登录
1. 下列式子:①$5x+3y=0$;②$6x^{2}-5x$;③$3x＜5$;④$x^{2}+1=3$;⑤$\dfrac{x}{5}+2=3x$.其中是方程的有 （
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
）A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
1.C
解析
【分析】首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判断式子是否为方程需同时满足“含有未知数”和“是等式”两个条件。接下来逐个分析题目中的式子：
1. 式子①$5x+3y=0$：既含有未知数$x$、$y$，又是等式，符合方程定义；
2. 式子②$6x^{2}-5x$：仅为代数式，不是等式，不符合；
3. 式子③$3x＜5$：是不等式，不是等式，不符合；
4. 式子④$x^{2}+1=3$：含有未知数$x$且是等式，符合；
5. 式子⑤$\dfrac{x}{5}+2=3x$：含有未知数$x$且是等式，符合；
综上，符合方程定义的有①、④、⑤，共3个，对应选项C。
【解析】根据方程的定义，对各式子逐一判断：
①$5x+3y=0$：含未知数且为等式，是方程；
②$6x^{2}-5x$：不是等式，不是方程；
③$3x＜5$：是不等式，不是方程；
④$x^{2}+1=3$：含未知数且为等式，是方程；
⑤$\dfrac{x}{5}+2=3x$：含未知数且为等式，是方程；
符合条件的共3个，故选C。
【答案】C
【知识点】方程的定义
【点评】本题考查方程的基础概念，核心是区分“等式”与“非等式”、“含未知数”与“不含未知数”，属于基础概念题，准确掌握定义即可快速判断。
【难度系数】0.8
1. 式子①$5x+3y=0$：既含有未知数$x$、$y$，又是等式，符合方程定义；
2. 式子②$6x^{2}-5x$：仅为代数式，不是等式，不符合；
3. 式子③$3x＜5$：是不等式，不是等式，不符合；
4. 式子④$x^{2}+1=3$：含有未知数$x$且是等式，符合；
5. 式子⑤$\dfrac{x}{5}+2=3x$：含有未知数$x$且是等式，符合；
综上，符合方程定义的有①、④、⑤，共3个，对应选项C。
【解析】根据方程的定义，对各式子逐一判断：
①$5x+3y=0$：含未知数且为等式，是方程；
②$6x^{2}-5x$：不是等式，不是方程；
③$3x＜5$：是不等式，不是方程；
④$x^{2}+1=3$：含未知数且为等式，是方程；
⑤$\dfrac{x}{5}+2=3x$：含未知数且为等式，是方程；
符合条件的共3个，故选C。
【答案】C
【知识点】方程的定义
【点评】本题考查方程的基础概念，核心是区分“等式”与“非等式”、“含未知数”与“不含未知数”，属于基础概念题，准确掌握定义即可快速判断。
【难度系数】0.8
2. (2024·滨海期末)已知$(m+1)x^{|m|}-3=0$是关于$x$的一元一次方程,则$m$的值为 （
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
B
）A.0
B.1
C.$-1$
D.$\pm1$
答案
2.B
解析
【分析】
要确定m的值，需依据一元一次方程的定义：一元一次方程需满足两个核心条件，①仅含一个未知数，且未知数的最高次数为1；②未知数的系数不为0。因此需先根据未知数次数为1求出m的可能取值，再结合系数不为0的要求排除不符合的情况，最终确定m的值。
【解析】
根据一元一次方程的定义，对于方程$(m+1)x^{|m|}-3=0$：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不能为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$；
综合上述两个条件，$m=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题考查一元一次方程的定义，解题关键是牢记“未知数次数为1且系数不为0”两个条件，易忽略系数不为0的限制而错选D，需注意细节。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需依据一元一次方程的定义：一元一次方程需满足两个核心条件，①仅含一个未知数，且未知数的最高次数为1；②未知数的系数不为0。因此需先根据未知数次数为1求出m的可能取值，再结合系数不为0的要求排除不符合的情况，最终确定m的值。
【解析】
根据一元一次方程的定义，对于方程$(m+1)x^{|m|}-3=0$：
1. 未知数$x$的次数为1，即$|m|=1$，解得$m=1$或$m=-1$；
2. 一次项系数不能为0，即$m+1≠0$，解得$m≠-1$；
综合上述两个条件，$m=1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题考查一元一次方程的定义，解题关键是牢记“未知数次数为1且系数不为0”两个条件，易忽略系数不为0的限制而错选D，需注意细节。
【难度系数】
0.6
3.(2024·阜宁县期末)已知 $x=4$ 是方程 $ax-2=a+10$ 的解,则 $a$ 的值为（
A.2
B.$-3$
C.4
D.$-4$
C
）A.2
B.$-3$
C.4
D.$-4$
答案
3.C
解析
【分析】首先明确方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。解题思路是将已知的解$x=4$代入原方程，得到关于$a$的一元一次方程，再通过解这个方程求出$a$的值，最后对应选项得出答案。
【解析】因为$x=4$是方程$ax - 2 = a + 10$的解，所以将$x=4$代入方程得：
$4a - 2 = a + 10$
移项，得：$4a - a = 10 + 2$
合并同类项，得：$3a = 12$
系数化为1，得：$a = 4$
对应选项，答案为C。
【答案】C
【知识点】方程的解；解一元一次方程
【点评】本题属于基础题，核心考查方程解的概念，只需掌握“将解代入方程转化为新方程求解”的方法即可快速得出结果，是一元一次方程章节的常规基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】因为$x=4$是方程$ax - 2 = a + 10$的解，所以将$x=4$代入方程得：
$4a - 2 = a + 10$
移项，得：$4a - a = 10 + 2$
合并同类项，得：$3a = 12$
系数化为1，得：$a = 4$
对应选项，答案为C。
【答案】C
【知识点】方程的解；解一元一次方程
【点评】本题属于基础题，核心考查方程解的概念，只需掌握“将解代入方程转化为新方程求解”的方法即可快速得出结果，是一元一次方程章节的常规基础题型。
【难度系数】0.8
4. 下列运用等式的基本性质变形正确的是（
A.若 $ac=bc$, 则 $a=b$
B.若 $m=n$, 则 $2m-5=2n-4$
C.若 $\dfrac{2x}{c}=\dfrac{3y}{c}$, 则 $2x=3y$
D.若 $a=b$, 则 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$
C
）A.若 $ac=bc$, 则 $a=b$
B.若 $m=n$, 则 $2m-5=2n-4$
C.若 $\dfrac{2x}{c}=\dfrac{3y}{c}$, 则 $2x=3y$
D.若 $a=b$, 则 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{c}$
答案
4.C
解析
【分析】首先明确等式的两个基本性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析选项：A选项未考虑c=0的特殊情况；B选项两边运算的数不一致；C选项隐含c≠0，变形符合性质；D选项未考虑c=0的情况。
【解析】根据等式的基本性质逐一判断：
选项A：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，等式都成立，因此不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误；
选项B：若$m=n$，根据等式性质2，两边乘2得$2m=2n$，再根据性质1，两边应同时减5，即$2m-5=2n-5$，选项中减的数不同，变形错误；
选项C：若$\dfrac{2x}{c}=\dfrac{3y}{c}$，分母为$c$，隐含$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$2x=3y$，变形正确；
选项D：若$a=b$，根据等式性质2，两边除以$c$时，必须满足$c≠0$，选项未说明$c≠0$，变形错误。
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题考查等式基本性质的应用，解题关键是牢记等式性质的细节：性质2中除以的数不能为0，且等式两边进行加减、乘除运算时，必须对两边做相同操作，运算的数或式子要一致，避免忽略特殊情况或操作不一致导致错误。
【难度系数】0.6
【解析】根据等式的基本性质逐一判断：
选项A：若$ac=bc$，当$c=0$时，无论$a$、$b$是否相等，等式都成立，因此不能直接两边除以$c$得到$a=b$，变形错误；
选项B：若$m=n$，根据等式性质2，两边乘2得$2m=2n$，再根据性质1，两边应同时减5，即$2m-5=2n-5$，选项中减的数不同，变形错误；
选项C：若$\dfrac{2x}{c}=\dfrac{3y}{c}$，分母为$c$，隐含$c≠0$，根据等式性质2，两边同时乘$c$，可得$2x=3y$，变形正确；
选项D：若$a=b$，根据等式性质2，两边除以$c$时，必须满足$c≠0$，选项未说明$c≠0$，变形错误。
【答案】C
【知识点】等式的基本性质
【点评】本题考查等式基本性质的应用，解题关键是牢记等式性质的细节：性质2中除以的数不能为0，且等式两边进行加减、乘除运算时，必须对两边做相同操作，运算的数或式子要一致，避免忽略特殊情况或操作不一致导致错误。
【难度系数】0.6
5.(2024·建邺区期中)下列解方程变形错误的是（
A.由$-\dfrac{1}{2}x=4$，得$x=-8$
B.由$x-2(x-2)=3$，得$x-2x+4=3$
C.由$5x=3x-15$，得$5x-3x=-15$
D.由$\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=1$，得$4x+2-x-1=6$
D
）A.由$-\dfrac{1}{2}x=4$，得$x=-8$
B.由$x-2(x-2)=3$，得$x-2x+4=3$
C.由$5x=3x-15$，得$5x-3x=-15$
D.由$\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=1$，得$4x+2-x-1=6$
答案
5.D
解析
【分析】本题考查一元一次方程的变形，需根据解方程的基本规则（系数化为1、去括号、移项、去分母）逐一判断选项的变形是否正确，重点关注符号变化。先对各选项的变形逐一验证，找出错误的选项。
【解析】逐一分析各选项的变形：
1. 选项A：方程$-\dfrac{1}{2}x=4$，系数化为1时，等式两边同乘$-2$，得$x=4×(-2)=-8$，变形正确；
2. 选项B：方程$x-2(x-2)=3$，去括号时根据乘法分配律，$-2(x-2)=-2x+4$，原式变为$x-2x+4=3$，变形正确；
3. 选项C：方程$5x=3x-15$，移项时将$3x$移到左边变号，得$5x-3x=-15$，变形正确；
4. 选项D：方程$\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=1$，去分母时两边同乘6，左边第二项分子为$(x-1)$，去分母后应为$-(x-1)=-x+1$，正确展开后是$4x+2 -x +1=6$，而选项中写成$4x+2-x-1=6$，符号错误，变形错误。
【答案】D
【知识点】一元一次方程的变形、去括号法则、去分母法则
【点评】本题是一元一次方程解法的基础题型，考查解方程过程中的去括号、去分母等变形规则，解题时需注意符号变化，避免粗心失误，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】逐一分析各选项的变形：
1. 选项A：方程$-\dfrac{1}{2}x=4$，系数化为1时，等式两边同乘$-2$，得$x=4×(-2)=-8$，变形正确；
2. 选项B：方程$x-2(x-2)=3$，去括号时根据乘法分配律，$-2(x-2)=-2x+4$，原式变为$x-2x+4=3$，变形正确；
3. 选项C：方程$5x=3x-15$，移项时将$3x$移到左边变号，得$5x-3x=-15$，变形正确；
4. 选项D：方程$\dfrac{2x+1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=1$，去分母时两边同乘6，左边第二项分子为$(x-1)$，去分母后应为$-(x-1)=-x+1$，正确展开后是$4x+2 -x +1=6$，而选项中写成$4x+2-x-1=6$，符号错误，变形错误。
【答案】D
【知识点】一元一次方程的变形、去括号法则、去分母法则
【点评】本题是一元一次方程解法的基础题型，考查解方程过程中的去括号、去分母等变形规则，解题时需注意符号变化，避免粗心失误，难度较低。
【难度系数】0.7
6.(2024·响水月考)小组活动中,淇淇所在小组采用接力的方式求一元一次方程的解,规则是每人只能看前面一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后求出方程的解.过程如图,接力过程中,自己负责的一步出现错误的是（
A.淇淇
B.嘉嘉
C.珍珍
D.乐乐
A
）A.淇淇
B.嘉嘉
C.珍珍
D.乐乐
答案
6.A
解析
【分析】
要找出接力过程中出错的人，需逐一验证每一步是否符合一元一次方程的解法规则：去分母时等式两边需同乘各分母的最小公倍数，常数项也要参与乘法运算；后续需检查去括号、移项合并、系数化为1的正确性。
【解析】
原方程为$\frac{2x-1}{3}=1-\frac{x+2}{4}$。
1. 淇淇的步骤：去分母，两边同乘12，正确结果应为$4(2x-1)=12 - 3(x+2)$，但淇淇给出的是$4(2x-1)=1 - 3(x+2)$，常数项1未乘12，此步错误；
2. 嘉嘉的步骤：去括号，左边$4(2x-1)=8x-4$，右边$1-3(x+2)=1-3x-6$，计算正确；
3. 珍珍的步骤：移项合并同类项，$8x+3x=1-6+4$，得$11x=-1$，计算正确；
4. 乐乐的步骤：系数化为1，$x=-\frac{1}{11}$，计算正确。
因此出错的是淇淇。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法
【点评】
本题以接力形式考查一元一次方程的求解，核心易错点是去分母时常数项漏乘，属于基础的解方程正误判断题目，需熟练掌握解方程的每一步规则。
【难度系数】
0.6
要找出接力过程中出错的人，需逐一验证每一步是否符合一元一次方程的解法规则：去分母时等式两边需同乘各分母的最小公倍数，常数项也要参与乘法运算；后续需检查去括号、移项合并、系数化为1的正确性。
【解析】
原方程为$\frac{2x-1}{3}=1-\frac{x+2}{4}$。
1. 淇淇的步骤：去分母，两边同乘12，正确结果应为$4(2x-1)=12 - 3(x+2)$，但淇淇给出的是$4(2x-1)=1 - 3(x+2)$，常数项1未乘12，此步错误；
2. 嘉嘉的步骤：去括号，左边$4(2x-1)=8x-4$，右边$1-3(x+2)=1-3x-6$，计算正确；
3. 珍珍的步骤：移项合并同类项，$8x+3x=1-6+4$，得$11x=-1$，计算正确；
4. 乐乐的步骤：系数化为1，$x=-\frac{1}{11}$，计算正确。
因此出错的是淇淇。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法
【点评】
本题以接力形式考查一元一次方程的求解，核心易错点是去分母时常数项漏乘，属于基础的解方程正误判断题目，需熟练掌握解方程的每一步规则。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题5分,共30分)
7. 现有四个整式:$x^{2}+1,2,\dfrac{x+1}{3},-4$,请选择其中两个整式用等号连接,其中是一元一次方程的
是
7. 现有四个整式:$x^{2}+1,2,\dfrac{x+1}{3},-4$,请选择其中两个整式用等号连接,其中是一元一次方程的
是
$\dfrac{x+1}{3}=2,\dfrac{x+1}{3}=-4$
.答案
7.$\dfrac{x+1}{3}=2,\dfrac{x+1}{3}=-4$
解析
【分析】首先明确一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。再逐一分析给出的四个整式：$x^2+1$含$x^2$（未知数次数为2），不符合要求；$2$、$-4$是常数，$\dfrac{x+1}{3}$是仅含未知数$x$且次数为1的整式，需将$\dfrac{x+1}{3}$与常数项组合，满足一元一次方程的定义。
【解析】根据一元一次方程的定义，需同时满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的次数为1；③等号两边均为整式。给出的四个整式中，$x^2+1$因含$x^2$（次数为2）被排除；剩余整式里，只有$\dfrac{x+1}{3}$是符合“含1个未知数、次数为1”的整式，将其分别与常数2、-4用等号连接，得到的$\dfrac{x+1}{3}=2$、$\dfrac{x+1}{3}=-4$均满足一元一次方程的定义。
【答案】$\dfrac{x+1}{3}=2,\dfrac{x+1}{3}=-4$
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的基础概念，解题核心是准确把握一元一次方程的三个特征，排除含二次项的整式，属于基础题型，需注意避免选错含$x^2$的式子。
【难度系数】0.6
【解析】根据一元一次方程的定义，需同时满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的次数为1；③等号两边均为整式。给出的四个整式中，$x^2+1$因含$x^2$（次数为2）被排除；剩余整式里，只有$\dfrac{x+1}{3}$是符合“含1个未知数、次数为1”的整式，将其分别与常数2、-4用等号连接，得到的$\dfrac{x+1}{3}=2$、$\dfrac{x+1}{3}=-4$均满足一元一次方程的定义。
【答案】$\dfrac{x+1}{3}=2,\dfrac{x+1}{3}=-4$
【知识点】一元一次方程的定义
【点评】本题考查一元一次方程的基础概念，解题核心是准确把握一元一次方程的三个特征，排除含二次项的整式，属于基础题型，需注意避免选错含$x^2$的式子。
【难度系数】0.6
8. 当 $x=$
5
时，$5(x-2)-7$ 的值等于 8.答案
8.5
解析
【分析】
本题要求使代数式$5(x - 2) - 7$的值等于8的$x$，解题思路是根据题意建立一元一次方程，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程，得到$x$的值。
【解析】
根据题意列方程：$5(x - 2) - 7 = 8$
1. 去括号：$5x - 10 - 7 = 8$
2. 合并常数项：$5x - 17 = 8$
3. 移项：$5x = 8 + 17$，即$5x = 25$
4. 系数化为1：$x = 25÷5 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程应用、解一元一次方程
【点评】
本题是基础的一元一次方程求解问题，核心是根据题意准确列出方程，再按常规步骤计算，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
本题要求使代数式$5(x - 2) - 7$的值等于8的$x$，解题思路是根据题意建立一元一次方程，再通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解方程，得到$x$的值。
【解析】
根据题意列方程：$5(x - 2) - 7 = 8$
1. 去括号：$5x - 10 - 7 = 8$
2. 合并常数项：$5x - 17 = 8$
3. 移项：$5x = 8 + 17$，即$5x = 25$
4. 系数化为1：$x = 25÷5 = 5$
【答案】
5
【知识点】
一元一次方程应用、解一元一次方程
【点评】
本题是基础的一元一次方程求解问题，核心是根据题意准确列出方程，再按常规步骤计算，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
