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12. 配餐公司为某校提供 A,B,C 三种午餐供师生选择,单价分别是:8 元、10 元、15 元.为了做好下阶段的经营与销售,配餐公司根据该校上周 A,B,C 三种午餐购买情况的数据制成统计表如下,又根据过去平均每份的利润与销售量之间的关系绘制成统计图如下:
过去平均每份的利润与销售量关系条形统计图
请你根据以上信息,解答下列问题:
(1) 该校师生上周购买午餐费用的中位数是
(2) 为了提倡均衡饮食,假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用,试通过列表或画树状图分析,求该校学生小明选择“AB”组合的概率.
(3) 经分析与预测,师生购买午餐种类与数量相对稳定.根据上级规定,配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元,否则应调低午餐的单价.
①请通过计算分析,试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价?
②为了便于操作,公司决定只调低一种午餐的单价,且调低幅度至少1元(只能整数元),才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元,试通过计算说明,应把哪一种午餐的单价调整为多少元?
过去平均每份的利润与销售量关系条形统计图
请你根据以上信息,解答下列问题:
(1) 该校师生上周购买午餐费用的中位数是
10
元.(2) 为了提倡均衡饮食,假如学校要求师生每人选择两种不同午餐交替使用,试通过列表或画树状图分析,求该校学生小明选择“AB”组合的概率.
(3) 经分析与预测,师生购买午餐种类与数量相对稳定.根据上级规定,配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元,否则应调低午餐的单价.
①请通过计算分析,试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价?
②为了便于操作,公司决定只调低一种午餐的单价,且调低幅度至少1元(只能整数元),才能使得下周平均每份午餐的利润在不违反规定下最接近3元,试通过计算说明,应把哪一种午餐的单价调整为多少元?
答案
12. 解:(1) 10 提示:全校总人数为$1\ 800+2\ 400+800=5\ 000$人. 因此将价钱按照8元(A)、10元(B)、15元(C)的顺序排列后,再对于5 000份数据,按照从小到大排列后,中位数为第2 500和第2 501个数据的平均数. 也就是说,中位数为数量(份)的第2 500和2 501个数的平均数. 通过统计表计算得知,A+B的份数一共为$1\ 800+2\ 400=4\ 200$,因此中位数为B午餐的费用,即为10元.
(2) ①树状图如下：
由树状图得,共有6种等可能的情况:AB,AC,BA,BC,CA,CB. 其中“AB”组合共有2种,所以$P=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.
(3) ①根据条形统计图得知,A的利润为2元,B的利润为4元,C的利润为3元,所以总利润为$1\ 800×2+4×2\ 400+3×800=15\ 600$(元),平均利润为$15\ 600÷5\ 000=3.12$(元),$3.12＞3$,因此应调低午餐单价.
②假设调低A单价1元,平均每份午餐的利润为$\dfrac{1×1\ 800+4×2\ 400+3×800}{5\ 000}=2.76$(元),调低B单价1元,平均每份午餐的利润为$\dfrac{2×1\ 800+3×2\ 400+3×800}{5\ 000}=2.64$(元),调低C单价1元,平均每份午餐的利润为$\dfrac{2×1\ 800+4×2\ 400+2×800}{5\ 000}=2.96$(元). 当调低A,B,C的单价大于1元时,平均每份午餐的利润一定小于2. 96元. 综上所述,应该调低C午餐1元,即C的午餐单价应该调整为14元,才能使下周平均每份午餐的利润更接近3元.
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 求中位数时，先计算总午餐份数，确定中位数是排序后第2500和第2501个数据的平均数，通过各午餐的销售量判断中间位置对应的午餐单价，从而得到中位数；
(2) 求“AB”组合的概率，通过树状图列出所有等可能的选择情况，统计符合“AB”组合的情况数，利用概率公式计算；
(3) ①计算平均每份午餐的利润，需先求出总利润（各午餐利润×销售量之和），再除以总份数，与规定的3元比较，判断是否需调低单价；②分别计算调低A、B、C各1元后的平均利润，比较哪个最接近3元，结合调低幅度要求确定调整方案。
【解析】
(1) 总午餐份数：$1800 + 2400 + 800 = 5000$（份），中位数是排序后第2500和第2501个数据的平均数。A午餐销售量为1800份，A+B午餐总销售量为$1800 + 2400 = 4200$份，因此第2500、2501个数据均对应B午餐的单价10元，故中位数为10元。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的情况：AB、AC、BA、BC、CA、CB，其中“AB”组合有2种，故$P(AB组合)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(3) ① 计算总利润：A午餐利润$1800×2 = 3600$元，B午餐利润$2400×4 = 9600$元，C午餐利润$800×3 = 2400$元，总利润为$3600 + 9600 + 2400 = 15600$元，平均每份利润为$15600÷5000 = 3.12$元。因为$3.12 ＞ 3$，所以需要调低午餐单价。
② 分别计算调低各午餐单价1元后的平均利润：
调低A单价1元：A利润为1元，平均利润为$\dfrac{1×1800 + 4×2400 + 3×800}{5000} = 2.76$元；
调低B单价1元：B利润为3元，平均利润为$\dfrac{2×1800 + 3×2400 + 3×800}{5000} = 2.64$元；
调低C单价1元：C利润为2元，平均利润为$\dfrac{2×1800 + 4×2400 + 2×800}{5000} = 2.96$元；
比较可知，2.96最接近3元，故应调低C午餐单价1元，调整后C的单价为$15 - 1 = 14$元。
【答案】
(1) 10；(2) $P=\dfrac{1}{3}$；(3) ①需要调低；②应把C午餐的单价调整为14元。
【知识点】
中位数、概率、平均数
【点评】
本题以实际配餐销售为背景，综合考查统计中的中位数、概率计算、平均数的应用，需要学生结合数据和实际要求逐步分析计算，既考查基础知识点，又锻炼了应用能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 求中位数时，先计算总午餐份数，确定中位数是排序后第2500和第2501个数据的平均数，通过各午餐的销售量判断中间位置对应的午餐单价，从而得到中位数；
(2) 求“AB”组合的概率，通过树状图列出所有等可能的选择情况，统计符合“AB”组合的情况数，利用概率公式计算；
(3) ①计算平均每份午餐的利润，需先求出总利润（各午餐利润×销售量之和），再除以总份数，与规定的3元比较，判断是否需调低单价；②分别计算调低A、B、C各1元后的平均利润，比较哪个最接近3元，结合调低幅度要求确定调整方案。
【解析】
(1) 总午餐份数：$1800 + 2400 + 800 = 5000$（份），中位数是排序后第2500和第2501个数据的平均数。A午餐销售量为1800份，A+B午餐总销售量为$1800 + 2400 = 4200$份，因此第2500、2501个数据均对应B午餐的单价10元，故中位数为10元。
(2) 画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的情况：AB、AC、BA、BC、CA、CB，其中“AB”组合有2种，故$P(AB组合)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$。
(3) ① 计算总利润：A午餐利润$1800×2 = 3600$元，B午餐利润$2400×4 = 9600$元，C午餐利润$800×3 = 2400$元，总利润为$3600 + 9600 + 2400 = 15600$元，平均每份利润为$15600÷5000 = 3.12$元。因为$3.12 ＞ 3$，所以需要调低午餐单价。
② 分别计算调低各午餐单价1元后的平均利润：
调低A单价1元：A利润为1元，平均利润为$\dfrac{1×1800 + 4×2400 + 3×800}{5000} = 2.76$元；
调低B单价1元：B利润为3元，平均利润为$\dfrac{2×1800 + 3×2400 + 3×800}{5000} = 2.64$元；
调低C单价1元：C利润为2元，平均利润为$\dfrac{2×1800 + 4×2400 + 2×800}{5000} = 2.96$元；
比较可知，2.96最接近3元，故应调低C午餐单价1元，调整后C的单价为$15 - 1 = 14$元。
【答案】
(1) 10；(2) $P=\dfrac{1}{3}$；(3) ①需要调低；②应把C午餐的单价调整为14元。
【知识点】
中位数、概率、平均数
【点评】
本题以实际配餐销售为背景，综合考查统计中的中位数、概率计算、平均数的应用，需要学生结合数据和实际要求逐步分析计算，既考查基础知识点，又锻炼了应用能力，综合性较强。
【难度系数】
0.6
