - 1
第3代人数：4人，前3代总人数=1+2+4=7=2³ - 1
……
可得出规律：前n代总人数=2ⁿ - 1
2. 列搬运量要求：
每人搬100吨，总搬运量需要≥800000吨，即：
(2ⁿ - 1)×100 ≥ 800000
化简得：2ⁿ - 1 ≥ 8000，也就是2ⁿ ≥ 8001
3. 计算2的幂次：
已知2¹⁰=1024，可得：
2¹¹=1024×2=2048
2¹²=2048×2=4096
2¹³=4096×2=8192
2¹²=4096＜8001，不符合要求；2¹³=8192≥8001，符合要求，因此n=13。
【答案】
13
【知识点】
乘方应用、规律探究、单位换算
【点评】
本题结合传统文化情境出题，解题的关键是准确找到前n代总人数的计算规律，注意不要误将第n代的人数当做总人数计算，只要理清数量关系结合乘方运算就能顺利求解。
【难度系数】
0.65
2. 将下面的十进制数转化为二进制数。
(1) 10
(2) 34
(1) 10
(2) 34
答案
(1) 1010
(2) 100010
(2) 100010
解析
【分析】
十进制数转二进制数可以用“除2取余法”，解题思路如下：把需要转换的十进制数反复除以2，每次计算后记录下余数，直到所得的商为0时停止运算，最后把记录的所有余数按照从最后一个到第一个的顺序倒序排列，得到的数就是对应的二进制数。我们按照这个方法分别对10和34进行转换即可。
【解析】
(1) 转换10为二进制：
① 10÷2=5，余数是0
② 5÷2=2，余数是1
③ 2÷2=1，余数是0
④ 1÷2=0，余数是1
将余数从后往前倒序排列：1、0、1、0，得到1010。
(2) 转换34为二进制：
① 34÷2=17，余数是0
② 17÷2=8，余数是1
③ 8÷2=4，余数是0
④ 4÷2=2，余数是0
⑤ 2÷2=1，余数是0
⑥ 1÷2=0，余数是1
将余数从后往前倒序排列：1、0、0、0、1、0，得到100010。
【答案】
(1) 1010
(2) 100010
【知识点】
1. 十进制转二进制
2. 除2取余法
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心是熟练掌握除2取余、倒序排列的转换规则，计算时要注意余数的记录顺序，避免倒序时出错，多加练习即可快速完成转换。
【难度系数】
0.8
十进制数转二进制数可以用“除2取余法”，解题思路如下：把需要转换的十进制数反复除以2，每次计算后记录下余数，直到所得的商为0时停止运算，最后把记录的所有余数按照从最后一个到第一个的顺序倒序排列，得到的数就是对应的二进制数。我们按照这个方法分别对10和34进行转换即可。
【解析】
(1) 转换10为二进制：
① 10÷2=5，余数是0
② 5÷2=2，余数是1
③ 2÷2=1，余数是0
④ 1÷2=0，余数是1
将余数从后往前倒序排列：1、0、1、0，得到1010。
(2) 转换34为二进制：
① 34÷2=17，余数是0
② 17÷2=8，余数是1
③ 8÷2=4，余数是0
④ 4÷2=2，余数是0
⑤ 2÷2=1，余数是0
⑥ 1÷2=0，余数是1
将余数从后往前倒序排列：1、0、0、0、1、0，得到100010。
【答案】
(1) 1010
(2) 100010
【知识点】
1. 十进制转二进制
2. 除2取余法
【点评】
本题是进制转换的基础题型，核心是熟练掌握除2取余、倒序排列的转换规则，计算时要注意余数的记录顺序，避免倒序时出错，多加练习即可快速完成转换。
【难度系数】
0.8
(1) 图中的数字6对应的是
（
（
B
）。答案
B
解析
【分析】
首先我们需要通过已知的图案与对应数字的关系，总结出颜色、位置和数值的对应规律：观察发现三个位置从左到右分别代表数值4、2、1，粉色代表包含该位置的数值，绿色代表不包含该位置的数值。接下来我们把数字6拆成4、2、1的和，确定哪几个位置是粉色，就能匹配到对应的选项。
【解析】
1. 分析已知对应关系：
三个全绿对应0，说明绿色代表不含该位数值；
仅最右侧粉色对应1，说明最右侧位代表数值1，粉色代表包含该位数值；
仅中间粉色对应2，说明中间位代表数值2；
仅最左侧粉色对应4，说明最左侧位代表数值4。
验证其余已知项：3=2+1对应中、右位粉色，5=4+1对应左、右位粉色，7=4+2+1对应全粉，均符合规律。
2. 拆分数字6：6=4+2，说明左位（4的位）、中位（2的位）为粉色，右位（1的位）为绿色，对应图案是粉、粉、绿，匹配选项B。
【答案】
B
【知识点】
找规律、二进制基础、整数拆分
【点评】
本题需要先观察总结规律，再利用规律推导结果，能很好地锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先我们需要通过已知的图案与对应数字的关系，总结出颜色、位置和数值的对应规律：观察发现三个位置从左到右分别代表数值4、2、1，粉色代表包含该位置的数值，绿色代表不包含该位置的数值。接下来我们把数字6拆成4、2、1的和，确定哪几个位置是粉色，就能匹配到对应的选项。
【解析】
1. 分析已知对应关系：
三个全绿对应0，说明绿色代表不含该位数值；
仅最右侧粉色对应1，说明最右侧位代表数值1，粉色代表包含该位数值；
仅中间粉色对应2，说明中间位代表数值2；
仅最左侧粉色对应4，说明最左侧位代表数值4。
验证其余已知项：3=2+1对应中、右位粉色，5=4+1对应左、右位粉色，7=4+2+1对应全粉，均符合规律。
2. 拆分数字6：6=4+2，说明左位（4的位）、中位（2的位）为粉色，右位（1的位）为绿色，对应图案是粉、粉、绿，匹配选项B。
【答案】
B
【知识点】
找规律、二进制基础、整数拆分
【点评】
本题需要先观察总结规律，再利用规律推导结果，能很好地锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
（2）不同的字母表示不同的数字，关于下面四进制的加法运算，描述正确的有（
A.字母A的值是2
B.字母B的值是3
C.字母C的值是2
D.字母D的值是1
C
）。A.字母A的值是2
B.字母B的值是3
C.字母C的值是2
D.字母D的值是1
答案
C
解析
【分析】这是四进制的加法竖式题，解题核心是抓住四进制“满4进1”的规则，先从最高位（千位）找突破口，再逐位推导每个字母代表的数字，最后对比选项判断对错。首先，两个三位数相加得到四位数，四进制下最高位只能是1，先确定B的值，再依次推导个位、十位、百位的数字，注意不同字母代表不同数字，且四进制单个数字范围是0~3。
【解析】首先明确四进制规则：满4进1，单个数字只能是0、1、2、3，不同字母代表不同数字。
1. 确定千位数字B：两个三位数相加得到四位数，四进制下和的最高位只能是1，因此$\boxed{B=1}$，直接排除B选项。
2. 推导个位：个位上$C+C$的个位结果是D，因为C最小是0，最大是3：
若个位不进位，则$2C=D$，尝试可能的C值：C=0时D=0（数字重复，排除）；C=2时D=4（超过四进制最大数字3，排除），因此个位一定进位1，可得$2C = D + 4$，即$D=2C-4$，且个位进位是1。
由D≥0得$2C≥4$，C只能是2或3：
若C=2，则$D=2×2-4=0$，符合数字范围，且和B=1不重复。
若C=3，则$D=2×3-4=2$，后续验证十位会出现矛盾，排除。
3. 推导十位：十位上是$B+D+\mathrm{个位进位}=1+0+1=2$，结果的十位是C，刚好$C=2$，十位相加不满4，无进位。
4. 推导百位：百位上$A+B+\mathrm{十位进位}=A+1+0$，相加后要进位1到千位，因此$A+1 = D + 4$，代入D=0得$A=4-1=3$。
最终得到：A=3，B=1，C=2，D=0，对比选项，只有C选项描述正确。
【答案】C
【知识点】四进制加法、数字谜、进位制规则
【点评】本题属于进位制数字谜问题，解题关键是先从最高位确定特殊值，再结合进位规则逐位推导，验证过程中要注意进位制下数字的取值范围，避免出现不符合规则的数字。
【难度系数】0.6
【解析】首先明确四进制规则：满4进1，单个数字只能是0、1、2、3，不同字母代表不同数字。
1. 确定千位数字B：两个三位数相加得到四位数，四进制下和的最高位只能是1，因此$\boxed{B=1}$，直接排除B选项。
2. 推导个位：个位上$C+C$的个位结果是D，因为C最小是0，最大是3：
若个位不进位，则$2C=D$，尝试可能的C值：C=0时D=0（数字重复，排除）；C=2时D=4（超过四进制最大数字3，排除），因此个位一定进位1，可得$2C = D + 4$，即$D=2C-4$，且个位进位是1。
由D≥0得$2C≥4$，C只能是2或3：
若C=2，则$D=2×2-4=0$，符合数字范围，且和B=1不重复。
若C=3，则$D=2×3-4=2$，后续验证十位会出现矛盾，排除。
3. 推导十位：十位上是$B+D+\mathrm{个位进位}=1+0+1=2$，结果的十位是C，刚好$C=2$，十位相加不满4，无进位。
4. 推导百位：百位上$A+B+\mathrm{十位进位}=A+1+0$，相加后要进位1到千位，因此$A+1 = D + 4$，代入D=0得$A=4-1=3$。
最终得到：A=3，B=1，C=2，D=0，对比选项，只有C选项描述正确。
【答案】C
【知识点】四进制加法、数字谜、进位制规则
【点评】本题属于进位制数字谜问题，解题关键是先从最高位确定特殊值，再结合进位规则逐位推导，验证过程中要注意进位制下数字的取值范围，避免出现不符合规则的数字。
【难度系数】0.6
4. 新素养 推理意识 魔术师给观众表演魔术，他拿出如下5张写了数的卡片，让观众在1～31中任意选一个数，并说出分别在第几张出现了，然后魔术师马上说出观众选的数是多少，如观众选的数在第3，5张中出现，则这个数是$20(20=(10000)_2 × 1 + (100)_2 × 1 = 16 × 1 + 4 × 1)$。如果观众选的数在第2，3，5张中出现了，那么这个数是多少？
答案
$(10110)_2=(10000)_2 × 1+(100)_2 × 1+(10)_2 × 1=16×1+4×1+2×1=22$ 答:这个数是22。
解析:这个魔术的原理是利用二进制数的表示。5张卡片分别对应二进制数的5位,据此求解。
解析:这个魔术的原理是利用二进制数的表示。5张卡片分别对应二进制数的5位,据此求解。
解析
【分析】
我们先从题目给出的示例推导规律：示例中数在第3、5张出现时，结果为16+4=20，可得出每张卡片对应固定的数值：第n张卡片对应的数值是2的(n-1)次方，即第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。这个魔术的本质是1~31的数都可以用5位二进制数表示，某张卡片上有观众选的数，说明这个数的二进制对应数位是1，只要把出现的卡片对应的数值相加，就能得到最终的数。解题时先确定第2、3、5张卡片对应的数值，再求和即可。
【解析】
首先明确每张卡片对应的十进制数值：
第1张对应：$2^0=1$
第2张对应：$2^1=2$
第3张对应：$2^2=4$
第4张对应：$2^3=8$
第5张对应：$2^4=16$
观众选的数在第2、3、5张出现，将这三张对应的数值相加：
$16+4+2=22$
也可通过二进制转换计算：第2、3、5张对应二进制数位为1，其余数位为0，得到二进制数$(10110)_2$，转换为十进制为$16×1 + 4×1 + 2×1=22$。
【答案】
22
【知识点】
二进制计数，进制转换，规律探究
【点评】
本题结合趣味魔术场景考查二进制的实际应用，解题的核心是通过示例找到卡片和二进制数位的对应关系，能够很好地锻炼逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
我们先从题目给出的示例推导规律：示例中数在第3、5张出现时，结果为16+4=20，可得出每张卡片对应固定的数值：第n张卡片对应的数值是2的(n-1)次方，即第1张对应1，第2张对应2，第3张对应4，第4张对应8，第5张对应16。这个魔术的本质是1~31的数都可以用5位二进制数表示，某张卡片上有观众选的数，说明这个数的二进制对应数位是1，只要把出现的卡片对应的数值相加，就能得到最终的数。解题时先确定第2、3、5张卡片对应的数值，再求和即可。
【解析】
首先明确每张卡片对应的十进制数值：
第1张对应：$2^0=1$
第2张对应：$2^1=2$
第3张对应：$2^2=4$
第4张对应：$2^3=8$
第5张对应：$2^4=16$
观众选的数在第2、3、5张出现，将这三张对应的数值相加：
$16+4+2=22$
也可通过二进制转换计算：第2、3、5张对应二进制数位为1，其余数位为0，得到二进制数$(10110)_2$，转换为十进制为$16×1 + 4×1 + 2×1=22$。
【答案】
22
【知识点】
二进制计数，进制转换，规律探究
【点评】
本题结合趣味魔术场景考查二进制的实际应用，解题的核心是通过示例找到卡片和二进制数位的对应关系，能够很好地锻炼逻辑推理能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.6
