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1. 小明随机抽查爱民小区6户家庭月均用水情况,分别是:3,4,5,7,6,5(单位:$\mathrm{m}^3$).关于这组数据,下列说法正确的是 （
A.众数是2
B.中位数是6
C.平均数是6
D.离差平方和是10
D
）A.众数是2
B.中位数是6
C.平均数是6
D.离差平方和是10
答案
1. D
解析
【分析】
要判断各选项的正确性，需分别计算这组数据的众数、中位数、平均数、离差平方和，再与选项对比。首先将原数据排序，再依据各统计量的定义逐一分析选项。
【解析】
原数据为：3,4,5,7,6,5，排序后为：3,4,5,5,6,7。
1. 众数：出现次数最多的数，5出现2次，其余数各出现1次，故众数为5，A选项错误。
2. 中位数：数据个数为偶数，中位数是排序后第3、4个数的平均数，即$\frac{5+5}{2}=5$，B选项错误。
3. 平均数：总和为$3+4+5+5+6+7=30$，平均数为$\frac{30}{6}=5$，C选项错误。
4. 离差平方和：离差=数据-平均数，计算各离差平方：
$(3-5)^2=4$，$(4-5)^2=1$，$(5-5)^2=0$，$(5-5)^2=0$，$(6-5)^2=1$，$(7-5)^2=4$，
离差平方和为$4+1+0+0+1+4=10$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
统计量计算、离差平方和
【点评】
本题考查基础统计量的概念与计算，需准确掌握众数、中位数、平均数的定义，以及离差平方和的计算方法，属于常规基础题，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.5
要判断各选项的正确性，需分别计算这组数据的众数、中位数、平均数、离差平方和，再与选项对比。首先将原数据排序，再依据各统计量的定义逐一分析选项。
【解析】
原数据为：3,4,5,7,6,5，排序后为：3,4,5,5,6,7。
1. 众数：出现次数最多的数，5出现2次，其余数各出现1次，故众数为5，A选项错误。
2. 中位数：数据个数为偶数，中位数是排序后第3、4个数的平均数，即$\frac{5+5}{2}=5$，B选项错误。
3. 平均数：总和为$3+4+5+5+6+7=30$，平均数为$\frac{30}{6}=5$，C选项错误。
4. 离差平方和：离差=数据-平均数，计算各离差平方：
$(3-5)^2=4$，$(4-5)^2=1$，$(5-5)^2=0$，$(5-5)^2=0$，$(6-5)^2=1$，$(7-5)^2=4$，
离差平方和为$4+1+0+0+1+4=10$，D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
统计量计算、离差平方和
【点评】
本题考查基础统计量的概念与计算，需准确掌握众数、中位数、平均数的定义，以及离差平方和的计算方法，属于常规基础题，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.5
2. 下列事件的概率，与“任意选2个人，恰好同月过生日”这一事件的概率相等的是
（
A.任意选2个人，恰好生肖相同
B.任意选2个人，恰好同一天过生日
C.任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D.任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
（
A
）A.任意选2个人，恰好生肖相同
B.任意选2个人，恰好同一天过生日
C.任意掷2枚骰子，恰好朝上的点数相同
D.任意掷2枚硬币，恰好朝上的一面相同
答案
2. A
解析
【分析】首先需计算题干中“任意选2个人，恰好同月过生日”的概率，再分别计算各选项事件的概率，通过对比找到概率相等的选项。计算时可利用简化思路：对于有n种等可能属性的情况，任意选2个对象属性相同的概率为$\frac{1}{n}$，无需复杂列举所有情况。
【解析】
1. 题干事件概率：一年共12个月，任意选2人，第一个人的生日月份任意，第二个人与他同月的概率为$\frac{1}{12}$。
2. 各选项概率计算：
选项A：生肖共12种，任意选2人恰好生肖相同的概率为$\frac{1}{12}$，与题干概率相等。
选项B：一年按365天计算，恰好同一天过生日的概率为$\frac{1}{365}$，与$\frac{1}{12}$不等。
选项C：掷2枚骰子，总情况数为$6×6=36$，点数相同的情况有6种，概率为$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，与$\frac{1}{12}$不等。
选项D：掷2枚硬币，总情况数为4种（正正、正反、反正、反反），恰好一面相同的情况有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，与$\frac{1}{12}$不等。
3. 综上，概率相等的是选项A。
【答案】A
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题考查古典概型的概率计算，核心是掌握“2个对象某属性相同”的概率简化计算方法，需准确区分不同事件的属性总数，避免概率计算错误。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 题干事件概率：一年共12个月，任意选2人，第一个人的生日月份任意，第二个人与他同月的概率为$\frac{1}{12}$。
2. 各选项概率计算：
选项A：生肖共12种，任意选2人恰好生肖相同的概率为$\frac{1}{12}$，与题干概率相等。
选项B：一年按365天计算，恰好同一天过生日的概率为$\frac{1}{365}$，与$\frac{1}{12}$不等。
选项C：掷2枚骰子，总情况数为$6×6=36$，点数相同的情况有6种，概率为$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$，与$\frac{1}{12}$不等。
选项D：掷2枚硬币，总情况数为4种（正正、正反、反正、反反），恰好一面相同的情况有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，与$\frac{1}{12}$不等。
3. 综上，概率相等的是选项A。
【答案】A
【知识点】概率计算、古典概型
【点评】本题考查古典概型的概率计算，核心是掌握“2个对象某属性相同”的概率简化计算方法，需准确区分不同事件的属性总数，避免概率计算错误。
【难度系数】0.5
3. 10个人去钓鱼,共钓到3条鱼,假设每个人钓到鱼的可能性相同,那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是 （
A.$\dfrac{1}{30}$
B.$\dfrac{3}{10}$
C.$\dfrac{1}{100}$
D.$\dfrac{1}{1000}$
C
）A.$\dfrac{1}{30}$
B.$\dfrac{3}{10}$
C.$\dfrac{1}{100}$
D.$\dfrac{1}{1000}$
答案
3. C 提示:同一个人可以是这10个人中的任意一个,若记为1号,2号,…,10号,则符合题意的有(1,1,1),(2,2,2)…(10,10,10)这10种情况,共有10×10×10=1 000种等可能情况,符合题意的有10种,故同一个人钓到3条鱼的概率是$\dfrac{1}{100}$.
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先明确这是古典概型问题，需计算所有等可能的基本事件总数，以及“3条鱼由同一个人钓到”包含的基本事件数。每条鱼都可被10个人中的任意一人钓到，且每条鱼的选择相互独立，总情况数用乘法原理计算；符合条件的情况是3条鱼都被同一个人钓到，共10种，最后用符合条件的事件数除以总事件数得到概率。
【解析】
解：每条鱼有10种被分配的可能，3条鱼的总等可能情况数为：$10×10×10 = 1000$种。
“3条鱼由同一个人钓到”的情况是：10个人中任意一人钓到全部3条鱼，共10种情况。
根据古典概型概率公式，所求概率为：$P = \frac{符合条件的情况数}{总情况数} = \frac{10}{1000} = \frac{1}{100}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基本应用，核心是正确计算独立事件的总情况数，需注意每条鱼的选择相互独立，避免总情况数计算错误，属于基础概率题。
【难度系数】
0.5
要解决这个概率问题，首先明确这是古典概型问题，需计算所有等可能的基本事件总数，以及“3条鱼由同一个人钓到”包含的基本事件数。每条鱼都可被10个人中的任意一人钓到，且每条鱼的选择相互独立，总情况数用乘法原理计算；符合条件的情况是3条鱼都被同一个人钓到，共10种，最后用符合条件的事件数除以总事件数得到概率。
【解析】
解：每条鱼有10种被分配的可能，3条鱼的总等可能情况数为：$10×10×10 = 1000$种。
“3条鱼由同一个人钓到”的情况是：10个人中任意一人钓到全部3条鱼，共10种情况。
根据古典概型概率公式，所求概率为：$P = \frac{符合条件的情况数}{总情况数} = \frac{10}{1000} = \frac{1}{100}$。
【答案】
C
【知识点】
古典概型，概率计算
【点评】
本题考查古典概型的基本应用，核心是正确计算独立事件的总情况数，需注意每条鱼的选择相互独立，避免总情况数计算错误，属于基础概率题。
【难度系数】
0.5
4. 已知排球队6名场上队员的身高(单位：cm)分别是：181,185,188,190,194,196. 现用两名身高分别是186,193的队员换下场上身高为181,194的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（
A.平均数
B.中位数
C.方差
D.标准差
B
）A.平均数
B.中位数
C.方差
D.标准差
答案
4. B
解析
【分析】要解决该问题，需分别计算换人前和换人后的平均数、中位数、方差、标准差，对比各统计量是否变化。首先明确各统计量的计算规则：平均数是所有数据之和除以数据个数；中位数是将数据排序后，偶数个数据取中间两个数的平均值；方差是各数据与平均数差的平方的平均数；标准差是方差的算术平方根。解题时需先列出两组数据，再逐一计算统计量进行判断。
【解析】换人前6名队员身高：181,185,188,190,194,196；换人后6名队员身高：185,186,188,190,193,196。
1. 平均数计算：换人前总和=181+185+188+190+194+196=1134，平均数=1134÷6=189；换人后总和=185+186+188+190+193+196=1138，平均数≈189.67，平均数改变，排除A。
2. 中位数计算：换人前排序后为181,185,188,190,194,196，中位数=(188+190)÷2=189；换人后排序后为185,186,188,190,193,196，中位数=(188+190)÷2=189，中位数不变，B符合。
3. 方差与标准差验证：换人前方差=1/6×[(181-189)²+(185-189)²+…+(196-189)²]=26；换人后平均数改变，差的平方和与换人前不同，故方差、标准差均改变，排除C、D。
【答案】B
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查统计量的基本计算，需准确掌握各统计量的定义，尤其注意偶数个数据时中位数的计算规则，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】换人前6名队员身高：181,185,188,190,194,196；换人后6名队员身高：185,186,188,190,193,196。
1. 平均数计算：换人前总和=181+185+188+190+194+196=1134，平均数=1134÷6=189；换人后总和=185+186+188+190+193+196=1138，平均数≈189.67，平均数改变，排除A。
2. 中位数计算：换人前排序后为181,185,188,190,194,196，中位数=(188+190)÷2=189；换人后排序后为185,186,188,190,193,196，中位数=(188+190)÷2=189，中位数不变，B符合。
3. 方差与标准差验证：换人前方差=1/6×[(181-189)²+(185-189)²+…+(196-189)²]=26；换人后平均数改变，差的平方和与换人前不同，故方差、标准差均改变，排除C、D。
【答案】B
【知识点】中位数、平均数、方差
【点评】本题考查统计量的基本计算，需准确掌握各统计量的定义，尤其注意偶数个数据时中位数的计算规则，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
5. 一组数据 3,4,6,8,x 的中位数是 x ,且 x
是满足不等式组$\begin{cases} x-3≥0,\\ 5-x＜0 \end{cases}$的整数,则这组
数据的平均数是
是满足不等式组$\begin{cases} x-3≥0,\\ 5-x＜0 \end{cases}$的整数,则这组
数据的平均数是
5.4
.答案
5. 5.4
解析
【分析】
先解给定的不等式组，确定x的整数取值范围；再根据中位数的定义（5个数据的中位数是排序后第3个数），结合“中位数是x”的条件，确定x的具体值；最后代入数据计算平均数。
【解析】
1. 解不等式组$\begin{cases} x-3≥0 \\5-x＜0 \end{cases}$：
解$x-3≥0$，得$x≥3$；
解$5-x＜0$，得$x＞5$；
因此不等式组的解集为$x＞5$，整数解为$x≥6$的整数。
2. 确定x的值：
这组数据共5个，中位数是从小到大排列后的第3个数，要求中位数为x，即排序后第3个数是x。原数据为3,4,6,8，当x=6时，排序为3,4,6,6,8，第3个数是6=x，符合条件；若x＞6（如x=7），排序后第3个数为6≠x，不符合，故x=6。
3. 计算平均数：
平均数为$\frac{3+4+6+8+6}{5}=\frac{27}{5}=5.4$。
【答案】5.4
【知识点】中位数；一元一次不等式组的整数解；平均数
【点评】本题综合考查不等式组的解法、中位数的定义和平均数的计算，需明确奇数个数据的中位数是中间位置的数，结合条件确定未知数是解题关键。
【难度系数】0.5
先解给定的不等式组，确定x的整数取值范围；再根据中位数的定义（5个数据的中位数是排序后第3个数），结合“中位数是x”的条件，确定x的具体值；最后代入数据计算平均数。
【解析】
1. 解不等式组$\begin{cases} x-3≥0 \\5-x＜0 \end{cases}$：
解$x-3≥0$，得$x≥3$；
解$5-x＜0$，得$x＞5$；
因此不等式组的解集为$x＞5$，整数解为$x≥6$的整数。
2. 确定x的值：
这组数据共5个，中位数是从小到大排列后的第3个数，要求中位数为x，即排序后第3个数是x。原数据为3,4,6,8，当x=6时，排序为3,4,6,6,8，第3个数是6=x，符合条件；若x＞6（如x=7），排序后第3个数为6≠x，不符合，故x=6。
3. 计算平均数：
平均数为$\frac{3+4+6+8+6}{5}=\frac{27}{5}=5.4$。
【答案】5.4
【知识点】中位数；一元一次不等式组的整数解；平均数
【点评】本题综合考查不等式组的解法、中位数的定义和平均数的计算，需明确奇数个数据的中位数是中间位置的数，结合条件确定未知数是解题关键。
【难度系数】0.5
6. 若 40 个数据的平方和是 56 , 平均数是$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,则这组数据的方差是
0.9
.答案
6. 0.9
解析
【分析】要计算这组数据的方差，需利用方差的简化公式：对于n个数据，方差可通过平方和、平均数直接计算，公式为$s^2=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2)$，其中$\sum_{i=1}^n x_i^2$是数据的平方和，$\bar{x}$是平均数，n是数据个数。题目已给出n=40，平方和为56，平均数为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入公式即可求解。
【解析】根据方差的简化公式：
$s^2=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2)$
代入已知条件：n=40，$\sum_{i=1}^n x_i^2=56$，$\bar{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，先计算$\bar{x}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$，则$n\bar{x}^2=40×\frac{1}{2}=20$，因此：
$s^2=\frac{1}{40}(56 - 20)=\frac{36}{40}=0.9$
【答案】0.9
【知识点】方差计算、平均数性质
【点评】本题考查方差的简化计算，核心是掌握方差公式的变形，利用已知的平方和与平均数直接运算，避免逐个计算数据，属于基础运算题。
【难度系数】0.5
【解析】根据方差的简化公式：
$s^2=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2)$
代入已知条件：n=40，$\sum_{i=1}^n x_i^2=56$，$\bar{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，先计算$\bar{x}^2=(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}$，则$n\bar{x}^2=40×\frac{1}{2}=20$，因此：
$s^2=\frac{1}{40}(56 - 20)=\frac{36}{40}=0.9$
【答案】0.9
【知识点】方差计算、平均数性质
【点评】本题考查方差的简化计算，核心是掌握方差公式的变形，利用已知的平方和与平均数直接运算，避免逐个计算数据，属于基础运算题。
【难度系数】0.5
7. 如图,有 A,B,C 三类矩形(或正方形)卡片
$(a＞b)$,其中甲同学持有 A,B 类卡片各一
张,乙同学持有 B,C 类卡片各一张,丙同学
持有 A,C 类卡片各一张. 现随机选取两位
同学手中的卡片共四张进行拼图,则能拼
成一个正方形的概率是
$(a＞b)$,其中甲同学持有 A,B 类卡片各一
张,乙同学持有 B,C 类卡片各一张,丙同学
持有 A,C 类卡片各一张. 现随机选取两位
同学手中的卡片共四张进行拼图,则能拼
成一个正方形的概率是
$\dfrac{1}{3}$
.答案
7. $\dfrac{1}{3}$ 提示:由题可得,随机选取两位同学,可能的结果如下:甲乙、甲丙、乙丙. 因为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$,所以选择乙丙手中的卡片共四张进行拼图,则能拼成一个边长为$(a+b)$的正方形,所以能拼成一个正方形的概率为$\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确从三位同学中随机选取两位的所有等可能情况，再分别计算每种选取情况下四张卡片的总面积，判断其是否符合正方形的面积形式（即完全平方式），最后根据符合条件的情况数与总情况数的比值计算概率。
【解析】
1. 列举所有选取两位同学的等可能结果：从甲、乙、丙三位同学中选两位，共有3种结果：甲乙、甲丙、乙丙。
2. 计算每种组合的四张卡片总面积：
甲（A、B）和乙（B、C）：总面积为$a^2 + b^2 + b^2 + ab = a^2 + ab + 2b^2$，无法写成完全平方式，不能拼成正方形；
甲（A、B）和丙（A、C）：总面积为$a^2 + b^2 + a^2 + ab = 2a^2 + ab + b^2$，无法写成完全平方式，不能拼成正方形；
乙（B、C）和丙（A、C）：总面积为$b^2 + ab + a^2 + ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，符合正方形面积形式，能拼成边长为$(a+b)$的正方形。
3. 计算概率：总共有3种等可能情况，其中只有1种能拼成正方形，故概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、完全平方公式
【点评】
本题结合整式的完全平方公式与概率的基本计算，需要通过列举法确定所有选取情况，再结合完全平方公式判断能否构成正方形，考查了学生的逻辑分析与公式应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先需明确从三位同学中随机选取两位的所有等可能情况，再分别计算每种选取情况下四张卡片的总面积，判断其是否符合正方形的面积形式（即完全平方式），最后根据符合条件的情况数与总情况数的比值计算概率。
【解析】
1. 列举所有选取两位同学的等可能结果：从甲、乙、丙三位同学中选两位，共有3种结果：甲乙、甲丙、乙丙。
2. 计算每种组合的四张卡片总面积：
甲（A、B）和乙（B、C）：总面积为$a^2 + b^2 + b^2 + ab = a^2 + ab + 2b^2$，无法写成完全平方式，不能拼成正方形；
甲（A、B）和丙（A、C）：总面积为$a^2 + b^2 + a^2 + ab = 2a^2 + ab + b^2$，无法写成完全平方式，不能拼成正方形；
乙（B、C）和丙（A、C）：总面积为$b^2 + ab + a^2 + ab = a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$，符合正方形面积形式，能拼成边长为$(a+b)$的正方形。
3. 计算概率：总共有3种等可能情况，其中只有1种能拼成正方形，故概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、完全平方公式
【点评】
本题结合整式的完全平方公式与概率的基本计算，需要通过列举法确定所有选取情况，再结合完全平方公式判断能否构成正方形，考查了学生的逻辑分析与公式应用能力。
【难度系数】
0.5
8. 从$3,-1,0,1,-2$这五个数中任意取出一个数记作$b$,则既能使函数$y=(b^{2}-4)x$的图象经过第二、第四象限,又能使关于$x$的一元二次方程$x^{2}-bx+b+1=0$的根的判别式小于零的概率为
$\dfrac{2}{5}$
.答案
8. $\dfrac{2}{5}$ 提示:因为函数$y=(b^2-4)x$的图象经过第二、四象限,所以$b^2-4＜0$,解得$-2＜b＜2$. 因为关于$x$的一元二次方程$x^2-bx+b+1=0$的根的判别式小于零,所以$(-b)^2-4(b+1)＜0$,所以$2-2\sqrt{2}＜b＜2+2\sqrt{2}$. 所以使函数的图象经过第二、四象限,且使方程的根的判别式小于零的$b$的值有0,1,所以此事件的概率为$\dfrac{2}{5}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，根据正比例函数图象的性质，确定函数过第二、四象限时b的取值范围；第二步，根据一元二次方程根的判别式小于零的条件，确定b的另一个取值范围；第三步，取两个范围的交集，找出给定的5个数中属于交集的数，最后用符合条件的数的个数除以总个数，计算概率。
【解析】
1. 对于函数$ y=(b^2 - 4)x $，它是正比例函数，图象经过第二、四象限，说明比例系数小于0，即：
$ b^2 - 4 ＜ 0 $，解得$ -2 ＜ b ＜ 2 $。
2. 对于一元二次方程$ x^2 - bx + b + 1 = 0 $，根的判别式$ \Delta = (-b)^2 - 4 × 1 × (b + 1) = b^2 - 4b - 4 $，要求$ \Delta ＜ 0 $，即：
$ b^2 - 4b - 4 ＜ 0 $。解此不等式，先求方程$ b^2 - 4b - 4 = 0 $的根：
$ b = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} $，因此不等式的解为$ 2 - 2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2 + 2\sqrt{2} $（其中$ 2 - 2\sqrt{2} \approx -0.828 $，$ 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.828 $）。
3. 取两个不等式解的交集，得$ -0.828 ＜ b ＜ 2 $。
4. 给定的数为$ 3, -1, 0, 1, -2 $，其中满足$ -0.828 ＜ b ＜ 2 $的数是$ 0, 1 $，共2个。
5. 总共有5个数，因此所求概率为$ \frac{2}{5} $。
【答案】
$ \dfrac{2}{5} $
【知识点】
正比例函数的性质、一元二次方程根的判别式、概率的计算
【点评】
本题综合考查了正比例函数的性质、一元二次方程根的判别式以及概率的计算，需要分别求解两个不等式得到b的取值范围，再结合给定的数筛选出符合条件的数，最后计算概率，是一道基础的代数综合题，需注意不等式解的准确性。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，根据正比例函数图象的性质，确定函数过第二、四象限时b的取值范围；第二步，根据一元二次方程根的判别式小于零的条件，确定b的另一个取值范围；第三步，取两个范围的交集，找出给定的5个数中属于交集的数，最后用符合条件的数的个数除以总个数，计算概率。
【解析】
1. 对于函数$ y=(b^2 - 4)x $，它是正比例函数，图象经过第二、四象限，说明比例系数小于0，即：
$ b^2 - 4 ＜ 0 $，解得$ -2 ＜ b ＜ 2 $。
2. 对于一元二次方程$ x^2 - bx + b + 1 = 0 $，根的判别式$ \Delta = (-b)^2 - 4 × 1 × (b + 1) = b^2 - 4b - 4 $，要求$ \Delta ＜ 0 $，即：
$ b^2 - 4b - 4 ＜ 0 $。解此不等式，先求方程$ b^2 - 4b - 4 = 0 $的根：
$ b = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 16}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2} $，因此不等式的解为$ 2 - 2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2 + 2\sqrt{2} $（其中$ 2 - 2\sqrt{2} \approx -0.828 $，$ 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.828 $）。
3. 取两个不等式解的交集，得$ -0.828 ＜ b ＜ 2 $。
4. 给定的数为$ 3, -1, 0, 1, -2 $，其中满足$ -0.828 ＜ b ＜ 2 $的数是$ 0, 1 $，共2个。
5. 总共有5个数，因此所求概率为$ \frac{2}{5} $。
【答案】
$ \dfrac{2}{5} $
【知识点】
正比例函数的性质、一元二次方程根的判别式、概率的计算
【点评】
本题综合考查了正比例函数的性质、一元二次方程根的判别式以及概率的计算，需要分别求解两个不等式得到b的取值范围，再结合给定的数筛选出符合条件的数，最后计算概率，是一道基础的代数综合题，需注意不等式解的准确性。
【难度系数】
0.5
9. 设 $a$ 是从集合 $\{1,2,3,···,99,100\}$ 中任意抽取的一个数,则 $3^a$ 的末位数字是 7 的概率是
$\dfrac{1}{4}$
.答案
9. $\dfrac{1}{4}$ 提示:因为$3^1=3,3^2=9,3^3=7,3^4=1,…,4$个一循环,$100÷4=25$,所以$3^a$的末位数字是7的概率是$\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.
解析
【分析】首先需确定3的幂次的末位数字的循环规律，找到末位为7时对应的a的特征，再计算1到100中满足条件的a的个数，最后根据概率公式计算所求概率。
【解析】计算3的幂次的末位数字：$3^1=3$（末位3），$3^2=9$（末位9），$3^3=27$（末位7），$3^4=81$（末位1），$3^5=243$（末位3），……，可见$3^a$的末位数字以4为周期循环，依次为3、9、7、1。当末位数字为7时，a需满足a除以4余3。集合$\{1,2,…,100\}$中，每4个数有1个满足条件，共$100÷4=25$个满足条件的数。根据概率公式，所求概率为满足条件的数的个数除以总数，即$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】幂的末位循环规律；概率计算
【点评】本题结合幂的末位循环规律与基础概率计算，关键是发现3的幂次末位的周期，属于基础题型，考查学生对规律的观察和应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】计算3的幂次的末位数字：$3^1=3$（末位3），$3^2=9$（末位9），$3^3=27$（末位7），$3^4=81$（末位1），$3^5=243$（末位3），……，可见$3^a$的末位数字以4为周期循环，依次为3、9、7、1。当末位数字为7时，a需满足a除以4余3。集合$\{1,2,…,100\}$中，每4个数有1个满足条件，共$100÷4=25$个满足条件的数。根据概率公式，所求概率为满足条件的数的个数除以总数，即$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$。
【答案】$\dfrac{1}{4}$
【知识点】幂的末位循环规律；概率计算
【点评】本题结合幂的末位循环规律与基础概率计算，关键是发现3的幂次末位的周期，属于基础题型，考查学生对规律的观察和应用能力。
【难度系数】0.6
10. 三个小球上分别标有数字$-2,-1,3$,它们除数字外其余全部相同,现将它们放在一个不透明的袋子里.从袋子中随机地摸出一球,将球上的数字记录,记为$m$,然后放回;再随机地摸取一球,将球上的数字记录,记为$n$,这样确定了点$(m,n)$.
(1) 请列表或画出树状图,并根据列表或树状图写出点$(m,n)$所有可能的结果.
(2) 求点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率.
(1) 请列表或画出树状图,并根据列表或树状图写出点$(m,n)$所有可能的结果.
(2) 求点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率.
答案
10. 解:(1) 由列表可得,点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$.
(2) 因为点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$,其中点$(-2,3),(3,-2)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,所以点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率是$\dfrac{2}{9}$.
(2) 因为点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$,其中点$(-2,3),(3,-2)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,所以点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率是$\dfrac{2}{9}$.
解析
【分析】
本题为放回式摸球试验，两次摸球相互独立，需通过列表或树状图列举所有可能的$(m,n)$结果，总结果数为$3×3=9$种；再根据反比例函数上点的坐标特征（满足$xy=-6$），找出符合条件的点，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 列表列举所有可能的$(m,n)$结果：
| m | -2 | -1 | 3 |
|-----|----|----|---|
| -2 | $(-2,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-2,3)$ |
| -1 | $(-1,-2)$ | $(-1,-1)$ | $(-1,3)$ |
| 3 | $(3,-2)$ | $(3,-1)$ | $(3,3)$ |
因此，点$(m,n)$所有可能的结果为：$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$，共9种。
(2) 函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的点满足$m×n=-6$，从上述结果中，符合条件的点为$(-2,3)$、$(3,-2)$，共2种。
所以，点$(m,n)$在函数图象上的概率为$\dfrac{2}{9}$。
【答案】
10. 解:(1) 由列表可得,点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$.
(2) 因为点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$,其中点$(-2,3),(3,-2)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,所以点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率是$\dfrac{2}{9}$.
【知识点】
列举法求概率、反比例函数的图像性质、概率的计算
【点评】
本题结合放回式摸球试验与反比例函数，考查用列举法求概率的基本方法，以及反比例函数上点的坐标特征，属于初中数学基础题型，注重核心知识点的应用。
【难度系数】
0.8
本题为放回式摸球试验，两次摸球相互独立，需通过列表或树状图列举所有可能的$(m,n)$结果，总结果数为$3×3=9$种；再根据反比例函数上点的坐标特征（满足$xy=-6$），找出符合条件的点，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。
【解析】
(1) 列表列举所有可能的$(m,n)$结果：
| m | -2 | -1 | 3 |
|-----|----|----|---|
| -2 | $(-2,-2)$ | $(-2,-1)$ | $(-2,3)$ |
| -1 | $(-1,-2)$ | $(-1,-1)$ | $(-1,3)$ |
| 3 | $(3,-2)$ | $(3,-1)$ | $(3,3)$ |
因此，点$(m,n)$所有可能的结果为：$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$，共9种。
(2) 函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的点满足$m×n=-6$，从上述结果中，符合条件的点为$(-2,3)$、$(3,-2)$，共2种。
所以，点$(m,n)$在函数图象上的概率为$\dfrac{2}{9}$。
【答案】
10. 解:(1) 由列表可得,点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$.
(2) 因为点$(m,n)$所有可能的结果是$(-2,-2),(-2,-1),(-2,3),(-1,-2),(-1,-1),(-1,3),(3,-2),(3,-1),(3,3)$,其中点$(-2,3),(3,-2)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上,所以点$(m,n)$在函数$y=-\dfrac{6}{x}$的图象上的概率是$\dfrac{2}{9}$.
【知识点】
列举法求概率、反比例函数的图像性质、概率的计算
【点评】
本题结合放回式摸球试验与反比例函数，考查用列举法求概率的基本方法，以及反比例函数上点的坐标特征，属于初中数学基础题型，注重核心知识点的应用。
【难度系数】
0.8
11. 某学校有两个校区:南校和北校.这两个校区九年级学生各有300名.为了了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：
①收集数据，从南校和北校两个校区的九
年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩(百分制)如下：
南校:92 100 86 89 73 98 54 95 98 85
北校:100 100 94 83 74 86 75 100 73 75
②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
(说明:成绩90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为合格，60分以下为不合格)
③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
④得出结论.
结合上述统计全过程，回答下列问题：
(1) 补全③中的表格.
(2) 请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数.
(3) 你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
①收集数据，从南校和北校两个校区的九
年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩(百分制)如下：
南校:92 100 86 89 73 98 54 95 98 85
北校:100 100 94 83 74 86 75 100 73 75
②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
(说明:成绩90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为合格，60分以下为不合格)
③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
④得出结论.
结合上述统计全过程，回答下列问题：
(1) 补全③中的表格.
(2) 请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数.
(3) 你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
答案
11. 解:(1) 98 84.5 100
(2) 估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为$\dfrac{4}{10}×300=120$.
(3) 我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好,理由如下：
①南校区的九年级学生在英语单词测试中,平均数较高,表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好;②南校区的九年级学生在英语单词测试中,中位数较高,表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多.(答案不唯一)
(2) 估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为$\dfrac{4}{10}×300=120$.
(3) 我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好,理由如下：
①南校区的九年级学生在英语单词测试中,平均数较高,表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好;②南校区的九年级学生在英语单词测试中,中位数较高,表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多.(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决本题，需分三步分析：
1. 补全表格：明确众数（出现次数最多的数据）、中位数（排序后中间位置数据的平均数，偶数个数据取中间两个的平均）的定义，分别计算南校的众数、北校的中位数和众数；
2. 估计北校优秀人数：利用样本中优秀人数的比例，乘以北校总人数，得到估计值；
3. 判断哪个校区掌握好：从平均数、中位数等统计量的意义出发，比较两个校区的样本数据，说明推断的合理性。
【解析】
解：
(1) 计算补全表格的数值：
南校成绩：92,100,86,89,73,98,54,95,98,85，其中98出现次数最多（2次），故南校众数为98；
北校成绩排序：73,74,75,75,83,86,94,100,100,100，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数：$\frac{83+86}{2}=84.5$；
北校成绩中100出现次数最多（3次），故北校众数为100；
因此补全的三个数依次为98，84.5，100。
(2) 估计北校九年级优秀人数：
样本中北校10名学生里，成绩90分及以上（优秀）的有4人，优秀率为$\frac{4}{10}$，北校总人数300，故估计优秀人数为：$300×\frac{4}{10}=120$。
(3) 判断哪个校区掌握得好：
南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由：
① 南校区样本的平均数更高，说明南校区学生的整体英语单词掌握水平更高；
② 南校区样本的中位数更高，说明南校区中等水平学生的英语单词掌握情况更好。
【答案】
(1) 98，84.5，100；
(2) 120；
(3) 南校区，理由：①平均数较高，整体水平更好；②中位数较高，中等水平学生掌握更好。
【知识点】
众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需掌握众数、中位数的定义，以及用样本估计总体的方法，解题时需准确计算各统计量，结合统计量的意义分析问题，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需分三步分析：
1. 补全表格：明确众数（出现次数最多的数据）、中位数（排序后中间位置数据的平均数，偶数个数据取中间两个的平均）的定义，分别计算南校的众数、北校的中位数和众数；
2. 估计北校优秀人数：利用样本中优秀人数的比例，乘以北校总人数，得到估计值；
3. 判断哪个校区掌握好：从平均数、中位数等统计量的意义出发，比较两个校区的样本数据，说明推断的合理性。
【解析】
解：
(1) 计算补全表格的数值：
南校成绩：92,100,86,89,73,98,54,95,98,85，其中98出现次数最多（2次），故南校众数为98；
北校成绩排序：73,74,75,75,83,86,94,100,100,100，共10个数据，中位数为第5、6个数据的平均数：$\frac{83+86}{2}=84.5$；
北校成绩中100出现次数最多（3次），故北校众数为100；
因此补全的三个数依次为98，84.5，100。
(2) 估计北校九年级优秀人数：
样本中北校10名学生里，成绩90分及以上（优秀）的有4人，优秀率为$\frac{4}{10}$，北校总人数300，故估计优秀人数为：$300×\frac{4}{10}=120$。
(3) 判断哪个校区掌握得好：
南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由：
① 南校区样本的平均数更高，说明南校区学生的整体英语单词掌握水平更高；
② 南校区样本的中位数更高，说明南校区中等水平学生的英语单词掌握情况更好。
【答案】
(1) 98，84.5，100；
(2) 120；
(3) 南校区，理由：①平均数较高，整体水平更好；②中位数较高，中等水平学生掌握更好。
【知识点】
众数、中位数、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计量的计算与应用，需掌握众数、中位数的定义，以及用样本估计总体的方法，解题时需准确计算各统计量，结合统计量的意义分析问题，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.7
