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12.(跨学科融合)物理实验证实:在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)之间存在关系.某兴趣小组为探究弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体质量x(单位:kg)之间的关系,进行了6次测量,下表是测量数据:
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点.若在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)之间符合初中学过的某种函数关系,则可能是
(2)根据以上判断,求y关于x的函数解析式.
(3)当弹簧的长度为16.5 cm时,所挂物体的质量是多少千克?
(1)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点.若在弹性限度内,弹簧的长度y(单位:cm)与所挂物体的质量x(单位:kg)之间符合初中学过的某种函数关系,则可能是
一次
(选填“一次”或“正比例”)函数关系.(2)根据以上判断,求y关于x的函数解析式.
(3)当弹簧的长度为16.5 cm时,所挂物体的质量是多少千克?
答案
12.解:(1)描点如图所示
.将这些点连接起来,发现它们分布在同一条直线上,
∴y与x可能是一次函数关系.故答案为一次.
(2)设y关于x的函数解析式为$y=kx+b$(k,b为常数,且$k≠0$),
将$(0,6)$和$(10,9)$分别代入$y=kx+b$,
得$\begin{cases} b=6,\\ 10k+b=9.\end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=0.3,\\ b=6.\end{cases}$
∴y关于x的函数解析式为$y=0.3x+6$.
(3)当$y=16.5$时,$0.3x+6=16.5$,解得$x=35$.
答:所挂物体的质量是35 kg.
解析
【分析】
(1) 观察描出的点的分布，所有点都在一条直线上，符合一次函数的图像特征；又因为不挂物体（x=0）时弹簧原长为6cm，即x=0时y≠0，不符合正比例函数过原点的特征，因此判断为一次函数关系。
(2) 确定为一次函数后，采用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），选取图像上两组已知的x、y对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定函数解析式。
(3) 求弹簧长度为16.5cm时的物体质量，只需将y=16.5代入已求得的函数解析式，解一元一次方程得到x的值，即为所求的物体质量。
【解析】
(1) 按照测量数据在坐标系中描点如图，连接各点后发现所有点分布在同一条直线上，且x=0时y=6≠0，因此y与x是一次函数关系。
(2) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$），将$(0,6)$和$(10,9)$代入解析式可得：
$\begin{cases} b=6\\10k+b=9 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=0.3\\b=6 \end{cases}$
因此y关于x的函数解析式为$y=0.3x+6$。
(3) 把$y=16.5$代入$y=0.3x+6$，得：
$0.3x+6=16.5$
解得$x=35$
【答案】
(1) 描点如图所示。将这些点连接起来，发现它们分布在同一条直线上，
∴y与x可能是一次函数关系。故答案为一次。
(2) $y=0.3x+6$
(3) 所挂物体的质量是35 kg。
【知识点】
一次函数判定，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合物理弹簧伸长的实验场景考查一次函数的相关知识，解题关键是先根据图像特征判断函数类型，再用待定系数法求出解析式，最后代入数值求解即可，侧重跨学科知识的融合运用，贴近实际探究场景。
【难度系数】
0.8
(1) 观察描出的点的分布，所有点都在一条直线上，符合一次函数的图像特征；又因为不挂物体（x=0）时弹簧原长为6cm，即x=0时y≠0，不符合正比例函数过原点的特征，因此判断为一次函数关系。
(2) 确定为一次函数后，采用待定系数法求解析式：先设一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），选取图像上两组已知的x、y对应值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b的值，即可确定函数解析式。
(3) 求弹簧长度为16.5cm时的物体质量，只需将y=16.5代入已求得的函数解析式，解一元一次方程得到x的值，即为所求的物体质量。
【解析】
(1) 按照测量数据在坐标系中描点如图
，连接各点后发现所有点分布在同一条直线上，且x=0时y=6≠0，因此y与x是一次函数关系。(2) 设y与x的函数解析式为$y=kx+b$（k、b为常数，$k≠0$），将$(0,6)$和$(10,9)$代入解析式可得：
$\begin{cases} b=6\\10k+b=9 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=0.3\\b=6 \end{cases}$
因此y关于x的函数解析式为$y=0.3x+6$。
(3) 把$y=16.5$代入$y=0.3x+6$，得：
$0.3x+6=16.5$
解得$x=35$
【答案】
(1) 描点如图所示
。将这些点连接起来，发现它们分布在同一条直线上，∴y与x可能是一次函数关系。故答案为一次。
(2) $y=0.3x+6$
(3) 所挂物体的质量是35 kg。
【知识点】
一次函数判定，待定系数法，一次函数应用
【点评】
本题结合物理弹簧伸长的实验场景考查一次函数的相关知识，解题关键是先根据图像特征判断函数类型，再用待定系数法求出解析式，最后代入数值求解即可，侧重跨学科知识的融合运用，贴近实际探究场景。
【难度系数】
0.8
13.安徽出产的茶叶品种众多(如黄山毛峰、六安瓜片、霍山黄芽、祁门红茶等)，畅销各地.祁门红茶是世界三大高香红茶之一.某县重点推出了A，B两种品牌祁门红茶.已知某商店购进1盒A品牌祁门红茶和1盒B品牌祁门红茶共用210元，购进2盒A品牌祁门红茶和3盒B品牌祁门红茶共用515元.
(1)购进A，B两种品牌祁门红茶的单价各是多少?
(2)该商店计划用不超过11 300元购进A，B两种品牌祁门红茶共100盒，且A品牌祁门红茶的数量不低于B品牌祁门红茶数量的$\frac{16}{9}$倍，若两种品牌祁门红茶的销售单价均为185元/盒，该商店如何安排进货，才能使销售完这两种品牌祁门红茶获得的利润最大？最大利润是多少？
(1)购进A，B两种品牌祁门红茶的单价各是多少?
(2)该商店计划用不超过11 300元购进A，B两种品牌祁门红茶共100盒，且A品牌祁门红茶的数量不低于B品牌祁门红茶数量的$\frac{16}{9}$倍，若两种品牌祁门红茶的销售单价均为185元/盒，该商店如何安排进货，才能使销售完这两种品牌祁门红茶获得的利润最大？最大利润是多少？
答案
13.解:(1)设购进A种品牌祁门红茶的单价是a元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是b元/盒.
∴$\begin{cases} a+b=210,\\ 2a+3b=515.\end{cases}$
∴$\begin{cases} a=115,\\ b=95.\end{cases}$
∴购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒.
(2)设购进A种品牌红茶m盒,则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒.
∴$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11\ 300,\\ m≥\frac{16}{9}(100-m).\end{cases}$ 解得$64≤ m≤90$.
设销售完两种品牌红茶获得的利润为W元,
∴$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9\ 000$.
∵$-20＜0$,
∴W随m的减小而增大.
∵$64≤ m≤90$,
∴当$m=64$时,W的值最大,$W_{最大}=-20×64+9\ 000=7\ 720$,此时$100-64=36$(盒).
∴该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时,销售完两种品牌红茶获得的利润最大,最大利润是7 720元.
∴$\begin{cases} a+b=210,\\ 2a+3b=515.\end{cases}$
∴$\begin{cases} a=115,\\ b=95.\end{cases}$
∴购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒,购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒.
(2)设购进A种品牌红茶m盒,则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒.
∴$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11\ 300,\\ m≥\frac{16}{9}(100-m).\end{cases}$ 解得$64≤ m≤90$.
设销售完两种品牌红茶获得的利润为W元,
∴$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=-20m+9\ 000$.
∵$-20＜0$,
∴W随m的减小而增大.
∵$64≤ m≤90$,
∴当$m=64$时,W的值最大,$W_{最大}=-20×64+9\ 000=7\ 720$,此时$100-64=36$(盒).
∴该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时,销售完两种品牌红茶获得的利润最大,最大利润是7 720元.
解析
【分析】
(1) 题干给出了两种进货组合的总费用，存在两个明确的等量关系：购进1盒A和1盒B共花费210元，购进2盒A和3盒B共花费515元。我们可以设A、B的单价分别为未知数，建立二元一次方程组求解即可得到两种红茶的进价。
(2) 要解决利润最大的问题，首先设购进A品牌红茶m盒，可得B品牌为(100-m)盒。先根据“进货总费用不超过11300元”和“A品牌数量不低于B品牌的$\frac{16}{9}$倍”两个限制条件，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围；再根据总利润的计算方法，建立利润W关于m的一次函数解析式，结合一次函数的增减性，在m的取值范围内找到使W最大的m值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进A种品牌祁门红茶的单价是a元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是b元/盒。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=210\\ 2a+3b=515 \end{cases}$
将第一个方程变形为$a=210-b$，代入第二个方程得：$2(210-b)+3b=515$，解得$b=95$，再代入得$a=210-95=115$，即$\begin{cases} a=115\\ b=95 \end{cases}$。
(2) 设购进A种品牌红茶m盒，则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11300\\ m≥\frac{16}{9}(100-m) \end{cases}$
解第一个不等式：$115m+9500-95m≤11300$，$20m≤1800$，得$m≤90$；
解第二个不等式：$9m≥16(100-m)$，$9m≥1600-16m$，$25m≥1600$，得$m≥64$；
综上解得$64≤ m≤90$。
设销售完两种品牌红茶获得的利润为W元，
则$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=70m+90(100-m)=-20m+9000$。
∵$-20＜0$，
∴W随m的减小而增大。
∵$64≤ m≤90$，
∴当$m=64$时，W取得最大值，$W_{最大}=-20×64+9000=7720$，此时$100-64=36$（盒）。
【答案】
(1) 购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒；
(2) 该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时，销售完两种品牌祁门红茶获得的利润最大，最大利润是7720元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的商品销售场景，综合考查了方程、不等式与一次函数的核心知识点，需要学生具备从题干提取有效信息、建立数学模型的能力，是典型的应用型综合题，贴合实际，能够很好地检验知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 题干给出了两种进货组合的总费用，存在两个明确的等量关系：购进1盒A和1盒B共花费210元，购进2盒A和3盒B共花费515元。我们可以设A、B的单价分别为未知数，建立二元一次方程组求解即可得到两种红茶的进价。
(2) 要解决利润最大的问题，首先设购进A品牌红茶m盒，可得B品牌为(100-m)盒。先根据“进货总费用不超过11300元”和“A品牌数量不低于B品牌的$\frac{16}{9}$倍”两个限制条件，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围；再根据总利润的计算方法，建立利润W关于m的一次函数解析式，结合一次函数的增减性，在m的取值范围内找到使W最大的m值，即可得到最优进货方案和最大利润。
【解析】
(1) 设购进A种品牌祁门红茶的单价是a元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是b元/盒。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} a+b=210\\ 2a+3b=515 \end{cases}$
将第一个方程变形为$a=210-b$，代入第二个方程得：$2(210-b)+3b=515$，解得$b=95$，再代入得$a=210-95=115$，即$\begin{cases} a=115\\ b=95 \end{cases}$。
(2) 设购进A种品牌红茶m盒，则购进B种品牌红茶$(100-m)$盒。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases} 115m+95(100-m)≤11300\\ m≥\frac{16}{9}(100-m) \end{cases}$
解第一个不等式：$115m+9500-95m≤11300$，$20m≤1800$，得$m≤90$；
解第二个不等式：$9m≥16(100-m)$，$9m≥1600-16m$，$25m≥1600$，得$m≥64$；
综上解得$64≤ m≤90$。
设销售完两种品牌红茶获得的利润为W元，
则$W=(185-115)m+(185-95)(100-m)=70m+90(100-m)=-20m+9000$。
∵$-20＜0$，
∴W随m的减小而增大。
∵$64≤ m≤90$，
∴当$m=64$时，W取得最大值，$W_{最大}=-20×64+9000=7720$，此时$100-64=36$（盒）。
【答案】
(1) 购进A种品牌祁门红茶的单价是115元/盒，购进B种品牌祁门红茶的单价是95元/盒；
(2) 该商店购进A种品牌红茶64盒、B种品牌红茶36盒时，销售完两种品牌祁门红茶获得的利润最大，最大利润是7720元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活中的商品销售场景，综合考查了方程、不等式与一次函数的核心知识点，需要学生具备从题干提取有效信息、建立数学模型的能力，是典型的应用型综合题，贴合实际，能够很好地检验知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
