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重点突破
一、整数、分数和小数的再认识
1. 下面关于计数单位的说法，错误的是(
A.整数的计数单位之间的进率是10
B.0.85的计数单位是0.01，它有85个这样的计数单位
C.$\frac{3}{4}$的计数单位比$\frac{3}{5}$的计数单位大
D.1.20和1.2的大小相等，计数单位不同
一、整数、分数和小数的再认识
1. 下面关于计数单位的说法，错误的是(
A
)。A.整数的计数单位之间的进率是10
B.0.85的计数单位是0.01，它有85个这样的计数单位
C.$\frac{3}{4}$的计数单位比$\frac{3}{5}$的计数单位大
D.1.20和1.2的大小相等，计数单位不同
答案
1. A
解析
【分析】
这道题考查整数、小数、分数的计数单位相关知识，解题时需要逐个分析每个选项的说法是否正确，解题思路如下：①判断A选项要注意整数计数单位进率为10的前提是“相邻”；②判断B选项要明确两位小数的计数单位是0.01，求计数单位的个数用数的大小除以计数单位即可；③判断C选项要知道分数的计数单位是分母分之一，分子相同的分数分母越小值越大；④判断D选项要结合小数的性质，小数末尾添上或去掉0大小不变，但计数单位会随小数位数变化。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：整数的计数单位中，只有相邻的两个计数单位之间的进率才是10，该选项没有说明“相邻”，说法错误。
B选项：0.85是两位小数，计数单位是0.01，$0.85÷0.01=85$，即它有85个这样的计数单位，说法正确。
C选项：分数的计数单位是分母分之一，$\frac{3}{4}$的计数单位是$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{5}$的计数单位是$\frac{1}{5}$，分子相同的分数分母越小值越大，$\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$，所以$\frac{3}{4}$的计数单位更大，说法正确。
D选项：根据小数的性质，小数末尾添上或去掉0大小不变，所以$1.20=1.2$；1.20的计数单位是0.01，1.2的计数单位是0.1，二者计数单位不同，说法正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
计数单位的认识；小数的性质；分数单位
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于容易忽略A选项中“相邻”这个前提条件，误将整数所有计数单位的进率都认为是10，解题时要注意抠准概念的限定条件。
【难度系数】
0.7
这道题考查整数、小数、分数的计数单位相关知识，解题时需要逐个分析每个选项的说法是否正确，解题思路如下：①判断A选项要注意整数计数单位进率为10的前提是“相邻”；②判断B选项要明确两位小数的计数单位是0.01，求计数单位的个数用数的大小除以计数单位即可；③判断C选项要知道分数的计数单位是分母分之一，分子相同的分数分母越小值越大；④判断D选项要结合小数的性质，小数末尾添上或去掉0大小不变，但计数单位会随小数位数变化。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：整数的计数单位中，只有相邻的两个计数单位之间的进率才是10，该选项没有说明“相邻”，说法错误。
B选项：0.85是两位小数，计数单位是0.01，$0.85÷0.01=85$，即它有85个这样的计数单位，说法正确。
C选项：分数的计数单位是分母分之一，$\frac{3}{4}$的计数单位是$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{5}$的计数单位是$\frac{1}{5}$，分子相同的分数分母越小值越大，$\frac{1}{4}＞\frac{1}{5}$，所以$\frac{3}{4}$的计数单位更大，说法正确。
D选项：根据小数的性质，小数末尾添上或去掉0大小不变，所以$1.20=1.2$；1.20的计数单位是0.01，1.2的计数单位是0.1，二者计数单位不同，说法正确。
综上，错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
计数单位的认识；小数的性质；分数单位
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于容易忽略A选项中“相邻”这个前提条件，误将整数所有计数单位的进率都认为是10，解题时要注意抠准概念的限定条件。
【难度系数】
0.7
二、加、减法的再认识
2. 根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。
（1）$75 + 142 = 217$
$750 + 1420 = (\ )$ $7500 + 14200 = (\ )$
$7.5 + 14.2 = (\ )$ $0.75 + 1.42 = (\ )$
（2）$82 - 24 = 58$
$8.2 - 2.4 = (\ )$ $820 - 240 = (\ )$
$0.82 - 0.24 = (\ )$ $8200 - 2400 = (\ )$
2. 根据每组中第一题的得数，直接写出其余各题的得数。
（1）$75 + 142 = 217$
$750 + 1420 = (\ )$ $7500 + 14200 = (\ )$
$7.5 + 14.2 = (\ )$ $0.75 + 1.42 = (\ )$
（2）$82 - 24 = 58$
$8.2 - 2.4 = (\ )$ $820 - 240 = (\ )$
$0.82 - 0.24 = (\ )$ $8200 - 2400 = (\ )$
答案
2. (1) 2170 21700 21.7 2.17
(2) 5.8 580 0.58 5800
(2) 5.8 580 0.58 5800
解析
【分析】
这道题可以利用加减法的变化规律快速解题，无需重新计算。加法运算中，若两个加数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），和也会随之扩大或缩小相同的倍数；减法运算中，若被减数和减数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），差也会随之扩大或缩小相同的倍数。我们只需要对比每题中的数和原式对应数的变化关系，把原式结果做对应调整即可得到答案。
【解析】
（1）已知$75 + 142 = 217$
$750=75×10$，$1420=142×10$，两个加数同时乘10，和也乘10：$217×10=2170$
$7500=75×100$，$14200=142×100$，两个加数同时乘100，和也乘100：$217×100=21700$
$7.5=75÷10$，$14.2=142÷10$，两个加数同时除以10，和也除以10：$217÷10=21.7$
$0.75=75÷100$，$1.42=142÷100$，两个加数同时除以100，和也除以100：$217÷100=2.17$
（2）已知$82 - 24 = 58$
$8.2=82÷10$，$2.4=24÷10$，被减数和减数同时除以10，差也除以10：$58÷10=5.8$
$820=82×10$，$240=24×10$，被减数和减数同时乘10，差也乘10：$58×10=580$
$0.82=82÷100$，$0.24=24÷100$，被减数和减数同时除以100，差也除以100：$58÷100=0.58$
$8200=82×100$，$2400=24×100$，被减数和减数同时乘100，差也乘100：$58×100=5800$
【答案】
(1) 2170 21700 21.7 2.17
(2) 5.8 580 0.58 5800
【知识点】
和的变化规律、差的变化规律、小数加减法
【点评】
本题考查加减法运算中各部分变化对结果的影响，掌握对应规律可以简化运算、提升计算效率，是加减法速算的常用技巧。
【难度系数】
0.85
这道题可以利用加减法的变化规律快速解题，无需重新计算。加法运算中，若两个加数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），和也会随之扩大或缩小相同的倍数；减法运算中，若被减数和减数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），差也会随之扩大或缩小相同的倍数。我们只需要对比每题中的数和原式对应数的变化关系，把原式结果做对应调整即可得到答案。
【解析】
（1）已知$75 + 142 = 217$
$750=75×10$，$1420=142×10$，两个加数同时乘10，和也乘10：$217×10=2170$
$7500=75×100$，$14200=142×100$，两个加数同时乘100，和也乘100：$217×100=21700$
$7.5=75÷10$，$14.2=142÷10$，两个加数同时除以10，和也除以10：$217÷10=21.7$
$0.75=75÷100$，$1.42=142÷100$，两个加数同时除以100，和也除以100：$217÷100=2.17$
（2）已知$82 - 24 = 58$
$8.2=82÷10$，$2.4=24÷10$，被减数和减数同时除以10，差也除以10：$58÷10=5.8$
$820=82×10$，$240=24×10$，被减数和减数同时乘10，差也乘10：$58×10=580$
$0.82=82÷100$，$0.24=24÷100$，被减数和减数同时除以100，差也除以100：$58÷100=0.58$
$8200=82×100$，$2400=24×100$，被减数和减数同时乘100，差也乘100：$58×100=5800$
【答案】
(1) 2170 21700 21.7 2.17
(2) 5.8 580 0.58 5800
【知识点】
和的变化规律、差的变化规律、小数加减法
【点评】
本题考查加减法运算中各部分变化对结果的影响，掌握对应规律可以简化运算、提升计算效率，是加减法速算的常用技巧。
【难度系数】
0.85
(1)若□25×5的积是2625，则□里的数字是(
5
)，该算式中乘数的计数单位是(一
)，积的计数单位是(一
)。答案
3.(1) 5 一 一
解析
【分析】
要解决这道题分两步思考：第一步求方框里的数字，根据乘法各部分的关系，已知积和其中一个乘数，求另一个乘数用除法计算，算出结果后就能得到方框里的数；第二步判断计数单位，整数的计数单位由最低数位决定，最低位是个位的整数，计数单位为“一”，分别观察乘数和积的最低数位即可得出结果。
【解析】
1. 计算方框内的数字：
根据乘除法的互逆关系，一个因数=积÷另一个因数，代入数据得：
$2625÷5=525$
因此$□25=525$，可得$□$里的数字是5。
2. 判断计数单位：
算式中的乘数是525和5，都是整数，最低位均为个位，所以乘数的计数单位是一；
积是2625，同样为整数，最低位是个位，所以积的计数单位是一。
【答案】
5；一；一
【知识点】
乘除法互逆关系；整数的计数单位
【点评】
本题考查基础运算关系和计数单位的概念，难度较低，熟练掌握乘除法的运算逻辑和计数单位的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.85
要解决这道题分两步思考：第一步求方框里的数字，根据乘法各部分的关系，已知积和其中一个乘数，求另一个乘数用除法计算，算出结果后就能得到方框里的数；第二步判断计数单位，整数的计数单位由最低数位决定，最低位是个位的整数，计数单位为“一”，分别观察乘数和积的最低数位即可得出结果。
【解析】
1. 计算方框内的数字：
根据乘除法的互逆关系，一个因数=积÷另一个因数，代入数据得：
$2625÷5=525$
因此$□25=525$，可得$□$里的数字是5。
2. 判断计数单位：
算式中的乘数是525和5，都是整数，最低位均为个位，所以乘数的计数单位是一；
积是2625，同样为整数，最低位是个位，所以积的计数单位是一。
【答案】
5；一；一
【知识点】
乘除法互逆关系；整数的计数单位
【点评】
本题考查基础运算关系和计数单位的概念，难度较低，熟练掌握乘除法的运算逻辑和计数单位的判定规则即可快速作答。
【难度系数】
0.85
(2) 0.25 的计数单位是 0.01，它与 0.7 相乘，先算 $25×7=175$，即得到 175 个(
一
)，最后的结果的计数单位为(0.001
)。答案
3.(2) 一 0.001
解析
【分析】
解题时先回忆小数乘法的算理：计算小数乘法时，先将小数转化为整数按整数乘法计算，再根据因数的总小数位数确定积的小数位数。首先看整数乘法步骤，把0.25扩大100倍成25、0.7扩大10倍成7，二者相乘得到的175是整数，对应计数单位就是一；再统计两个因数的小数位数总和，可确定最终积的小数位数，进而得到最终结果的计数单位。
【解析】
1. 先看整数乘法步骤：计算0.25×0.7时，先按整数乘法计算25×7=175，这里25和7都是整数，得到的175是整数，也就是175个一。
2. 再确定最终积的计数单位：0.25是两位小数，0.7是一位小数，两个因数总共有2+1=3位小数，因此需要把175缩小到原来的$\frac{1}{1000}$得到积0.175，0.175是三位小数，它的计数单位是0.001。
【答案】
一；0.001
【知识点】
小数乘法计算，小数的计数单位
【点评】
本题考查小数乘法的底层算理，需要理解小数转整数计算过程中积的变化规律，掌握不同位数小数对应的计数单位，属于小数乘法的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆小数乘法的算理：计算小数乘法时，先将小数转化为整数按整数乘法计算，再根据因数的总小数位数确定积的小数位数。首先看整数乘法步骤，把0.25扩大100倍成25、0.7扩大10倍成7，二者相乘得到的175是整数，对应计数单位就是一；再统计两个因数的小数位数总和，可确定最终积的小数位数，进而得到最终结果的计数单位。
【解析】
1. 先看整数乘法步骤：计算0.25×0.7时，先按整数乘法计算25×7=175，这里25和7都是整数，得到的175是整数，也就是175个一。
2. 再确定最终积的计数单位：0.25是两位小数，0.7是一位小数，两个因数总共有2+1=3位小数，因此需要把175缩小到原来的$\frac{1}{1000}$得到积0.175，0.175是三位小数，它的计数单位是0.001。
【答案】
一；0.001
【知识点】
小数乘法计算，小数的计数单位
【点评】
本题考查小数乘法的底层算理，需要理解小数转整数计算过程中积的变化规律，掌握不同位数小数对应的计数单位，属于小数乘法的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
4. 新趋势 算理理解 对于 $6300÷70$ 的计数单位转化思路，下面说法中错误的是(
A.可将6300看作63个百，70看作7个十，计数单位不统一无法简化计算
B.可将6300看作630个十，70看作7个十，转化为 $630÷7$ 计算
C.转化后计算出的商是90个一，最终结果为90
D.被除数和除数同时除以相同的计数单位的倍数，商不变
A
)。A.可将6300看作63个百，70看作7个十，计数单位不统一无法简化计算
B.可将6300看作630个十，70看作7个十，转化为 $630÷7$ 计算
C.转化后计算出的商是90个一，最终结果为90
D.被除数和除数同时除以相同的计数单位的倍数，商不变
答案
4. A
解析
【分析】
解题需结合商不变规律和计数单位转化的知识，逐一判断每个选项的正误。首先回忆核心知识点：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；进行除法口算时，可通过统一被除数和除数的计数单位简化计算，再逐个分析选项的表述是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
我们根据商不变规律和计数单位的相关知识逐一分析选项：
1. 分析选项A：6300看作63个百，70看作7个十，二者虽初始计数单位不同，但可统一计数单位为“十”：63个百=630个十，和7个十计数单位统一后可转化为630÷7计算，也可直接用商不变规律，将被除数和除数同时除以10简化计算，因此“计数单位不统一无法简化计算”的表述错误。
2. 分析选项B：6300里面有630个十，70里面有7个十，二者计数单位统一为“十”，就可以转化为630÷7计算，表述正确。
3. 分析选项C：转化后计算630÷7=90，90的计数单位是一，也就是90个一，最终结果为90，表述正确。
4. 分析选项D：被除数和除数同时除以相同的计数单位的倍数（即同一个不为0的数），符合商不变规律，商不变，表述正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
商不变规律，计数单位转化，口算除法
【点评】
本题侧重考查除法算理的理解，需要学生熟练掌握口算除法的转化思路，能灵活运用商不变规律判断计算方法的合理性。
【难度系数】
0.7
解题需结合商不变规律和计数单位转化的知识，逐一判断每个选项的正误。首先回忆核心知识点：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；进行除法口算时，可通过统一被除数和除数的计数单位简化计算，再逐个分析选项的表述是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
我们根据商不变规律和计数单位的相关知识逐一分析选项：
1. 分析选项A：6300看作63个百，70看作7个十，二者虽初始计数单位不同，但可统一计数单位为“十”：63个百=630个十，和7个十计数单位统一后可转化为630÷7计算，也可直接用商不变规律，将被除数和除数同时除以10简化计算，因此“计数单位不统一无法简化计算”的表述错误。
2. 分析选项B：6300里面有630个十，70里面有7个十，二者计数单位统一为“十”，就可以转化为630÷7计算，表述正确。
3. 分析选项C：转化后计算630÷7=90，90的计数单位是一，也就是90个一，最终结果为90，表述正确。
4. 分析选项D：被除数和除数同时除以相同的计数单位的倍数（即同一个不为0的数），符合商不变规律，商不变，表述正确。
综上，说法错误的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
商不变规律，计数单位转化，口算除法
【点评】
本题侧重考查除法算理的理解，需要学生熟练掌握口算除法的转化思路，能灵活运用商不变规律判断计算方法的合理性。
【难度系数】
0.7
5. 新素养 运算能力 从计数单位的角度算一算。
$0.2×15$
$1.6×\frac{1}{20}$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$4.8÷0.016$
$0.2×15$
$1.6×\frac{1}{20}$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$4.8÷0.016$
答案
5. $0.2×15$
$=(0.1×2)×(1×15)$
$=(0.1×1)×(2×15)$
$=0.1×30$
$=3$
$1.6×\frac{1}{20}$
$=1.6×0.05$
$=(0.1×16)×(0.01×5)$
$=(0.1×0.01)×(16×5)$
$=0.001×80$
$=0.08$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$=(\frac{1}{4}×3)÷(\frac{1}{8}×7)$
$=(\frac{1}{4}÷\frac{1}{8})×(3÷7)$
$=2×\frac{3}{7}$
$=\frac{6}{7}$
$4.8÷0.016$
$=(0.1×48)÷(0.001×16)$
$=(0.1÷0.001)×(48÷16)$
$=100×3$
$=300$
$=(0.1×2)×(1×15)$
$=(0.1×1)×(2×15)$
$=0.1×30$
$=3$
$1.6×\frac{1}{20}$
$=1.6×0.05$
$=(0.1×16)×(0.01×5)$
$=(0.1×0.01)×(16×5)$
$=0.001×80$
$=0.08$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$=(\frac{1}{4}×3)÷(\frac{1}{8}×7)$
$=(\frac{1}{4}÷\frac{1}{8})×(3÷7)$
$=2×\frac{3}{7}$
$=\frac{6}{7}$
$4.8÷0.016$
$=(0.1×48)÷(0.001×16)$
$=(0.1÷0.001)×(48÷16)$
$=100×3$
$=300$
解析
【分析】
本题要求从计数单位的角度计算，解题思路如下：第一步先将算式中的每个数拆成“计数单位×对应个数”的形式，比如小数拆为对应0.1、0.001等计数单位乘数量，分数拆为对应分数单位乘数量；第二步利用乘除法的交换律、结合律，把计数单位部分放在一起计算，对应的数量部分放在一起计算；第三步将两部分的计算结果相乘，就能得到最终答案，从计数单位出发计算能帮我们从数的组成本质理解运算逻辑。
【解析】
$0.2×15$
$=(0.1×2)×(1×15)$
$=(0.1×1)×(2×15)$
$=0.1×30$
$=3$
$1.6×\frac{1}{20}$
$=1.6×0.05$
$=(0.1×16)×(0.01×5)$
$=(0.1×0.01)×(16×5)$
$=0.001×80$
$=0.08$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$=(\frac{1}{4}×3)÷(\frac{1}{8}×7)$
$=(\frac{1}{4}÷\frac{1}{8})×(3÷7)$
$=2×\frac{3}{7}$
$=\frac{6}{7}$
$4.8÷0.016$
$=(0.1×48)÷(0.001×16)$
$=(0.1÷0.001)×(48÷16)$
$=100×3$
$=300$
【答案】
$0.2×15=3$；$1.6×\frac{1}{20}=0.08$；$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}=\frac{6}{7}$；$4.8÷0.016=300$
【知识点】
计数单位的意义、乘除法运算律、分数小数四则运算
【点评】
本题从计数单位的本质维度考查乘除法运算，能够引导学生打破机械套用计算法则的惯性，深入理解运算的底层逻辑，有效提升运算核心素养。
【难度系数】
0.7
本题要求从计数单位的角度计算，解题思路如下：第一步先将算式中的每个数拆成“计数单位×对应个数”的形式，比如小数拆为对应0.1、0.001等计数单位乘数量，分数拆为对应分数单位乘数量；第二步利用乘除法的交换律、结合律，把计数单位部分放在一起计算，对应的数量部分放在一起计算；第三步将两部分的计算结果相乘，就能得到最终答案，从计数单位出发计算能帮我们从数的组成本质理解运算逻辑。
【解析】
$0.2×15$
$=(0.1×2)×(1×15)$
$=(0.1×1)×(2×15)$
$=0.1×30$
$=3$
$1.6×\frac{1}{20}$
$=1.6×0.05$
$=(0.1×16)×(0.01×5)$
$=(0.1×0.01)×(16×5)$
$=0.001×80$
$=0.08$
$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}$
$=(\frac{1}{4}×3)÷(\frac{1}{8}×7)$
$=(\frac{1}{4}÷\frac{1}{8})×(3÷7)$
$=2×\frac{3}{7}$
$=\frac{6}{7}$
$4.8÷0.016$
$=(0.1×48)÷(0.001×16)$
$=(0.1÷0.001)×(48÷16)$
$=100×3$
$=300$
【答案】
$0.2×15=3$；$1.6×\frac{1}{20}=0.08$；$\frac{3}{4}÷\frac{7}{8}=\frac{6}{7}$；$4.8÷0.016=300$
【知识点】
计数单位的意义、乘除法运算律、分数小数四则运算
【点评】
本题从计数单位的本质维度考查乘除法运算，能够引导学生打破机械套用计算法则的惯性，深入理解运算的底层逻辑，有效提升运算核心素养。
【难度系数】
0.7
四、除法计算转化成乘法计算
6. 新素养 推理意识 已知$a÷b=c(b$不为$0)$，
请通过推理说明$a÷4÷b=c×\frac{1}{4}$。
6. 新素养 推理意识 已知$a÷b=c(b$不为$0)$，
请通过推理说明$a÷4÷b=c×\frac{1}{4}$。
答案
6. 因为 $a÷b=c(b$ 不为 0$)$,所以 $a=c×b$,$a÷4÷b=a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×b×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×\frac{1}{4}$
解析
【分析】
要证明等式成立，我们可以从等式左侧的连除算式入手，首先回忆分数除法的计算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先把所有除法运算转化为乘法运算；再结合题目给出的$a÷b=c$的关系，利用除法各部分之间的联系，把$a$替换成含有$b$和$c$的式子，最后通过约分简化计算，验证化简结果是否和等式右侧一致即可。
【解析】
已知$a÷b=c$（$b$不为0），根据除法中“被除数=商×除数”的关系，可得$a = c×b$。
对左侧算式进行转化：根据分数除法计算法则，除以不为0的数等于乘它的倒数，因此
$a÷4÷b = a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}$
将$a = c×b$代入上式得：
$a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×b×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}$
利用乘法交换律、结合律计算，$b×\frac{1}{b}=1$，因此原式可化简为：
$c×\frac{1}{4}×(b×\frac{1}{b})=c×\frac{1}{4}$
左侧化简结果与右侧相等，原式得证。
【答案】
因为 $a÷b=c(b$ 不为 0$)$,所以 $a=c×b$,$a÷4÷b=a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×b×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 分数除法计算法则
2. 乘除法各部分关系
3. 乘法运算律
【点评】
本题侧重考查除法到乘法的转化推理能力，需要熟练掌握除法转乘法的规则，能灵活运用已知条件代入化简，对提升逻辑推理意识和运算转化能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
要证明等式成立，我们可以从等式左侧的连除算式入手，首先回忆分数除法的计算规则：除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，先把所有除法运算转化为乘法运算；再结合题目给出的$a÷b=c$的关系，利用除法各部分之间的联系，把$a$替换成含有$b$和$c$的式子，最后通过约分简化计算，验证化简结果是否和等式右侧一致即可。
【解析】
已知$a÷b=c$（$b$不为0），根据除法中“被除数=商×除数”的关系，可得$a = c×b$。
对左侧算式进行转化：根据分数除法计算法则，除以不为0的数等于乘它的倒数，因此
$a÷4÷b = a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}$
将$a = c×b$代入上式得：
$a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×b×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}$
利用乘法交换律、结合律计算，$b×\frac{1}{b}=1$，因此原式可化简为：
$c×\frac{1}{4}×(b×\frac{1}{b})=c×\frac{1}{4}$
左侧化简结果与右侧相等，原式得证。
【答案】
因为 $a÷b=c(b$ 不为 0$)$,所以 $a=c×b$,$a÷4÷b=a×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×b×\frac{1}{4}×\frac{1}{b}=c×\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 分数除法计算法则
2. 乘除法各部分关系
3. 乘法运算律
【点评】
本题侧重考查除法到乘法的转化推理能力，需要熟练掌握除法转乘法的规则，能灵活运用已知条件代入化简，对提升逻辑推理意识和运算转化能力有很大帮助。
【难度系数】
0.7
7. 简便计算下面各题。
$59÷0.25$
$6.4÷0.125$
思路提示:如果将被除数和除数同时乘4或同时乘8,那么会怎样呢?
$59÷0.25$
$6.4÷0.125$
思路提示:如果将被除数和除数同时乘4或同时乘8,那么会怎样呢?
答案
7. $59÷0.25$
$=(59×4)÷(0.25×4)$
$=236÷1$
$=236$
$6.4÷0.125$
$=(6.4×8)÷(0.125×8)$
$=51.2÷1$
$=51.2$
解析:计算除数是小数的除法题时,可以根据商的变化规律将除数转化为整数,使计算简便。
$=(59×4)÷(0.25×4)$
$=236÷1$
$=236$
$6.4÷0.125$
$=(6.4×8)÷(0.125×8)$
$=51.2÷1$
$=51.2$
解析:计算除数是小数的除法题时,可以根据商的变化规律将除数转化为整数,使计算简便。
解析
【分析】
解题时可利用商不变的规律简化计算：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。观察两道题的除数特征：①0.25乘4的结果是1，因此第一题将被除数和除数同时乘4，可把除数转化为1，无需做除法直接得到商；②0.125乘8的结果是1，因此第二题将被除数和除数同时乘8，同样把除数转化为1，直接计算被除数乘8的结果即可，大幅降低计算难度。
【解析】
1. 计算$59÷0.25$：
根据商不变规律，被除数、除数同时乘4，商不变：
$\begin{aligned}59÷0.25&=(59×4)÷(0.25×4)\\&=236÷1\\&=236\end{aligned}$
2. 计算$6.4÷0.125$：
根据商不变规律，被除数、除数同时乘8，商不变：
$\begin{aligned}6.4÷0.125&=(6.4×8)÷(0.125×8)\\&=51.2÷1\\&=51.2\end{aligned}$
【答案】
236；51.2
【知识点】
商不变性质；小数简便运算
【点评】
本题考查小数除法的简便计算技巧，解题关键是牢记0.25×4=1、0.125×8=1这两组特殊乘积，结合商不变性质将除数凑成1，就能快速得到计算结果，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解题时可利用商不变的规律简化计算：被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。观察两道题的除数特征：①0.25乘4的结果是1，因此第一题将被除数和除数同时乘4，可把除数转化为1，无需做除法直接得到商；②0.125乘8的结果是1，因此第二题将被除数和除数同时乘8，同样把除数转化为1，直接计算被除数乘8的结果即可，大幅降低计算难度。
【解析】
1. 计算$59÷0.25$：
根据商不变规律，被除数、除数同时乘4，商不变：
$\begin{aligned}59÷0.25&=(59×4)÷(0.25×4)\\&=236÷1\\&=236\end{aligned}$
2. 计算$6.4÷0.125$：
根据商不变规律，被除数、除数同时乘8，商不变：
$\begin{aligned}6.4÷0.125&=(6.4×8)÷(0.125×8)\\&=51.2÷1\\&=51.2\end{aligned}$
【答案】
236；51.2
【知识点】
商不变性质；小数简便运算
【点评】
本题考查小数除法的简便计算技巧，解题关键是牢记0.25×4=1、0.125×8=1这两组特殊乘积，结合商不变性质将除数凑成1，就能快速得到计算结果，有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
