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10.某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用租书卡,另一种是使用会员卡.使用租书卡,租书金额$y_1$(单位:元)与租书时间$x$(单位:天)之间的关系式为$y_1=0.5x$;使用会员卡,租书金额$y_2$(单位:元)与租书时间$x$(单位:天)之间的关系如图所示.
(1)用租书卡租书,每天租书的费用为
(2)求$y_2$关于$x$的函数解析式;
(3)如何选取租书方式更划算?
(1)用租书卡租书,每天租书的费用为
0.5
元;(2)求$y_2$关于$x$的函数解析式;
(3)如何选取租书方式更划算?
答案
10.解:(1)0.5
(2)使用会员卡每天租书的费用为$(45-30)÷60=0.25$(元),则$y_2=0.25x+30$.
∴$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$.
(3)当$y_1＜y_2$时,得$0.5x＜0.25x+30$. 解得$x＜120$.
当$y_1=y_2$时,得$0.5x=0.25x+30$. 解得$x=120$.
当$y_1＞y_2$时,得$0.5x＞0.25x+30$. 解得$x＞120$.
∴当租书时间不足120天时,选用租书卡方式租书更划算;当租书时间正好为120天时,两种租书方式租书金额相同,任选一种即可;当租书时间超过120天时,选用会员卡方式租书更划算.
(2)使用会员卡每天租书的费用为$(45-30)÷60=0.25$(元),则$y_2=0.25x+30$.
∴$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$.
(3)当$y_1＜y_2$时,得$0.5x＜0.25x+30$. 解得$x＜120$.
当$y_1=y_2$时,得$0.5x=0.25x+30$. 解得$x=120$.
当$y_1＞y_2$时,得$0.5x＞0.25x+30$. 解得$x＞120$.
∴当租书时间不足120天时,选用租书卡方式租书更划算;当租书时间正好为120天时,两种租书方式租书金额相同,任选一种即可;当租书时间超过120天时,选用会员卡方式租书更划算.
解析
【分析】
(1) 已知租书卡的费用关系式为$y_1=0.5x$，其中$x$代表租书天数，$x$每增加1天，费用$y_1$增加0.5元，直接可得每天的租书费用。
(2) 会员卡的费用图象是一次函数，设解析式为$y_2=kx+b$，图象给出两个明确的点$(0,30)$和$(60,45)$，代入两点坐标即可求出$k$和$b$的值，得到$y_2$的函数解析式。
(3) 判断哪种租书方式更划算，本质是比较相同租书天数下$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况解不等式，得到对应$x$的取值范围，即可给出最优选择方案。
【解析】
(1) 由租书卡的费用关系式$y_1=0.5x$可知，每天租书的费用为0.5元。
(2) 设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx+b(k≠0)$，
由图象可知函数过点$(0,30)$和$(60,45)$，
将$(0,30)$代入解析式得$b=30$，
将$(60,45)$、$b=30$代入解析式得$45=60k+30$，
解得$k=0.25$，
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$y_1＜y_2$时，租书卡更划算：
$0.5x＜0.25x+30$，
移项化简得$0.25x＜30$，
解得$x＜120$；
② 当$y_1=y_2$时，两种租书方式费用相同：
$0.5x=0.25x+30$，
解得$x=120$；
③ 当$y_1＞y_2$时，会员卡更划算：
$0.5x＞0.25x+30$，
解得$x＞120$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) $\boxed{y_2=0.25x+30}$
(3) 当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算。
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活租书场景考查一次函数与不等式的综合应用，是函数应用类的典型题型，既考查基础的解析式求解能力，也要求学生具备通过比较函数值选择最优方案的逻辑思维。
【难度系数】
0.75
(1) 已知租书卡的费用关系式为$y_1=0.5x$，其中$x$代表租书天数，$x$每增加1天，费用$y_1$增加0.5元，直接可得每天的租书费用。
(2) 会员卡的费用图象是一次函数，设解析式为$y_2=kx+b$，图象给出两个明确的点$(0,30)$和$(60,45)$，代入两点坐标即可求出$k$和$b$的值，得到$y_2$的函数解析式。
(3) 判断哪种租书方式更划算，本质是比较相同租书天数下$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1＜y_2$、$y_1=y_2$、$y_1＞y_2$三种情况解不等式，得到对应$x$的取值范围，即可给出最优选择方案。
【解析】
(1) 由租书卡的费用关系式$y_1=0.5x$可知，每天租书的费用为0.5元。
(2) 设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx+b(k≠0)$，
由图象可知函数过点$(0,30)$和$(60,45)$，
将$(0,30)$代入解析式得$b=30$，
将$(60,45)$、$b=30$代入解析式得$45=60k+30$，
解得$k=0.25$，
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.25x+30$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$y_1＜y_2$时，租书卡更划算：
$0.5x＜0.25x+30$，
移项化简得$0.25x＜30$，
解得$x＜120$；
② 当$y_1=y_2$时，两种租书方式费用相同：
$0.5x=0.25x+30$，
解得$x=120$；
③ 当$y_1＞y_2$时，会员卡更划算：
$0.5x＞0.25x+30$，
解得$x＞120$。
【答案】
(1) $\boxed{0.5}$
(2) $\boxed{y_2=0.25x+30}$
(3) 当租书时间不足120天时，选用租书卡方式租书更划算；当租书时间正好为120天时，两种租书方式租书金额相同，任选一种即可；当租书时间超过120天时，选用会员卡方式租书更划算。
【知识点】
一次函数实际应用，待定系数法求解析式，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活租书场景考查一次函数与不等式的综合应用，是函数应用类的典型题型，既考查基础的解析式求解能力，也要求学生具备通过比较函数值选择最优方案的逻辑思维。
【难度系数】
0.75
11. 甲、乙两人从学校出发，沿相同的路线跑向公园. 甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150 m时，乙停在原地休息等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园. 如图所示的是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(单位:m)与甲出发的时间x(单位:s)之间的函数关系的图象. 下列说法错误的是 （
A.乙比甲晚100 s出发
B.甲、乙第一次相遇前乙的速度为2.5 m/s
C.图中b＝400
D.乙出发180 s后与甲第一次相遇
D
）A.乙比甲晚100 s出发
B.甲、乙第一次相遇前乙的速度为2.5 m/s
C.图中b＝400
D.乙出发180 s后与甲第一次相遇
答案
11.D
解析
【分析】
解题时先明确函数图象的横纵坐标含义：x轴是甲出发的时间，y轴是两人走的路程。解题思路为：①先根据甲的全程路程和时间算出甲的速度；②结合乙休息后500s两人相遇的条件，算出a的值，再结合“乙超过甲150m时休息”的条件算出b的值；③根据乙跑a米的用时算出乙出发后的速度；④列方程计算两人第一次相遇的时间，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图象可知，甲600s跑了900m，因此甲的速度$v_甲=\frac{900}{600}=1.5\mathrm{m/s}$。
2. 判断选项A：乙在$x=100\mathrm{s}$时出发，比甲晚100s，A说法正确，不符合题意。
3. 求a、b的值：$x=500\mathrm{s}$时两人相遇，此时甲跑的路程$a=1.5×500=750\mathrm{m}$；乙休息时超过甲150m，即乙跑到750m时，甲跑了$750-150=600\mathrm{m}$，甲跑600m的时间$b=\frac{600}{1.5}=400\mathrm{s}$，C说法正确，不符合题意。
4. 计算乙的速度：乙跑750m的用时为$400-100=300\mathrm{s}$，因此乙的速度$v_乙=\frac{750}{300}=2.5\mathrm{m/s}$，B说法正确，不符合题意。
5. 计算第一次相遇时间：设甲出发$t\mathrm{s}$时两人第一次相遇，此时两人路程相等，列方程：$1.5t=2.5(t-100)$，解得$t=250\mathrm{s}$，乙出发的时长为$250-100=150\mathrm{s}$，即乙出发150s后与甲第一次相遇，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是读懂图象对应的实际含义，结合路程、速度、时间的三者关系推导未知量，再验证选项正误。
【难度系数】
0.65
解题时先明确函数图象的横纵坐标含义：x轴是甲出发的时间，y轴是两人走的路程。解题思路为：①先根据甲的全程路程和时间算出甲的速度；②结合乙休息后500s两人相遇的条件，算出a的值，再结合“乙超过甲150m时休息”的条件算出b的值；③根据乙跑a米的用时算出乙出发后的速度；④列方程计算两人第一次相遇的时间，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 计算甲的速度：由图象可知，甲600s跑了900m，因此甲的速度$v_甲=\frac{900}{600}=1.5\mathrm{m/s}$。
2. 判断选项A：乙在$x=100\mathrm{s}$时出发，比甲晚100s，A说法正确，不符合题意。
3. 求a、b的值：$x=500\mathrm{s}$时两人相遇，此时甲跑的路程$a=1.5×500=750\mathrm{m}$；乙休息时超过甲150m，即乙跑到750m时，甲跑了$750-150=600\mathrm{m}$，甲跑600m的时间$b=\frac{600}{1.5}=400\mathrm{s}$，C说法正确，不符合题意。
4. 计算乙的速度：乙跑750m的用时为$400-100=300\mathrm{s}$，因此乙的速度$v_乙=\frac{750}{300}=2.5\mathrm{m/s}$，B说法正确，不符合题意。
5. 计算第一次相遇时间：设甲出发$t\mathrm{s}$时两人第一次相遇，此时两人路程相等，列方程：$1.5t=2.5(t-100)$，解得$t=250\mathrm{s}$，乙出发的时长为$250-100=150\mathrm{s}$，即乙出发150s后与甲第一次相遇，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，行程问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，核心是读懂图象对应的实际含义，结合路程、速度、时间的三者关系推导未知量，再验证选项正误。
【难度系数】
0.65
