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1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,将边长为1的正六边形$OABCDE$绕点$O$顺时针旋转$i$个$45°$,得到正六边形$OA_{i}B_{i}C_{i}D_{i}E_{i}$,则正六边形$OA_{i}B_{i}C_{i}D_{i}E_{i}$中的顶点$C_{i}(i = 2\,022)$的坐标是（
A.$(-\sqrt{3}, - 1)$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(1, - 2)$
D.$(2,1)$
A
）A.$(-\sqrt{3}, - 1)$
B.$(1,\sqrt{3})$
C.$(1, - 2)$
D.$(2,1)$
答案
A 提示:因为360°÷45°=8,所以旋转8次为一个循环.因为2022÷8=252……6,所以点C₂₀₂₂的坐标与点C₆的坐标相同.又易得点C(-1,√3),将点C绕点O顺时针旋转270°,得到点C₆,易求得点C₆(-√3,-1).所以顶点Cᵢ(i=2022)的坐标是(-√3,-1).
解析
【分析】
本题是图形旋转的坐标变换问题，首先明确旋转周期：每次旋转45°，一周360°，因此旋转8次为一个循环周期。通过计算2022除以周期8的余数，可确定i=2022对应的旋转次数，再结合原点点C的坐标，利用旋转坐标变换求出目标点坐标。
【解析】
1. 确定旋转周期：因为每次旋转45°，一周为360°，所以旋转周期为 $ 360° ÷ 45° = 8 $，即每旋转8次回到初始状态。
2. 计算2022对应的旋转次数：$ 2022 ÷ 8 = 252 ······ 6 $，余数为6，说明i=2022时，相当于绕O顺时针旋转了 $ 6 × 45° = 270° $。
3. 确定原点点C的坐标：边长为1的正六边形OABCDE中，点C的坐标为$(-1, \sqrt{3})$。
4. 计算旋转后点$ C_{2022} $的坐标：点绕原点顺时针旋转270°的坐标变换公式为$(x,y) \to (-y, x)$，将$ C(-1, \sqrt{3}) $代入，得新坐标为$(-\sqrt{3}, -1)$。
【答案】
A
【知识点】
图形旋转、正六边形性质、坐标变换
【点评】
本题结合正六边形性质与坐标旋转规律，利用周期简化计算，核心是找到旋转周期并通过余数对应旋转次数，难度中等。
【难度系数】
0.4
本题是图形旋转的坐标变换问题，首先明确旋转周期：每次旋转45°，一周360°，因此旋转8次为一个循环周期。通过计算2022除以周期8的余数，可确定i=2022对应的旋转次数，再结合原点点C的坐标，利用旋转坐标变换求出目标点坐标。
【解析】
1. 确定旋转周期：因为每次旋转45°，一周为360°，所以旋转周期为 $ 360° ÷ 45° = 8 $，即每旋转8次回到初始状态。
2. 计算2022对应的旋转次数：$ 2022 ÷ 8 = 252 ······ 6 $，余数为6，说明i=2022时，相当于绕O顺时针旋转了 $ 6 × 45° = 270° $。
3. 确定原点点C的坐标：边长为1的正六边形OABCDE中，点C的坐标为$(-1, \sqrt{3})$。
4. 计算旋转后点$ C_{2022} $的坐标：点绕原点顺时针旋转270°的坐标变换公式为$(x,y) \to (-y, x)$，将$ C(-1, \sqrt{3}) $代入，得新坐标为$(-\sqrt{3}, -1)$。
【答案】
A
【知识点】
图形旋转、正六边形性质、坐标变换
【点评】
本题结合正六边形性质与坐标旋转规律，利用周期简化计算，核心是找到旋转周期并通过余数对应旋转次数，难度中等。
【难度系数】
0.4
2. 公元9世纪,阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程解的方法:如图,先构造边长为$x$的正方形$ABCD$,再分别以$BC$,$CD$为边作另一边长5的长方形,最后得到四边形$AIFH$是面积为64的正方形.则这个一元二次方程是（
A.$x^{2}+10x=25$
B.$x^{2}+10x=64$
C.$x^{2}+10x=39$
D.$x^{2}+10x=89$
C
）A.$x^{2}+10x=25$
B.$x^{2}+10x=64$
C.$x^{2}+10x=39$
D.$x^{2}+10x=89$
答案
C 提示:因为四边形AIFH是面积为64的正方形,所以(x+5)²=64,整理,得x²+10x=39.
解析
【分析】
要解决本题，需先观察图形确定大正方形AIFH的边长，再利用正方形面积公式建立方程，最后整理得到对应的一元二次方程。首先明确大正方形AIFH的边长为小正方形边长x加上5，结合其面积为64，即可列出方程并化简得到目标方程。
【解析】
因为四边形AIFH是正方形，所以它的边长为$(x + 5)$。根据正方形面积公式（面积=边长²），结合其面积为64，可得：
$(x + 5)^2 = 64$
展开左边式子：$x^2 + 10x + 25 = 64$
移项整理：$x^2 + 10x = 64 - 25$
计算得：$x^2 + 10x = 39$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、正方形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的面积关系构造一元二次方程，体现了数形结合的数学思想，解题核心是利用图形边长关系建立等式，再化简得到目标方程，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先观察图形确定大正方形AIFH的边长，再利用正方形面积公式建立方程，最后整理得到对应的一元二次方程。首先明确大正方形AIFH的边长为小正方形边长x加上5，结合其面积为64，即可列出方程并化简得到目标方程。
【解析】
因为四边形AIFH是正方形，所以它的边长为$(x + 5)$。根据正方形面积公式（面积=边长²），结合其面积为64，可得：
$(x + 5)^2 = 64$
展开左边式子：$x^2 + 10x + 25 = 64$
移项整理：$x^2 + 10x = 64 - 25$
计算得：$x^2 + 10x = 39$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程应用、正方形面积计算
【点评】
本题通过几何图形的面积关系构造一元二次方程，体现了数形结合的数学思想，解题核心是利用图形边长关系建立等式，再化简得到目标方程，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.6
3.【阅读理解】对于 $x^{3}-(n^{2}+1)x+n$ 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
$x^{3}-(n^{2}+1)x+n=x^{3}-n^{2}x-x+n=$
$x(x^{2}-n^{2})-(x-n)=x(x-n)(x+n)-$
$(x-n)=(x-n)(x^{2}+nx-1).$
【理解运用】如果 $x^{3}-(n^{2}+1)x+n=0$,那么 $(x-n)(x^{2}+nx-1)=0$,即有 $x-n=0$或 $x^{2}+nx-1=0$,因此,方程 $x-n=0$ 和$x^{2}+nx-1=0$ 的所有解就是方程 $x^{3}-$
$(n^{2}+1)x+n=0$ 的解.
【解决问题】方程 $x^{3}-5x+2=0$ 的解为
$x^{3}-(n^{2}+1)x+n=x^{3}-n^{2}x-x+n=$
$x(x^{2}-n^{2})-(x-n)=x(x-n)(x+n)-$
$(x-n)=(x-n)(x^{2}+nx-1).$
【理解运用】如果 $x^{3}-(n^{2}+1)x+n=0$,那么 $(x-n)(x^{2}+nx-1)=0$,即有 $x-n=0$或 $x^{2}+nx-1=0$,因此,方程 $x-n=0$ 和$x^{2}+nx-1=0$ 的所有解就是方程 $x^{3}-$
$(n^{2}+1)x+n=0$ 的解.
【解决问题】方程 $x^{3}-5x+2=0$ 的解为
$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$
.答案
$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$
提示:根据题意可知,$x^3-5x+2=x^3-4x-x+2=x(x^2-4)-(x-2)=x(x+2)(x-2)-(x-2)=(x-2)[x(x+2)-1]=0$,即$(x-2)(x^2+2x-1)=0$,所以$x-2=0$或$x^2+2x-1=0$,解得$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$.
提示:根据题意可知,$x^3-5x+2=x^3-4x-x+2=x(x^2-4)-(x-2)=x(x+2)(x-2)-(x-2)=(x-2)[x(x+2)-1]=0$,即$(x-2)(x^2+2x-1)=0$,所以$x-2=0$或$x^2+2x-1=0$,解得$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$.
解析
【分析】首先，观察方程$x^3 -5x +2=0$，对应题目给出的特殊代数式$x^3-(n^2+1)x+n$，对比系数可得$n=2$（因$n^2+1=5$，且常数项为$n=2$）。接着按照题目示例的分组分解法对三次多项式因式分解，将原方程转化为两个因式乘积为0的形式，再分别求解一次因式和二次因式对应的方程，即可得到原方程的解。
【解析】对$x^3 -5x +2$因式分解：
$x^3 -5x +2 = x^3 -4x -x +2$
$=x(x^2 -4) - (x -2)$
$=x(x-2)(x+2) - (x-2)$
$=(x-2)[x(x+2)-1]$
$=(x-2)(x^2 +2x -1)$
则原方程$x^3 -5x +2=0$等价于$(x-2)(x^2 +2x -1)=0$，
因此分两种情况求解：
1. 当$x-2=0$时，解得$x=2$；
2. 当$x^2 +2x -1=0$时，用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-1$），代入得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
综上，方程的解为$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$。
【答案】$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$
【知识点】因式分解、一元二次方程求解
【点评】本题为阅读理解型代数题，核心是类比题目给出的三次多项式分解方法，通过分组分解将三次方程转化为一次和二次方程，考查学生的类比迁移能力与因式分解、一元二次方程的运算能力，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
【解析】对$x^3 -5x +2$因式分解：
$x^3 -5x +2 = x^3 -4x -x +2$
$=x(x^2 -4) - (x -2)$
$=x(x-2)(x+2) - (x-2)$
$=(x-2)[x(x+2)-1]$
$=(x-2)(x^2 +2x -1)$
则原方程$x^3 -5x +2=0$等价于$(x-2)(x^2 +2x -1)=0$，
因此分两种情况求解：
1. 当$x-2=0$时，解得$x=2$；
2. 当$x^2 +2x -1=0$时，用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=2,c=-1$），代入得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}$。
综上，方程的解为$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$。
【答案】$x_1=2,x_2=-1+\sqrt{2},x_3=-1-\sqrt{2}$
【知识点】因式分解、一元二次方程求解
【点评】本题为阅读理解型代数题，核心是类比题目给出的三次多项式分解方法，通过分组分解将三次方程转化为一次和二次方程，考查学生的类比迁移能力与因式分解、一元二次方程的运算能力，属于中等难度题型。
【难度系数】0.5
4. 解新类型的方程(组)时，可以通过去分母、换元等方法转化求解.
(1) 请按要求填写下表.
(2) 解方程组:$\begin{cases} x^{2}+2xy+y^{2}=16,\\ xy=3.\\ \end{cases}$
(1) 请按要求填写下表.
(2) 解方程组:$\begin{cases} x^{2}+2xy+y^{2}=16,\\ xy=3.\\ \end{cases}$
答案
解:(1) $t^2-t-2=0$ $t_1=2,t_2=-1$
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2) $\begin{cases} x^2+2xy+y^2=16①,\\ xy=3②. \end{cases}$ 由①,得$(x+y)^2=16$,即$x+y=\pm4$.所以$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x+y=-4,\\ xy=3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x_2=1,\\ y_2=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x_3=-1,\\ y_3=-3 \end{cases}$或$\begin{cases} x_4=-3,\\ y_4=-1. \end{cases}$ 所以原方程组的解为$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=1, \end{cases}\begin{cases} x_2=1,\\ y_2=3, \end{cases}\begin{cases} x_3=-1,\\ y_3=-3, \end{cases}\begin{cases} x_4=-3,\\ y_4=-1. \end{cases}$
$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(2) $\begin{cases} x^2+2xy+y^2=16①,\\ xy=3②. \end{cases}$ 由①,得$(x+y)^2=16$,即$x+y=\pm4$.所以$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x+y=-4,\\ xy=3. \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=1 \end{cases}$或$\begin{cases} x_2=1,\\ y_2=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x_3=-1,\\ y_3=-3 \end{cases}$或$\begin{cases} x_4=-3,\\ y_4=-1. \end{cases}$ 所以原方程组的解为$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=1, \end{cases}\begin{cases} x_2=1,\\ y_2=3, \end{cases}\begin{cases} x_3=-1,\\ y_3=-3, \end{cases}\begin{cases} x_4=-3,\\ y_4=-1. \end{cases}$
解析
【分析】
本题分为两部分，第(1)小题是用换元法解高次方程，第(2)小题是解二元二次方程组。第(1)小题通过换元将四次方程转化为二次方程，再根据换元后参数的非负性筛选解，最后回代得到原方程的解；第(2)小题利用完全平方公式变形，将二元二次方程组转化为两个二元方程组求解，核心是运用转化思想简化问题。
【解析】
(1) 对于方程$x^4 - x^2 - 2 = 0$，设$x^2 = t$（$t≥0$，因为平方数非负），则$x^4 = t^2$，原方程转化为：
$t^2 - t - 2 = 0$；
解方程$t^2 - t - 2 = 0$，因式分解得$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=-1$；
由于$t≥0$，舍去$t=-1$，将$t=2$代入$x^2 = t$，得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$；
检验：将$x=\sqrt{2}$和$x=-\sqrt{2}$分别代入原方程，均满足等式，故为原方程的解。
(2) 解方程组$\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 16 \\ xy = 3 \end{cases}$：
由第一个方程，利用完全平方公式变形得$(x+y)^2=16$，因此$x+y=4$或$x+y=-4$；
原方程组转化为两个二元方程组：
① $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$，根据韦达定理，$x$、$y$是方程$a^2 -4a +3=0$的根，解得$\begin{cases} x_1=3 \\ y_1=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x_2=1 \\ y_2=3 \end{cases}$；
② $\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=3 \end{cases}$，同理，$x$、$y$是方程$a^2 +4a +3=0$的根，解得$\begin{cases} x_3=-1 \\ y_3=-3 \end{cases}$，$\begin{cases} x_4=-3 \\ y_4=-1 \end{cases}$；
综上，原方程组的解为上述四组。
【答案】
(1) 表格填写：转化部分为$t^2 - t -2=0$；求解部分为$t_1=2,t_2=-1$；结论部分为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(2) 方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=-1 \\ y=-3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$。
【知识点】
换元法解方程、二元二次方程组解法、完全平方公式
【点评】
本题考查高次方程与二元二次方程组的解法，核心是通过换元或公式变形将复杂问题转化为简单的低次问题，体现了转化的数学思想。解题时需注意换元后参数的取值范围，以及方程组解的完整性，避免漏解。
【难度系数】
0.5
本题分为两部分，第(1)小题是用换元法解高次方程，第(2)小题是解二元二次方程组。第(1)小题通过换元将四次方程转化为二次方程，再根据换元后参数的非负性筛选解，最后回代得到原方程的解；第(2)小题利用完全平方公式变形，将二元二次方程组转化为两个二元方程组求解，核心是运用转化思想简化问题。
【解析】
(1) 对于方程$x^4 - x^2 - 2 = 0$，设$x^2 = t$（$t≥0$，因为平方数非负），则$x^4 = t^2$，原方程转化为：
$t^2 - t - 2 = 0$；
解方程$t^2 - t - 2 = 0$，因式分解得$(t-2)(t+1)=0$，解得$t_1=2$，$t_2=-1$；
由于$t≥0$，舍去$t=-1$，将$t=2$代入$x^2 = t$，得$x^2=2$，解得$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=-\sqrt{2}$；
检验：将$x=\sqrt{2}$和$x=-\sqrt{2}$分别代入原方程，均满足等式，故为原方程的解。
(2) 解方程组$\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 = 16 \\ xy = 3 \end{cases}$：
由第一个方程，利用完全平方公式变形得$(x+y)^2=16$，因此$x+y=4$或$x+y=-4$；
原方程组转化为两个二元方程组：
① $\begin{cases} x+y=4 \\ xy=3 \end{cases}$，根据韦达定理，$x$、$y$是方程$a^2 -4a +3=0$的根，解得$\begin{cases} x_1=3 \\ y_1=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x_2=1 \\ y_2=3 \end{cases}$；
② $\begin{cases} x+y=-4 \\ xy=3 \end{cases}$，同理，$x$、$y$是方程$a^2 +4a +3=0$的根，解得$\begin{cases} x_3=-1 \\ y_3=-3 \end{cases}$，$\begin{cases} x_4=-3 \\ y_4=-1 \end{cases}$；
综上，原方程组的解为上述四组。
【答案】
(1) 表格填写：转化部分为$t^2 - t -2=0$；求解部分为$t_1=2,t_2=-1$；结论部分为$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$；
(2) 方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=1 \end{cases}$，$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=-1 \\ y=-3 \end{cases}$，$\begin{cases} x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$。
【知识点】
换元法解方程、二元二次方程组解法、完全平方公式
【点评】
本题考查高次方程与二元二次方程组的解法，核心是通过换元或公式变形将复杂问题转化为简单的低次问题，体现了转化的数学思想。解题时需注意换元后参数的取值范围，以及方程组解的完整性，避免漏解。
【难度系数】
0.5
5. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程为“邻根方程”. 例如,一元二次方程 $x^2+x=0$ 的两个根是 $x_1=0,x_2=-1$, 则方程 $x^2+x=0$ 是“邻根方程”.
(1) 通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”:
①$x^2-x-6=0$; ②$x^2-\sqrt{5}x+1=0$.
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(k-3)x-3k=0$($k$ 是常数)是“邻根方程”,求 $k$ 的值.
(3) 若关于 $x$ 的方程 $mx^2+nx+2=0$($m$,$n$ 是常数,$m＞0$)是“邻根方程”,令 $t=n^2-4m^2$,试求 $t$ 的最大值.
(1) 通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”:
①$x^2-x-6=0$; ②$x^2-\sqrt{5}x+1=0$.
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(k-3)x-3k=0$($k$ 是常数)是“邻根方程”,求 $k$ 的值.
(3) 若关于 $x$ 的方程 $mx^2+nx+2=0$($m$,$n$ 是常数,$m＞0$)是“邻根方程”,令 $t=n^2-4m^2$,试求 $t$ 的最大值.
答案
解:(1) ①解方程,得$x_1=3,x_2=-2$.因为$3-(-2)=5$,所以$x^2-x-6=0$不是“邻根方程”. ②解方程,得$x_1=\frac{\sqrt{5}+1}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.因为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$,所以$x^2-\sqrt{5}x+1=0$是“邻根方程”.
(2) 整理,得$(x+3)(x-k)=0$,所以$x_1=k,x_2=-3$.因为方程$x^2-(k-3)x-3k=0$是“邻根方程”,所以$k-(-3)=1$或$-3-k=1$,解得$k=-2$或$k=-4$.
(3) 解方程,得$x=\frac{-n\pm\sqrt{n^2-8m}}{2m}$.因为关于$x$的方程$mx^2+nx+2=0$($m,n$是常数,$m＞0$)是“邻根方程”,所以$\frac{-n+\sqrt{n^2-8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^2-8m}}{2m}=1$.整理,得$n^2=m^2+8m$.因为$t=n^2-4m^2$,所以$t=-3m^2+8m=-3(m-\frac{4}{3})^2+\frac{16}{3}$.所以当$m=\frac{4}{3}$时,$t$有最大值$\frac{16}{3}$.
(2) 整理,得$(x+3)(x-k)=0$,所以$x_1=k,x_2=-3$.因为方程$x^2-(k-3)x-3k=0$是“邻根方程”,所以$k-(-3)=1$或$-3-k=1$,解得$k=-2$或$k=-4$.
(3) 解方程,得$x=\frac{-n\pm\sqrt{n^2-8m}}{2m}$.因为关于$x$的方程$mx^2+nx+2=0$($m,n$是常数,$m＞0$)是“邻根方程”,所以$\frac{-n+\sqrt{n^2-8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^2-8m}}{2m}=1$.整理,得$n^2=m^2+8m$.因为$t=n^2-4m^2$,所以$t=-3m^2+8m=-3(m-\frac{4}{3})^2+\frac{16}{3}$.所以当$m=\frac{4}{3}$时,$t$有最大值$\frac{16}{3}$.
解析
【分析】
首先明确“邻根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且较大根与较小根的差为1。解题思路：(1) 对每个方程，先求出两个实根，再计算两根的差，判断是否等于1；(2) 先对给定方程因式分解求出两根，根据“邻根方程”的条件（两根差为1）列方程求解k；(3) 用求根公式表示方程的两根，根据“邻根方程”的条件推导n²与m的关系，代入t的表达式转化为关于m的二次函数，利用二次函数性质求最大值（注意m＞0的条件）。
【解析】
(1) ①解方程$x^2 - x -6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$。因为$3 - (-2)=5≠1$，所以该方程不是“邻根方程”；
②解方程$x^2 - \sqrt{5}x +1=0$，由求根公式得$x=\frac{\sqrt{5}±\sqrt{(\sqrt{5})^2 -4×1×1}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}±1}{2}$，即$x_1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$，所以该方程是“邻根方程”；
(2) 对$x^2-(k-3)x-3k=0$因式分解得$(x+3)(x -k)=0$，解得$x_1=k$，$x_2=-3$。因为该方程是“邻根方程”，所以两根差为1，即$|k - (-3)|=1$，则$k+3=1$或$k+3=-1$，解得$k=-2$或$k=-4$；
(3) 方程$mx^2 +nx +2=0(m＞0)$，由求根公式得$x=\frac{-n±\sqrt{n^2 -8m}}{2m}$，两根差为$\frac{-n+\sqrt{n^2 -8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^2 -8m}}{2m}=\frac{2\sqrt{n^2 -8m}}{2m}=\frac{\sqrt{n^2 -8m}}{m}$。因为是“邻根方程”，所以$\frac{\sqrt{n^2 -8m}}{m}=1$，即$\sqrt{n^2 -8m}=m$，两边平方得$n^2 -8m=m^2$，即$n^2=m^2 +8m$。将其代入$t=n^2 -4m^2$得：$t=m^2 +8m -4m^2=-3m^2 +8m=-3(m-\frac{4}{3})^2 +\frac{16}{3}$。因为$m＞0$，所以当$m=\frac{4}{3}$时，$t$取得最大值$\frac{16}{3}$；
【答案】
(1) ①不是；②是；(2) $k=-2$或$k=-4$；(3) $t$的最大值为$\frac{16}{3}$；
【知识点】
一元二次方程的根、一元二次方程的解法、二次函数的最值；
【点评】
本题为新定义题型，关键是理解“邻根方程”的定义并转化为两根差为1的条件，综合考查一元二次方程的解法与二次函数最值的应用，需要学生具备较强的新定义转化能力和代数运算能力；
【难度系数】
0.4
首先明确“邻根方程”的定义：一元二次方程有两个实数根，且较大根与较小根的差为1。解题思路：(1) 对每个方程，先求出两个实根，再计算两根的差，判断是否等于1；(2) 先对给定方程因式分解求出两根，根据“邻根方程”的条件（两根差为1）列方程求解k；(3) 用求根公式表示方程的两根，根据“邻根方程”的条件推导n²与m的关系，代入t的表达式转化为关于m的二次函数，利用二次函数性质求最大值（注意m＞0的条件）。
【解析】
(1) ①解方程$x^2 - x -6=0$，因式分解得$(x-3)(x+2)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-2$。因为$3 - (-2)=5≠1$，所以该方程不是“邻根方程”；
②解方程$x^2 - \sqrt{5}x +1=0$，由求根公式得$x=\frac{\sqrt{5}±\sqrt{(\sqrt{5})^2 -4×1×1}}{2×1}=\frac{\sqrt{5}±1}{2}$，即$x_1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$x_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1$，所以该方程是“邻根方程”；
(2) 对$x^2-(k-3)x-3k=0$因式分解得$(x+3)(x -k)=0$，解得$x_1=k$，$x_2=-3$。因为该方程是“邻根方程”，所以两根差为1，即$|k - (-3)|=1$，则$k+3=1$或$k+3=-1$，解得$k=-2$或$k=-4$；
(3) 方程$mx^2 +nx +2=0(m＞0)$，由求根公式得$x=\frac{-n±\sqrt{n^2 -8m}}{2m}$，两根差为$\frac{-n+\sqrt{n^2 -8m}}{2m}-\frac{-n-\sqrt{n^2 -8m}}{2m}=\frac{2\sqrt{n^2 -8m}}{2m}=\frac{\sqrt{n^2 -8m}}{m}$。因为是“邻根方程”，所以$\frac{\sqrt{n^2 -8m}}{m}=1$，即$\sqrt{n^2 -8m}=m$，两边平方得$n^2 -8m=m^2$，即$n^2=m^2 +8m$。将其代入$t=n^2 -4m^2$得：$t=m^2 +8m -4m^2=-3m^2 +8m=-3(m-\frac{4}{3})^2 +\frac{16}{3}$。因为$m＞0$，所以当$m=\frac{4}{3}$时，$t$取得最大值$\frac{16}{3}$；
【答案】
(1) ①不是；②是；(2) $k=-2$或$k=-4$；(3) $t$的最大值为$\frac{16}{3}$；
【知识点】
一元二次方程的根、一元二次方程的解法、二次函数的最值；
【点评】
本题为新定义题型，关键是理解“邻根方程”的定义并转化为两根差为1的条件，综合考查一元二次方程的解法与二次函数最值的应用，需要学生具备较强的新定义转化能力和代数运算能力；
【难度系数】
0.4
