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1. 已知关于 $x$ 的方程 $\dfrac{a-x}{2}=\dfrac{bx-3}{3}$ 的解是 $x=2$,若 $a=4$,求 $b$ 的值.
答案
将 $x=2$ 代入方程 $\dfrac{a-x}{2}=\dfrac{bx-3}{3}$,
得$\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{2b-3}{3}$,化简,得 $3a=4b$.
因为 $a=4$,所以 $b=3$.
得$\dfrac{a-2}{2}=\dfrac{2b-3}{3}$,化简,得 $3a=4b$.
因为 $a=4$,所以 $b=3$.
解析
【分析】首先明确方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解。本题已知方程的解$x=2$和$a$的值，解题思路是将$x=2$、$a=4$代入原方程，得到关于$b$的一元一次方程，再通过解方程求出$b$的值。
【解析】将$x=2$，$a=4$代入方程$\dfrac{a-x}{2}=\dfrac{bx-3}{3}$，得：
$\dfrac{4-2}{2}=\dfrac{2b-3}{3}$
交叉相乘化简：$3(4-2)=2(2b-3)$
展开计算：$3a - 6 = 4b - 6$，两边同时加6得$3a=4b$
将$a=4$代入$3a=4b$，得$3×4=4b$，即$12=4b$，解得$b=3$。
【答案】3
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查方程解的定义的基础应用，核心是利用“方程的解满足方程”的性质代入求值，步骤清晰，属于基础题型，适合巩固一元一次方程相关知识。
【难度系数】0.7
【解析】将$x=2$，$a=4$代入方程$\dfrac{a-x}{2}=\dfrac{bx-3}{3}$，得：
$\dfrac{4-2}{2}=\dfrac{2b-3}{3}$
交叉相乘化简：$3(4-2)=2(2b-3)$
展开计算：$3a - 6 = 4b - 6$，两边同时加6得$3a=4b$
将$a=4$代入$3a=4b$，得$3×4=4b$，即$12=4b$，解得$b=3$。
【答案】3
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】本题考查方程解的定义的基础应用，核心是利用“方程的解满足方程”的性质代入求值，步骤清晰，属于基础题型，适合巩固一元一次方程相关知识。
【难度系数】0.7
2. 若关于 $x$ 的方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$ 的解比方程 $5(x-1)-1=4(x-1)+1$ 的解大 2，求 $m$ 的值.
答案
解方程 $5(x-1)-1=4(x-1)+1$,得 $x=3$,
故方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解为 $x=3+2=5$.
把 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,得
$2×(5+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,解得 $m=22$.
故方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$的解为 $x=3+2=5$.
把 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,得
$2×(5+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$,解得 $m=22$.
解析
【分析】
先求解已知的一元一次方程，得到其解后，根据两个方程解的大小关系，确定另一个方程的解，再将该解代入含参数的方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 解方程 $5(x-1)-1=4(x-1)+1$：
移项得 $5(x-1)-4(x-1)=1+1$，
合并同类项得 $x-1=2$，
解得 $x=3$。
2. 根据题意，方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$ 的解为 $3+2=5$。
3. 将 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$：
左边为 $2×(5+1)-m=12 - m$，
右边为 $\dfrac{2 - m}{2}$，
得方程 $12 - m = \dfrac{2 - m}{2}$，
两边同乘2消分母：$24 - 2m = 2 - m$，
移项合并同类项：$-m = -22$，
解得 $m=22$。
【答案】
$m=22$
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程解的应用
【点评】
本题主要考查一元一次方程的求解及解的关系的应用，解题逻辑清晰，先求已知方程的解，再利用解的关联得到目标方程的解，代入后解参数方程，步骤明确，难度适中。
【难度系数】
0.6
先求解已知的一元一次方程，得到其解后，根据两个方程解的大小关系，确定另一个方程的解，再将该解代入含参数的方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 解方程 $5(x-1)-1=4(x-1)+1$：
移项得 $5(x-1)-4(x-1)=1+1$，
合并同类项得 $x-1=2$，
解得 $x=3$。
2. 根据题意，方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$ 的解为 $3+2=5$。
3. 将 $x=5$ 代入方程 $2(x+1)-m=\dfrac{2-m}{2}$：
左边为 $2×(5+1)-m=12 - m$，
右边为 $\dfrac{2 - m}{2}$，
得方程 $12 - m = \dfrac{2 - m}{2}$，
两边同乘2消分母：$24 - 2m = 2 - m$，
移项合并同类项：$-m = -22$，
解得 $m=22$。
【答案】
$m=22$
【知识点】
一元一次方程的解法；一元一次方程解的应用
【点评】
本题主要考查一元一次方程的求解及解的关系的应用，解题逻辑清晰，先求已知方程的解，再利用解的关联得到目标方程的解，代入后解参数方程，步骤明确，难度适中。
【难度系数】
0.6
3. 若方程 $3(x-1)+8=x+3$ 的解与关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$ 的解互为相反数, 求 $(1-3k)^3$ 的值.
答案
解方程 $3(x-1)+8=x+3$,得 $x=-1$,
故方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为 $x=1$.
把 $x=1$ 代入方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$,得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$,
解得 $k=\dfrac{2}{3}$.
所以$(1-3k)^3=(1-3×\dfrac{2}{3})^3=-1$.
故方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为 $x=1$.
把 $x=1$ 代入方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$,得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$,
解得 $k=\dfrac{2}{3}$.
所以$(1-3k)^3=(1-3×\dfrac{2}{3})^3=-1$.
解析
【分析】先求解第一个一元一次方程得到其解，再根据两个方程的解互为相反数，确定第二个方程的解；将该解代入第二个方程求出参数k的值，最后把k代入待求式计算结果。
【解析】1. 解方程$3(x-1)+8=x+3$：
去括号得$3x - 3 + 8 = x + 3$，
合并同类项得$3x + 5 = x + 3$，
移项得$3x - x = 3 - 5$，
计算得$2x = -2$，
解得$x = -1$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$：
得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$，即$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{1}{3}$，
交叉相乘得$3(1+k)=5$，
展开得$3+3k=5$，
移项得$3k=2$，
解得$k=\dfrac{2}{3}$。
4. 计算$(1-3k)^3$：
代入$k=\dfrac{2}{3}$，得$(1-3×\dfrac{2}{3})^3=(1-2)^3=-1$。
【答案】$-1$
【知识点】一元一次方程的解法、一元一次方程的解、代数式求值
【点评】本题综合考查一元一次方程的求解及解的性质，核心是利用“解互为相反数”的关系确定第二个方程的解，进而求出参数k，计算过程需注意运算准确性，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】1. 解方程$3(x-1)+8=x+3$：
去括号得$3x - 3 + 8 = x + 3$，
合并同类项得$3x + 5 = x + 3$，
移项得$3x - x = 3 - 5$，
计算得$2x = -2$，
解得$x = -1$。
2. 因为两个方程的解互为相反数，所以方程$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$\dfrac{x+k}{5}=\dfrac{2-x}{3}$：
得$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{2-1}{3}$，即$\dfrac{1+k}{5}=\dfrac{1}{3}$，
交叉相乘得$3(1+k)=5$，
展开得$3+3k=5$，
移项得$3k=2$，
解得$k=\dfrac{2}{3}$。
4. 计算$(1-3k)^3$：
代入$k=\dfrac{2}{3}$，得$(1-3×\dfrac{2}{3})^3=(1-2)^3=-1$。
【答案】$-1$
【知识点】一元一次方程的解法、一元一次方程的解、代数式求值
【点评】本题综合考查一元一次方程的求解及解的性质，核心是利用“解互为相反数”的关系确定第二个方程的解，进而求出参数k，计算过程需注意运算准确性，属于基础题型。
【难度系数】0.6
4. 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$ 的解与方程 $4x-2(3-x)+3=0$ 的解互为倒数,求 $a$ 的值.
答案
解方程 $4x-2(3-x)+3=0$,得 $x=\dfrac{1}{2}$,
故关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解是 $x=2$.
把 $x=2$ 代入$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$,得$\dfrac{2+a}{2}-\dfrac{a}{3}=2$,
解得 $a=6$.
故关于 $x$ 的方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解是 $x=2$.
把 $x=2$ 代入$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$,得$\dfrac{2+a}{2}-\dfrac{a}{3}=2$,
解得 $a=6$.
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步：1. 先求解已知的一元一次方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$，得到它的解；2. 根据“两个方程的解互为倒数”，求出另一个方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解；3. 将该解代入含$a$的方程，解关于$a$的一元一次方程，即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$：
去括号得：$4x - 6 + 2x + 3 = 0$，
合并同类项得：$6x - 3 = 0$，
移项得：$6x = 3$，
系数化为1得：$x = \dfrac{1}{2}$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，所以方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解为$\dfrac{1}{2}$的倒数，即$x = 2$。
3. 将$x = 2$代入方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$：
得$\dfrac{2 + a}{2} - \dfrac{a}{3} = 2$，
两边同乘6消分母：$3(2 + a) - 2a = 12$，
展开得：$6 + 3a - 2a = 12$，
合并同类项得：$6 + a = 12$，
解得：$a = 6$。
【答案】
$a = 6$
【知识点】
一元一次方程的解法、倒数的概念
【点评】
本题结合一元一次方程的求解与倒数的性质，考查学生对基础知识点的综合应用能力，解题思路清晰，步骤明确，属于常规基础题型，只要掌握一元一次方程的解法和倒数的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需分三步：1. 先求解已知的一元一次方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$，得到它的解；2. 根据“两个方程的解互为倒数”，求出另一个方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解；3. 将该解代入含$a$的方程，解关于$a$的一元一次方程，即可得到$a$的值。
【解析】
1. 解方程$4x - 2(3 - x) + 3 = 0$：
去括号得：$4x - 6 + 2x + 3 = 0$，
合并同类项得：$6x - 3 = 0$，
移项得：$6x = 3$，
系数化为1得：$x = \dfrac{1}{2}$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，所以方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$的解为$\dfrac{1}{2}$的倒数，即$x = 2$。
3. 将$x = 2$代入方程$\dfrac{x+a}{2}-\dfrac{a}{3}=x$：
得$\dfrac{2 + a}{2} - \dfrac{a}{3} = 2$，
两边同乘6消分母：$3(2 + a) - 2a = 12$，
展开得：$6 + 3a - 2a = 12$，
合并同类项得：$6 + a = 12$，
解得：$a = 6$。
【答案】
$a = 6$
【知识点】
一元一次方程的解法、倒数的概念
【点评】
本题结合一元一次方程的求解与倒数的性质，考查学生对基础知识点的综合应用能力，解题思路清晰，步骤明确，属于常规基础题型，只要掌握一元一次方程的解法和倒数的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
