登录
5. 我们规定:若关于 $x$ 的一元一次方程 $a+x=b(a ≠ 1)$ 的解为 $x=ab$, 则称该方程为“积解方程”.
例如, $2+x=-2$ 的解为 $x=-2-2=-4$, 且 $x=2 ×(-2)=-4$, 则称方程 $2+x=-2$ 是“积解方程”.请解答下列问题:
(1) 判断一元一次方程 $4+x=-\dfrac{4}{3}$ 是不是“积解方程”,并说明理由;
(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{3}{2}+x=m+4$ 是“积解方程”,求 $m$ 的值并求出该方程的解.
例如, $2+x=-2$ 的解为 $x=-2-2=-4$, 且 $x=2 ×(-2)=-4$, 则称方程 $2+x=-2$ 是“积解方程”.请解答下列问题:
(1) 判断一元一次方程 $4+x=-\dfrac{4}{3}$ 是不是“积解方程”,并说明理由;
(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $\dfrac{3}{2}+x=m+4$ 是“积解方程”,求 $m$ 的值并求出该方程的解.
答案
(1)$4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”.理由如下：
解方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$,得$x=-\dfrac{16}{3}$,而$4×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{16}{3}$,
所以$4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”.
(2)解方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$,得$x=m+\dfrac{5}{2}$.
因为关于$x$的一元一次方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$是“积解方程”,
所以$m+\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}×(m+4)$,解得$m=-7$.
故原方程的解为$x=-7+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{9}{2}$.
解方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$,得$x=-\dfrac{16}{3}$,而$4×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{16}{3}$,
所以$4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”.
(2)解方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$,得$x=m+\dfrac{5}{2}$.
因为关于$x$的一元一次方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$是“积解方程”,
所以$m+\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}×(m+4)$,解得$m=-7$.
故原方程的解为$x=-7+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{9}{2}$.
解析
【分析】首先明确“积解方程”的定义：对于一元一次方程$a+x=b(a≠1)$，若它的解$x$满足$x=ab$，则该方程为“积解方程”。解题时，第一问需先求出给定方程的解，再验证解是否等于$a$与$b$的乘积，判断是否为“积解方程”；第二问需先解出方程的解，再根据“积解方程”的定义列出关于$m$的方程，求解$m$后再计算方程的解。
【解析】
(1) 判断方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$是否为“积解方程”：
解方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$，移项得：$x=-\dfrac{4}{3}-4=-\dfrac{4}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{16}{3}$。
根据定义，该方程中$a=4$，$b=-\dfrac{4}{3}$，则$ab=4×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{16}{3}$。
因为方程的解$x=ab$，所以$4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”。
(2) 求$m$的值及方程的解：
先解方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$，移项得：$x=m+4-\dfrac{3}{2}=m+\dfrac{8}{2}-\dfrac{3}{2}=m+\dfrac{5}{2}$。
因为该方程是“积解方程”，其中$a=\dfrac{3}{2}$，$b=m+4$，根据定义得：$x=ab$，即$m+\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}(m+4)$。
两边同乘2消分母：$2m+5=3(m+4)$，展开得：$2m+5=3m+12$，移项合并同类项：$3m-2m=5-12$，解得$m=-7$。
将$m=-7$代入$x=m+\dfrac{5}{2}$，得方程的解为$x=-7+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{14}{2}+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”，理由见解析；
(2) $m$的值为$-7$，该方程的解为$x=-\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
一元一次方程的解、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“积解方程”的定义，将定义转化为方程求解，考查一元一次方程的解法，需注意计算的准确性，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
【解析】
(1) 判断方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$是否为“积解方程”：
解方程$4+x=-\dfrac{4}{3}$，移项得：$x=-\dfrac{4}{3}-4=-\dfrac{4}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{16}{3}$。
根据定义，该方程中$a=4$，$b=-\dfrac{4}{3}$，则$ab=4×(-\dfrac{4}{3})=-\dfrac{16}{3}$。
因为方程的解$x=ab$，所以$4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”。
(2) 求$m$的值及方程的解：
先解方程$\dfrac{3}{2}+x=m+4$，移项得：$x=m+4-\dfrac{3}{2}=m+\dfrac{8}{2}-\dfrac{3}{2}=m+\dfrac{5}{2}$。
因为该方程是“积解方程”，其中$a=\dfrac{3}{2}$，$b=m+4$，根据定义得：$x=ab$，即$m+\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{2}(m+4)$。
两边同乘2消分母：$2m+5=3(m+4)$，展开得：$2m+5=3m+12$，移项合并同类项：$3m-2m=5-12$，解得$m=-7$。
将$m=-7$代入$x=m+\dfrac{5}{2}$，得方程的解为$x=-7+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{14}{2}+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{9}{2}$。
【答案】
(1) $4+x=-\dfrac{4}{3}$是“积解方程”，理由见解析；
(2) $m$的值为$-7$，该方程的解为$x=-\dfrac{9}{2}$。
【知识点】
一元一次方程的解、新定义运算
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“积解方程”的定义，将定义转化为方程求解，考查一元一次方程的解法，需注意计算的准确性，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
6. (2024·东台月考)已知关于 $x$ 的方程 $2ax=(a+1)x+6$,则当整数 $a$ 为何值时,方程的解为正整数?
答案
解关于 $x$ 的方程 $2ax=(a+1)x+6$,
移项、合并同类项,得$(a-1)x=6$,
系数化为1,得$x=\dfrac{6}{a-1}$.
要使方程的解为正整数,即必须使$\dfrac{6}{a-1}$为正整数,
则$a-1$应是6的正约数,
则$a-1$的值为1,2,3,6,
则$a$的值为2,3,4,7.
移项、合并同类项,得$(a-1)x=6$,
系数化为1,得$x=\dfrac{6}{a-1}$.
要使方程的解为正整数,即必须使$\dfrac{6}{a-1}$为正整数,
则$a-1$应是6的正约数,
则$a-1$的值为1,2,3,6,
则$a$的值为2,3,4,7.
解析
【分析】要解决这个问题，首先需将方程整理为用含a的式子表示x的形式，再根据“方程的解为正整数”的条件，确定a-1是6的正约数，进而求出整数a的值。具体思路：先通过移项、合并同类项、系数化为1得到x的表达式，再结合正整数的要求，分析出a-1需为6的正约数，最后计算对应的a值。
【解析】解关于$x$的方程$2ax=(a+1)x+6$，移项得$2ax - (a+1)x = 6$，合并同类项得$(a-1)x=6$，系数化为1得$x=\dfrac{6}{a-1}$。因为方程的解为正整数，所以$\dfrac{6}{a-1}$为正整数，即$a-1$是6的正约数。6的正约数为1、2、3、6，因此$a-1=1$或$2$或$3$或$6$，解得$a=2$或$3$或$4$或$7$。
【答案】$a$的值为2、3、4、7。
【知识点】一元一次方程的解，正约数的应用
【点评】本题考查一元一次方程的解法及根据方程解的性质求参数，核心是将解的正整数条件转化为约数问题，难度适中，需学生掌握方程变形和约数的概念。
【难度系数】0.6
【解析】解关于$x$的方程$2ax=(a+1)x+6$，移项得$2ax - (a+1)x = 6$，合并同类项得$(a-1)x=6$，系数化为1得$x=\dfrac{6}{a-1}$。因为方程的解为正整数，所以$\dfrac{6}{a-1}$为正整数，即$a-1$是6的正约数。6的正约数为1、2、3、6，因此$a-1=1$或$2$或$3$或$6$，解得$a=2$或$3$或$4$或$7$。
【答案】$a$的值为2、3、4、7。
【知识点】一元一次方程的解，正约数的应用
【点评】本题考查一元一次方程的解法及根据方程解的性质求参数，核心是将解的正整数条件转化为约数问题，难度适中，需学生掌握方程变形和约数的概念。
【难度系数】0.6
7. 已知 a,b 为定值,若无论 k 为何值,关于 x 的一元一次方程$\dfrac{2ka+x}{3}-\dfrac{x-bx}{6}=2$的解总是$x=$1,求 a,b 的值.
答案
去分母,得$4ka+2x-x+bx=12$,
移项、合并同类项,得$(b+1)x=12-4ka$.
把$x=1$代入,得$b=11-4ka$.
因为无论$k$为何值,关于$x$的一元一次方程$\dfrac{2ka+x}{3}-\dfrac{x-bx}{6}=2$的解总是$x=1$,所以$4a=0$,解得$a=0$,所以$b=11$.所以$a$的值为0,$b$的值为11.
移项、合并同类项,得$(b+1)x=12-4ka$.
把$x=1$代入,得$b=11-4ka$.
因为无论$k$为何值,关于$x$的一元一次方程$\dfrac{2ka+x}{3}-\dfrac{x-bx}{6}=2$的解总是$x=1$,所以$4a=0$,解得$a=0$,所以$b=11$.所以$a$的值为0,$b$的值为11.
解析
【分析】要解决这个问题，首先将给定的一元一次方程去分母、整理为含k和x的等式，再利用“无论k为何值，方程的解总是x=1”这一条件，代入x=1后，根据等式对任意k成立的性质（含k的项系数为0，常数项也为0），即可求出a、b的值。
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以6，得 $2(2ka + x) - (x - bx) = 12$；
2. 展开合并同类项：$4ka + 2x - x + bx = 12$，整理为 $(b + 1)x = 12 - 4ka$；
3. 代入解x=1：将x=1代入上式，得 $b + 1 = 12 - 4ka$，移项整理为 $4ka + (b - 11) = 0$；
4. 利用恒成立条件：因为等式对任意k都成立，所以含k的项系数和常数项均为0，即 $\begin{cases}4a = 0 \\ b - 11 = 0\end{cases}$；
5. 解得：$a = 0$，$b = 11$。
【答案】a=0，b=11
【知识点】一元一次方程的解，等式恒成立条件
【点评】本题考查一元一次方程解的性质，关键是将方程转化为关于k的恒等式，利用恒成立的条件求解参数，需掌握方程变形和恒等式的处理方法，属于中等难度的方程应用题型。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以6，得 $2(2ka + x) - (x - bx) = 12$；
2. 展开合并同类项：$4ka + 2x - x + bx = 12$，整理为 $(b + 1)x = 12 - 4ka$；
3. 代入解x=1：将x=1代入上式，得 $b + 1 = 12 - 4ka$，移项整理为 $4ka + (b - 11) = 0$；
4. 利用恒成立条件：因为等式对任意k都成立，所以含k的项系数和常数项均为0，即 $\begin{cases}4a = 0 \\ b - 11 = 0\end{cases}$；
5. 解得：$a = 0$，$b = 11$。
【答案】a=0，b=11
【知识点】一元一次方程的解，等式恒成立条件
【点评】本题考查一元一次方程解的性质，关键是将方程转化为关于k的恒等式，利用恒成立的条件求解参数，需掌握方程变形和恒等式的处理方法，属于中等难度的方程应用题型。
【难度系数】0.4
